专题二　培优点5　极化恒等式、奔驰定理与等和线定理 2024年高考数学大二轮复习课件（含讲义）

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平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、奔驰定理、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单.
设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.根据向量的极化恒等式，
(2)(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则　　　的取值范围是________.
又△ABC是边长为8的等边三角形，
利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.
如图，∵PA⊥PB，∴点P在以AB为直径的半圆上，取CD的中点O，连接PO，
∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.
所以h1＝h2＝h3，所以点P是△ABC的内心.
利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比.
S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶1∶2，
O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC，
于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝S△BOC∶S△AOC∶S△AOB，
即S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3，所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3.
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；(4)当等和线过O点时，k＝0；
(5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线.
如图，当点P位于线段BC上时， (λ＋μ)min＝1，当点P位于点D时，(λ＋μ)max＝3.故1≤λ＋μ≤3.
＝100－64＝36.
4.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，　　　的取值范围是A.[0,1] B.[0,2]C.[1,3] D.[0,4]
当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径.设内切球的球心为O，
设M(x，y)，因为MB＝2MA，
化简得(x＋2)2＋y2＝4，设线段AB的中点为C，
令x＋y＝k，如图，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k取得最大值，
当点C在A(或B)处时，x＋y最小为1.故x＋y的取值范围是[1,2].
则S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4，故A错误；
故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4，
所以O为△ABC的垂心，故C正确；
故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝5∶12∶13，设内切圆半径为r，
即BC∶AC∶AB＝5∶12∶13，
取线段AB的中点E，连接ME，如图，
由奔驰定理知，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶4∶5，
如图，D，E，N分别为BC，AB，AC的中点，P为DE与BN的交点，
设2x＋y＝k，作出定值k为1的等和线DE，AC是过圆上的点最远的等和线，当M在N点所在的位置时，2x＋y最大，