新高考数学二轮复习导数培优专题18 构造函数法解决导数问题(含解析)
展开2.(1)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时,不妨联想、
逆用“f′(x)±g′(x)=[f(x)±g(x)]′”.构造可导函数y=f(x)±g(x),然后利用该函数的性质巧妙地解决问题.
(2)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)+f(x)g′(x)”时,可联想、
逆用“f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=[f(x)g(x)]′”,构造可导函数y=f(x)g(x),然后利用该函数的性质巧妙地解决问题.
(3)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)-f(x)g′(x)”时,可联想、
逆用“eq \f(f′xgx-fxg′x,[gx]2)=eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′”,构造可导函数y=eq \f(fx,gx),再利用该函数的性质巧妙地解决问题.
3.构造函数解决导数问题常用模型
(1)条件:f′(x)>a(a≠0):构造函数:h(x)=f(x)-ax.
(2)条件:f′(x)±g′(x)>0:构造函数:h(x)=f(x)±g(x).
(3)条件:f′(x)+f(x)>0:构造函数:h(x)=exf(x).
(4)条件:f′(x)-f(x)>0:构造函数:h(x)=eq \f(fx,ex).
(5)条件:xf′(x)+f(x)>0:构造函数:h(x)=xf(x).
(6)条件:xf′(x)-f(x)>0:构造函数:h(x)=eq \f(fx,x).
题型一 构造y=f(x)±g(x)型可导函数
1.设奇函数f(x)是R上的可导函数,当x>0时有f′(x)+cs x<0,则当x≤0时,有( )
A.f(x)+sin x≥f(0) B.f(x)+sin x≤f(0) C.f(x)-sin x≥f(0) D.f(x)-sin x≤f(0)
解析:观察条件中“f′(x)+cs x”与选项中的式子“f(x)+sin x”,发现二者之间是导函数与原函数之间的关系,于是不妨令F(x)=f(x)+sin x,因为当x>0时,f′(x)+cs x<0,即F′(x)<0,所以F(x)在(0,+∞)上单调递减,又F(-x)=f(-x)+sin(-x)=-[f(x)+sin x]=-F(x),所以F(x)是R上的奇函数,且F(x)在(-∞,0)上单调递减, F(0)=0,并且当x≤0时有F(x)≥F(0),即f(x)+sin x≥f(0)+sin 0=f(0),故选A.
2.设定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1,则下列结论一定错误的是( )
A.feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)))
解析:根据条件式f′(x)>k得f′(x)-k>0,可以构造F(x)=f(x)-kx,因为F′(x)=f′(x)-k>0,
所以F(x)在R上单调递增.又因为k>1,所以eq \f(1,k-1)>0,从而Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k-1)))>F(0),即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k-1)))-eq \f(k,k-1)>-1,
移项、整理得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k-1)))>eq \f(1,k-1),因此选项C是错误的,故选C.
3.已知定义域为R的函数f(x)的图象经过点(1,1),且对于任意x∈R,都有f′(x)+2>0,
则不等式f(lg2|3x-1|)<3-lgeq \r(2)|3x-1|的解集为( )
A.(-∞,0)∪(0,1) B.(0,+∞) C.(-1,0)∪(0,3) D.(-∞,1)
解析:根据条件中“f′(x)+2”的特征,可以构造F(x)=f(x)+2x,则F′(x)=f′(x)+2>0,
故F(x)在定义域内单调递增,由f(1)=1,得F(1)=f(1)+2=3,因为由f(lg2|3x-1|)<3-lgeq \r(2)|3x-1|可化为f(lg2|3x-1|)+2lg2|3x-1|<3,令t=lg2|3x-1|,则f(t)+2t<3.即F(t)
4.设定义在R上的函数f(x)满足f(1)=2,f′(x)<1,则不等式f(x2)>x2+1的解集为________.
解析:由条件式f′(x)<1得f′(x)-1<0,待解不等式f(x2)>x2+1可化为f(x2)-x2-1>0,
可以构造F(x)=f(x)-x-1,由于F′(x)=f′(x)-1<0,所以F(x)在R上单调递减.
