高考数学一轮复习考点规范练29数学归纳法含解析新人教版

考点规范练29　数学归纳法

一、基础巩固

1.对于不等式<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法证明的过程如下:

(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.

(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即<k+1,则当n=k+1时,=(k+1)+1.

故当n=k+1时,不等式成立.在上述证明中, (　　)

A.过程全部正确

B.对于当n=1时结论的推理不正确

C.归纳假设不正确

D.从n=k到n=k+1的推理不正确

答案:D

解析:在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.

2.用数学归纳法证明:1++…+n(n∈N*).

证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,不等式成立.

(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即有1++…+k,那么当n=k+1时,左边=1++…++…+k++…+,

又+…+2k=1,即1++…++…+k+1,

即当n=k+1时,不等式也成立.

由(1)(2)可知,对于任意n∈N*,1++…+n都成立.

3.已知数列{xn},{yn}满足x1=5,y1=-5,2xn+1+3yn=7,6xn+yn+1=13.求证:xn=3n+2,yn=1-2×3n(n∈N*).

证明:(1)当n=1时,x1=5,31+2=5,y1=-5,且1-2×31=-5,即等式成立.

(2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即xk=3k+2,yk=1-2×3k,

那么当n=k+1时,

由2xk+1+3yk=7,得xk+1=(7-3yk)==2+3k+1;

由6xk+yk+1=13,得yk+1=13-6xk=13-6(3k+2)=1-2×3k+1;

故当n=k+1时,等式也成立.

由(1)(2)可知,xn=3n+2,yn=1-2×3n对一切n∈N*都成立.

二、综合应用

4.设平面内有n(n∈N*,n≥3)条直线,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=　　　　　;当n>4时,f(n)=　　　　　　　(用n表示). 

答案:5　(n+1)(n-2)

解析:由题意知f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,可以归纳出每增加一条直线,交点增加的个数为原有直线的条数,即f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,

猜测得出f(n)-f(n-1)=n-1(n≥4),则f(n)-f(3)=3+4+…+(n-1),

故f(n)=(n+1)(n-2).

5.用数学归纳法证明:1-+…++…+(n∈N*).

证明:(1)当n=1时,左边=1-,右边=,等式成立.

(2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即1-+…++…+,

那么当n=k+1时,1-+…+

=+…+

=+…+

=+…+

=+…+,

根据(1)(2)可知,等式对于任何n∈N*都成立.

6.(2021四川双流中学高三月考)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=2Sn+2,数列{bn}满足b1=1,bn+1=+bn,其中n∈N*.

(1)证明:数列{an}是等比数列;

(2)记Tn=+…+,证明:Sn-2Tn≤2.

证明:(1)已知Sn+1=2Sn+2,当n≥2时,Sn=2Sn-1+2,

两式相减,得an+1=2an(n≥2).

又S2=2S1+2=2a1+2=6,即a1+a2=6,

所以a2=6-a1=4,即=2,

故数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.

(2)Sn==2n+1-2,

要证明Sn-2Tn≤2,即证明2n+1-2-2Tn≤2,即Tn≥2n-2,

①当n=1时,T1==1,21-2=0,此时T1>21-2成立,

②假设n=k时,不等式成立,即Tk≥2k-2,

那么当n=k+1时,Tk+1=+…+2k+-2,

由bn+1=+bn,知bn+1-bn=>0,所以bn+1>bn≥b1=1.

由bn+1=+bn,知=bn+1≥2.

所以bk+1=b12k.

所以Tk+1=+…+2k+-2≥2k+1-2成立,

综上①②可知,不等式Sn-2Tn≤2对任何n∈N*都成立.

三、探究创新

7.设数列{an}的前n项和为Sn,且=anSn(n∈N*),设bn=(-1)n+1(n+1)2·anan+1(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn.

(1)求S1,S2,S3的值;

(2)猜想数列{an}的前n项和Sn,并用数学归纳法加以证明;

(3)求数列{Tn}的通项公式.

解:(1)由=anSn,令n=1,则,解得S1=;

当n≥2时,由an=Sn-Sn-1,

得=(Sn-Sn-1)Sn,得Sn(2-Sn-1)=1.

令n=2,得S2=;令n=3,得S3=,

即S1=,S2=,S3=

(2)由(1)知S1=,S2=,S3=,猜想Sn=(n∈N*).

下面用数学归纳法证明:

①当n=1时,S1=,猜想成立.

②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即Sk=,

那么当n=k+1时,由(1)知Sk+1=,

即当n=k+1时,猜想也成立.

由①②可知,猜想对于任何n∈N*都成立.

(3)由(2)知a1=当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,

且a1=符合上式,即an=

又bn=(-1)n+1(n+1)2·anan+1,

所以bn=(-1)n+1(n+1)2

当n为偶数时,

Tn=[+…+]

=

=;

当n为奇数时,

Tn=Tn-1+bn

=)

=[].

综上可得Tn=].