培优点3　数学归纳法和图像法解决多次碰撞问题（含解析）--2024年高考物理大二轮复习讲义

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例1 (2023·江苏南京市三模)如图所示，一斜面固定在水平地面上，斜面倾角θ＝37°、质量为5m的小物块A通过一根跨过固定滑轮的绳子连接质量同为5m的小物块B，连接A的绳子与斜面平行，物块B距离地面高度为L，物块A与斜面最上端挡板的距离也为L，绳无阻碍穿过挡板上小孔。质量为2m的小环C套在B上方的绳子上，绳子与小环C之间的最大静摩擦力Ffm＝6mg，不计滑轮和绳子质量以及滑轮与绳子之间的摩擦，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。
(1)若系统处于静止状态，求A与斜面间动摩擦因数的最小值μ；
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(2)若μ＝eq \f(1,2)，同时由静止释放A、B、C，物块A与挡板碰撞原速率反弹，物块B与地面碰撞后速度瞬间变成0，求绳子再次绷紧，B向上运动的初速度vB(绷紧过程C的速度未变)；
(3)接第(2)问，若C始终没有落到B上，求整个过程中C与绳子之间因摩擦产生的热量Q。
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例2 如图所示，在光滑水平面上放置一端带有挡板的长直木板A，木板A左端上表面有一小物块B，其到挡板的距离为d＝2 m，A、B质量均为m＝1 kg，不计一切摩擦。从某时刻起，B始终受到水平向右、大小为F＝9 N的恒力作用，经过一段时间，B与A的挡板发生碰撞，碰撞过程中无机械能损失，碰撞时间极短。重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)物块B与A的挡板发生第一次碰撞后的瞬间，物块B与木板A的速度大小；
(2)由A、B静止开始经多长时间物块B与木板A的挡板发生第二次碰撞，并求出碰后瞬间A、B的速度大小；
(3)画出由A、B静止开始到物块B与木板A的挡板发生三次碰撞时间内，物块B的速度v随时间t的变化图像；
(4)从物块B开始运动到与木板A的挡板发生第n次碰撞时间内，物块B运动的距离。
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培优点3 数学归纳法和图像法解决多次碰撞问题
例1 (1)1 (2)eq \f(\r(3gL),6) (3)eq \f(18,23)mgL
解析 (1)由题设条件可知，若系统处于静止状态，小物块A受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，A与斜面间的动摩擦因数有最小值，
由平衡条件可得mAgsin θ＋μmAgcs θ＝(mB＋mC)g，
解得μ＝eq \f(7mg－5mgsin 37°,5mgcs 37°)＝1
(2)若μ＝eq \f(1,2)，同时由静止释放A、B、C，由牛顿第二定律可得
(mB＋mC)g－mAgsin θ－μmAgcs θ＝(mA＋mB＋mC)a
解得a＝eq \f(1,6)g，
物块A与挡板碰撞时的速度vA＝eq \r(2aL)＝eq \f(\r(3gL),3)，此时C的速度vC＝vA，
由题意可知，绳绷紧过程C的速度未变，可知绳绷紧时A、B共速，由动量守恒定律可知mAvA＝(mA＋mB)vB，
解得B的初速度vB＝eq \f(\r(3gL),6)
(3)A沿斜面向下减速，B沿绳向上减速，
对于A、B整体5mg＋Ffm－5mg(sin θ－μcs θ)＝10ma1
解得a1＝g，
减速到零的时间t1＝eq \r(\f(L,12g))，
C沿绳向下减速：Ffm－2mg＝2ma2，
解得a2＝2g，
减速到零的时间t2＝eq \r(\f(L,12g))
B与C恰好在同一时间速度变为0，
B上升的高度vB2＝2a1x1⇒x1＝eq \f(1,24)L
C下落的高度vC2＝2a2x1′⇒x1′＝eq \f(1,12)L，
B、C相对位移Δx1＝eq \f(1,8)L，此时B、C的状态与初始相同，但B离地的高度为eq \f(1,24)L，为初始高度的eq \f(1,24)，相对位移Δxi＋1＝eq \f(1,24)Δxi
Δx总＝＝eq \f(1,8)×(1＋eq \f(1,24)＋…)L＝eq \f(3,23)L
Q＝FfmΔx总＝eq \f(18,23)mgL。
例2 (1)0 6 m/s (2)eq \f(4,3) s 12 m/s
6 m/s (3)见解析图 (4)[2＋4n(n－1)] m(n＝1,2,3，4，…)
解析 (1)B从A的左端开始运动到右端的过程，由动能定理有
Fd＝eq \f(1,2)mv02
解得v0＝6 m/s
B与A碰撞过程，由动量守恒定律和机械能守恒定律有
mv0＝mvB＋mvA
eq \f(1,2)mv02＝eq \f(1,2)mvB2＋eq \f(1,2)mvA2
解得vB＝0，vA＝6 m/s
(2)第一次碰撞后A向右以速度vA＝6 m/s做匀速直线运动，B做初速度为0、加速度为a＝eq \f(F,m)＝9 m/s2的匀加速直线运动
则第二次碰撞时有vAt＝eq \f(1,2)at2
解得t＝eq \f(4,3) s
此时B的速度为vB1＝at＝12 m/s，A的速度为vA1＝vA＝6 m/s，第二次碰撞时，同样由动量守恒定律和机械能守恒定律有mvA1＋mvB1＝mvA2＋mvB2
eq \f(1,2)mvA12＋eq \f(1,2)mvB12＝eq \f(1,2)mvA22＋eq \f(1,2)mvB22
解得vA2＝12 m/s，vB2＝6 m/s
(3)同理第三次碰撞时有
vB2t′＋eq \f(1,2)at′2＝vA2t′
解得t′＝eq \f(4,3) s
此时B的速度为vB3＝vB2＋at′＝18 m/s
从开始运动到第一次碰撞的时间
t0＝eq \f(v0,a)＝eq \f(2,3) s
由A、B静止开始到B与A的挡板发生3次碰撞时间内，物块B的速度v随时间t的变化图像如图所示
(4)由以上分析可知，从第二次碰撞后，到下一次碰撞，B向前运动的距离都比前一次多8 m，
由v－t图像可知，从B开始运动到第1次碰撞，B运动的距离为2 m；
从第1次碰撞到第2次碰撞，B运动的距离为8 m；
从第2次碰撞到第3次碰撞，B运动的距离为8 m＋8 m＝16 m；
从第3次碰撞到第4次碰撞，B运动的距离为16 m＋8 m＝24 m；
根据数学知识可知，从物块B开始运动到与木板A的挡板发生第n次碰撞时间内，物块B运动的距离s＝2 m＋8 m＋16 m＋24 m＋…＋8(n－1) m＝2 m＋eq \f(n－1[8＋8n－1],2) m＝[2＋4n(n－1)] m(n＝1,2,3,4，…)。
数学
归纳法
先利用所学知识把前几次碰撞过程理顺，分析透彻，根据前几次数据，利用数学归纳法，可写出以后碰撞过程中对应规律或结果，通常会出现等差、等比数列，然后可以利用数学数列求和公式计算全程的路程等数据
图像法
通过分析前几次碰撞情况，画出物体对应的v－t图像，通过图像可使运动过程清晰明了，并且可通过图像与t轴所围面积求出物体的位移