又因为F(x2)=f(x2)-x2-1>0=2-12-1=f(12)-12-1=F(12),所以x2<12,解得-1
解析:由题意构造函数g(x)=f(x)-eq \f(1,2)x,则g′(x)=f′(x)-eq \f(1,2)<0,
所以g(x)在定义域内是减函数.因为f(1)=1,所以g(1)=f(1)-eq \f(1,2)=eq \f(1,2),
由f(lg x)>eq \f(lg x+1,2),得f(lg x)-eq \f(1,2)lg x>eq \f(1,2).即g(lg x)=f(lg x)-eq \f(1,2)lg x>eq \f(1,2)=g(1),
所以lg x<1,解得0<x<10. 所以原不等式的解集为(0,10).
题型二 构造f(x)·g(x)型可导函数
1.设函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)>0的解集是( )
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)
解析:利用构造条件中“f′(x)g(x)+f(x)g′(x)”与待解不等式中“f(x)g(x)”两个代数式之间的关系,
可构造函数F(x)=f(x)g(x),由题意可知,当x<0时,F′(x)>0,所以F(x)在(-∞,0)上单调递增.
又因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以F(x)是定义在R上的奇函数,
从而F(x)在(0,+∞)上单调递增,而F(3)=f(3)g(3)=0,所以F(-3)=-F(3),
结合图象可知不等式f(x)g(x)>0⇔F(x)>0的解集为(-3,0)∪(3,+∞),故选A.
2.设y=f(x)是(0,+∞)上的可导函数,f(1)=2,(x-1)[2f(x)+xf′(x)]>0(x≠1)恒成立.若曲线f(x)在点(1,2)处的切线为y=g(x),且g(a)=2 018,则a等于( )
A.-501 B.-502 C.-503 D.-504
解析:由“2f(x)+xf′(x)”联想到“2xf(x)+x2f′(x)”,可构造 F(x)=x2f(x)(x>0).
由(x-1)[2f(x)+xf′(x)]>0(x≠1)可知,当x>1时,2f(x)+xf′(x)>0,则F′(x)=2xf(x)+x2f′(x)>0,
故F(x)在(1,+∞)上单调递增;当0
由f(1)=2可得f′(1)=-4,曲线f(x)在点(1,2)处的切线为y-2=-4(x-1),即y=6-4x,
故g(x)=6-4x,g(a)=6-4a=2 018,解得a=-503,故选C.
3.设定义在R上的函数f(x)满足f′(x)+f(x)=3x2e-x,且f(0)=0,则下列结论正确的是( )
A.f(x)在R上单调递减 B.f(x)在R上单调递增
C.f(x)在R上有最大值 D.f(x)在R上有最小值
解析:根据条件中“f′(x)+f(x)”的特征,可以构造F(x)=exf(x),则有F′(x)=ex[f′(x)+f(x)]=ex·3x2e-x=3x2,故F(x)=x3+c(c为常数),所以f(x)=eq \f(x3+c,ex),又f(0)=0,所以c=0,f(x)=eq \f(x3,ex).因为f′(x)=eq \f(3x2-x3,ex),
易知f(x)在区间(-∞,3]上单调递增,在[3,+∞)上单调递减,f(x)max=f(3)=eq \f(27,e3),无最小值,故选C.
4.已知f(x)是定义在R上的增函数,其导函数为f′(x),且满足eq \f(fx,f′x)+x<1,则下列结论正确的是( )
A.对于任意x∈R,f(x)<0 B.对于任意x∈R,f(x)>0
C.当且仅当x∈(-∞,1)时,f(x)<0 D.当且仅当x∈(1,+∞)时,f(x)>0
解析:因为函数f(x)在R上单调递增,所以f′(x)≥0,又因为eq \f(fx,f′x)+x<1,则f′(x)≠0,
综合可知f′(x)>0.又因为eq \f(fx,f′x)+x<1,则f(x)+xf′(x)
所以当x≤1时,f(x)<0,因此对于任意x∈R,f(x)<0,故选A.
5.若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)+f(x)>2,f(0)=5,则不等式f(x)
因为F′(x)=ex[f′(x)+f(x)-2]>0,所以F(x)在R上单调递增.因为f(x)
A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)>x D.f(x)<x
解析:令g(x)=x2f(x)-eq \f(1,4)x4,则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)-x3=x[2f(x)+xf′(x)-x2].
当x>0时,g′(x)>0,∴g(x)>g(0),即x2f(x)-eq \f(1,4)x4>0,从而f(x)>eq \f(1,4)x2>0;
当x<0时,g′(x)<0,∴g(x)>g(0),即x2f(x)-eq \f(1,4)x4>0,从而f(x)>eq \f(1,4)x2>0;
当x=0时,由题意可得2f(0)>0,∴f(0)>0.综上可知,f(x)>0.
7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+2f′(x)>0恒成立,且f(2)=eq \f(1,e)(e为自然对数的底数),
则不等式exf(x)-e SKIPIF 1 < 0 >0的解集为________.
解析:由f(x)+2f′(x)>0得2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)fx+f′x))>0,可构造函数h(x)=e SKIPIF 1 < 0 f(x),
则h′(x)=eq \f(1,2)e SKIPIF 1 < 0 [f(x)+2f′(x)]>0,所以函数h(x)=e SKIPIF 1 < 0 f(x)在R上单调递增,且h(2)=ef(2)=1.
不等式exf(x)-e SKIPIF 1 < 0 >0等价于e SKIPIF 1 < 0 f(x)>1,即h(x)>h(2)⇒x>2,
所以不等式exf(x)-e SKIPIF 1 < 0 >0的解集为(2,+∞).
题型三 构造eq \f(fx,gx)型可导函数
1.设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0, 当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
解析:令g(x)=eq \f(fx,x),则g′(x)=eq \f(xf′x-fx,x2).由题意知,当x>0时,g′(x)<0,
∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.∵f(x)是奇函数,f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0,∴g(1)=f(1)=0,
∴当x∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0.
又∵f(x)是奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.
综上,所求x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).
2.已知f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数,且f(x)>xf′(x),则不等式x2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))-f(x)<0的解集为________.
解析:因为f(x)>xf′(x),所以xf′(x)-f(x)<0,根据“xf′(x)-f(x)”的特征,可以构造函数F(x)=eq \f(fx,x),
则F′(x)=eq \f(xf′x-fx,x2)<0,故F(x)在(0,+∞)上单调递减.又因为x>0,
所以x2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))-f(x)<0可化为xfeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))-eq \f(fx,x)<0,即eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))),\f(1,x))-eq \f(fx,x)<0,即eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))),\f(1,x))
A.e2 019f(-2 019)<f(0),f(2 019)>e2 019f(0) B.e2 019f(-2 019)<f(0),f(2 019)<e2 019f(0)
C.e2 019f(-2 019)>f(0),f(2 019)>e2 019f(0) D.e2 019f(-2 019)>f(0),f(2 019)<e2 019f(0)
解析:构造函数h(x)=eq \f(fx,ex),则h′(x)=eq \f(f′x-fx,ex)<0,即h(x)在R上单调递减,故h(-2 019)>h(0),
即eq \f(f-2 019,e-2 019)>eq \f(f0,e0)⇒e2 019f(-2 019)>f(0);同理,h(2 019)<h(0),即f(2 019)<e2 019f(0),故选D.
4.已知定义在R上函数f(x),g(x)满足:对任意x∈R,都有f(x)>0,g(x)>0,且f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0.
若a,b∈R+且a≠b,则有( )
A.feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2)))geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2)))>f(eq \r(ab))g(eq \r(ab)) B.feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2)))geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2)))
因为f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,所以F′(x)=eq \f(f′xgx-fxg′x,[gx]2)<0,F(x)在R上单调递减.
又因为eq \f(a+b,2)>eq \r(ab),所以Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2)))
5.设f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数,且满足xf′(x)-2f(x)>0,若在△ABC中,角C为钝角,则( )
A.f(sin A)·sin2B>f(sin B)·sin2A B.f(sin A)·sin2B
则有F′(x)=eq \f(x2f′x-2xfx,x4)=eq \f(x[xf′x-2fx],x4),所以当x>0时,F′(x)>0,
F(x)在(0,+∞)上单调递增.因为eq \f(π,2)
f(cs A)·sin2B>f(sin B)·cs2A,故选C.
6.定义在R上的函数f(x)满足:f′(x)>f(x)恒成立,若x1<x2,则e x1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为( )
A.ex11f(x2)>ex2f(x1) B.ex1f(x2)<ex2f(x1)
C.ex1f(x2)=ex2f(x1) D.ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定
解析:设g(x)=eq \f(fx,ex),则g′(x)=eq \f(f′xex-fxex,ex2)=eq \f(f′x-fx,ex),由题意知g′(x)>0,所以g(x)单调递增,
当x1<x2时,g(x1)<g(x2),即eq \f(fx1,ex1)<eq \f(fx2,ex2),所以ex1f(x2)>ex2f(x1).
专项突破练 构造函数法解决导数问题
一、单选题
1.已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的偶函数, SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导函数,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的解集是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的偶函数,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,所以函数 SKIPIF 1 < 0 也是偶函数,
SKIPIF 1 < 0 ,因为当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,所以当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增,不等式 SKIPIF 1 < 0 即为不等式 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 .
故选:B.
2.定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是连续不断的一条曲线,且 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ,根据题意, SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 为R上的奇函数,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 在R上的图象连续不断,
所以 SKIPIF 1 < 0 为R上的减函数, SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 .故选:D.
3. SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的函数, SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导函数,已知 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】令函数 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增.又 SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .故选:C.
4.已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数, SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时,有 SKIPIF 1 < 0 成立,则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 成立设 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 是增函数,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 是奇函数,所以 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0
则不等式 SKIPIF 1 < 0 等价为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ,故选: SKIPIF 1 < 0 .
5.已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称,且当 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 成立,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称,可知函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称,
即 SKIPIF 1 < 0 为偶函数,构造 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,且易知 SKIPIF 1 < 0 为奇函数,故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
由 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .故选:D.
6.已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,且满足 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导函数),则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增,
又 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,原不等式解集为 SKIPIF 1 < 0 .故选:C
7.已知f(x)为定义在R上的可导函数, SKIPIF 1 < 0 为其导函数,且 SKIPIF 1 < 0 恒成立,其中e是自然对数的底数,则( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】设函数 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 单调递增,
则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .故选:B.
8.已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,其导函数为 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ,则下列式子一定成立的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,又不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增,
故 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故选:B.
9.已知函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的可导函数,其导函数为 SKIPIF 1 < 0 ,且满足 SKIPIF 1 < 0 恒成立, SKIPIF 1 < 0 ,则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】构造函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 为R上的单调减函数,
不等式 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,故选: SKIPIF 1 < 0
10.已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为其导函数,满足① SKIPIF 1 < 0 ,②当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .若不等式 SKIPIF 1 < 0 有实数解,则其解集为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】构造函数 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 递增,
由于 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 是偶函数,所以当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 递减.
不等式 SKIPIF 1 < 0 等价于:
SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
两边平方并化简得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .故选:D
11.已知定义域为 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,e为自然对数的底数,若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立,则实数a的取值范围为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,从而有 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,又因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .故选:B.
12.已知函数 SKIPIF 1 < 0 为定义域在R上的偶函数,且当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的解集是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】由题可知,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .可知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减﹐在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
SKIPIF 1 < 0 ,可化为 SKIPIF 1 < 0 ,又函数 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称,
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
所以不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 .故选:A
13.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,则有( )
A. SKIPIF 1 < 0 可能是奇函数,也可能是偶函数B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 是奇函数,则 SKIPIF 1 < 0 ,又因为 SKIPIF 1 < 0 ,与 SKIPIF 1 < 0 矛盾,
所有函数 SKIPIF 1 < 0 不可能时奇函数,故A错误;
令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故B错误;
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,故C错误;
有 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,故D正确.
故选:D.
14.定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导函数,则不等式 SKIPIF 1 < 0 (其中e为自然对数的底数)的解集为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ,
可得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 在定义域上单调递增,又因为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
又由 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 .故选:C.
15.设函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数,有 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的大小关系是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .故选:C.
16.已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足: SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的解集为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的增函数,
而 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ,所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ,故选:A.
二、多选题
17.设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的恒大于零的可导函数,且满足 SKIPIF 1 < 0 ,则当 SKIPIF 1 < 0 时,有( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,所以函数 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增.
当 SKIPIF 1 < 0 时,有 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的恒大于零的可导函数,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .故选:BC
18.已知定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 图像连续,满足 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 恒成立,则不等式 SKIPIF 1 < 0 中的x可以是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 ,则有 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 是偶函数,
因为 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减,
又 SKIPIF 1 < 0 是偶函数,所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增,又不等式 SKIPIF 1 < 0
等价于 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
根据 SKIPIF 1 < 0 的单调性和奇偶性可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,故选:ABC
19.定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 恒成立,则必有( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】设函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,从而 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
则必有 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,所以x>0时, SKIPIF 1 < 0 ,
所以x>0时, SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .故选:ACD.
20.已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的可导函数,且 SKIPIF 1 < 0 对于任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立,则下列不等关系正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故选:AC.
三、填空题
21.已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数, SKIPIF 1 < 0 是在 SKIPIF 1 < 0 上无零点的偶函数, SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,则使得 SKIPIF 1 < 0 的解集是________
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,又 SKIPIF 1 < 0 是奇函数, SKIPIF 1 < 0 是偶函数,
故 SKIPIF 1 < 0 是奇函数, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,又 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上小于0,由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
22.已知函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数, SKIPIF 1 < 0 ,对 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 成立,则 SKIPIF 1 < 0 的解集为_________.
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ,则对 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调递增函数,∵函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 为偶函数,∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调递减函数,
又∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,由已知得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ;当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ;
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ;当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ;
若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ;
若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ;
则 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
23.已知函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ,且对任意 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【解析】构造函数 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
24.定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数满足 SKIPIF 1 < 0 ,且对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ,则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为__________.
【解析】构造函数 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减,由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
25.若 SKIPIF 1 < 0 为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的连续不断的函数,满足 SKIPIF 1 < 0 ,且当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围___________.
【解析】 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为奇函数,
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数,从而在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数,
又 SKIPIF 1 < 0 ,等价于 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
26.已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 的奇函数,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为___________.
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 的奇函数,
构造函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 为偶函数,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 递减,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 递增.
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
综上所述,不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0
27.已知定义在 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为___________.
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,又由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
28.若定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为________________.
【解析】构造 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
又∵ SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,则不等式 SKIPIF 1 < 0 ⇔ SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
根据 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,可知 SKIPIF 1 < 0 .
29.已知定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ,且满足 SKIPIF 1 < 0 ﹐ SKIPIF 1 < 0 ,则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为___________.
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
且 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以解集为 SKIPIF 1 < 0 .
30.已知函数 SKIPIF 1 < 0 在R上可导,对任意x都有 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ,则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为_________
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是偶函数,
SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是减函数,因此 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 是增函数,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
31.已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程;
(2)若对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时,都有 SKIPIF 1 < 0 ,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
令函数 SKIPIF 1 < 0 ,由题可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,
若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 恒成立,显然 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,符合题意;
若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ;
若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
综上,实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
32.已知曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线平行于直线 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值;
(2)若对 SKIPIF 1 < 0 ,都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】(1)由题意得: SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
(2)由 SKIPIF 1 < 0 恒成立,可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 恒成立,即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调减函数
所以 SKIPIF 1 < 0 符合题意;
②当 SKIPIF 1 < 0 时,由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调增函数,在 SKIPIF 1 < 0 上为单调减函数
又 SKIPIF 1 < 0 ,所以存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ,不符合题意
综上: SKIPIF 1 < 0
33.设函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围,并证明: SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)由 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增;
当 SKIPIF 1 < 0 时,令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减,在 SKIPIF 1 < 0 单调递增;
(2)证明:因为函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点,由(1)得 SKIPIF 1 < 0 ,
此时 SKIPIF 1 < 0 的递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ,递减区间为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 有极小值 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
由(1)可得 SKIPIF 1 < 0 的极小值点为 SKIPIF 1 < 0 ,则不妨设 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
34.已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间;
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立,求正实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】(1)函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增;
当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减.
故函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ,单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)因 SKIPIF 1 < 0 ,由(1)知,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ;当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 可得, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立;
若 SKIPIF 1 < 0 ,则恒有 SKIPIF 1 < 0 ,)
若 SKIPIF 1 < 0 ,因 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
要 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立
综上,若 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,
只需 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增, SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的范围为 SKIPIF 1 < 0 .
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