新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点25双曲线小题突破（附解析）

这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点25双曲线小题突破（附解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．与eq \f(x2,4)－y2＝1有相同渐近线，焦距2eq \r(10)，则双曲线标准方程为( )
A．eq \f(x2,6)－eq \f(y2,4)＝1B．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,2)＝1
C．eq \f(x2,6)－eq \f(y2,4)＝±1D．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,2)＝±1
2．[2023·河南安阳模拟]以双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点Q(eq \f(4,3)，eq \f(2\r(5),3))，则C的焦距为( )
A．4B．2eq \r(5)C．6D．8
3．已知直线2x＋y＋10＝0经过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且平行于C的一条渐近线，则C的实轴长为( )
A．eq \r(5)B．eq \r(10)C．2eq \r(5)D．2eq \r(10)
4．[2023·山东菏泽模拟]已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为eq \f(π,3)，该双曲线过点P(4，3)，则该双曲线的右焦点F到渐近线的距离为( )
A．eq \r(23)B．eq \r(34)C．eq \r(26)D．eq \r(39)
5．[2023·安徽六安模拟]已知双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与双曲线C交于A，B两点，若|AB|＝|F1F2|，则△ABF1的面积等于( )
A．18B．10C．9D．6
6．[2023·河南郑州模拟]已知双曲线C：eq \f(x2,4)－y2＝1的左焦点为F，过原点O的直线与C交于点A，B，若|OF|＝|OA|，则|AF||BF|＝( )
A．2B．4C．8D．16
7.[2023·河北沧州模拟]已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，O为原点，A，B分别为该双曲线的左、右顶点，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点P在双曲线的渐近线上，OP为∠APF2的平分线，且线段|OP|的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \r(2)B．eq \r(3)C．2D．2eq \r(3)
8．[2023·全国乙卷]设A，B为双曲线x2－eq \f(y2,9)＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．(1，1) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，2))C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－4))
二、多项选择题
9．[2020·新高考Ⅰ卷]已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为eq \r(n)
C．若mn0，则C是两条直线
10．[2023·河北衡水模拟]已知曲线C：eq \f(x2,m－1)＋eq \f(y2,m)＝1是顶点分别为A，B的双曲线，点M(异于A，B)在C上，则( )
A．00，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交C的右支于点A，B，若，则( )
A．AB⊥BF1B．C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(6),2)x
C．|AF2|＝|BF1|D．△AF1F2与△BF1F2面积之比为2∶1
[答题区]
三、填空题
13．[2021·新高考Ⅱ卷]已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________.
14．[2022·全国甲卷]记双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
15．[2023·北京卷]已知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)，离心率为eq \r(2)，则C的方程为________．
16．[2023·广东广州模拟]已知F是双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝eq \f(4,3)x与双曲线E交于A，B两点，O为坐标原点，P，Q分别为AF，BF的中点，且eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝0，则双曲线E的离心率为__________．
命题点25 双曲线(小题突破)
1．解析：(1)若焦点在x轴上，设所求双曲线方程为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m，n>0)，
因为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m，n>0)与双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1有相同渐近线，
所以eq \f(n,m)＝eq \f(1,2)，设该双曲线的焦距为2c，
又因为焦距2c＝2eq \r(10)，所以c＝eq \r(10)，所以m2＋n2＝c2＝10，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)＝\f(1,2),m2＋n2＝10))，解得m2＝8，n2＝2，则双曲线方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,2)＝1；
(2)若焦点在y轴上，设所求双曲线方程为eq \f(y2,m2)－eq \f(x2,n2)＝1(m，n>0)，
因为eq \f(y2,m2)－eq \f(x2,n2)＝1(m，n>0)与双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1有相同渐近线，
所以eq \f(m,n)＝eq \f(1,2)，设该双曲线的焦距为2c，
又因为焦距2c＝2eq \r(10)，所以c＝eq \r(10)，所以m2＋n2＝c2＝10，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(m,n)＝\f(1,2),m2＋n2＝10))，解得m2＝2，n2＝8，则双曲线方程为eq \f(y2,2)－eq \f(x2,8)＝1，
所以双曲线的标准方程为：eq \f(x2,8)－eq \f(y2,2)＝1或eq \f(y2,2)－eq \f(x2,8)＝1.
综上，双曲线标准方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,2)＝±1.故选D.
答案：D
2．解析：由题意，F(c，0)，不妨设双曲线的渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，
则eq \f(b,a)＝eq \f(\r(5),2).又kFQ×eq \f(b,a)＝eq \f(\f(2\r(5),3),\f(4,3)－c)×eq \f(b,a)＝－1，且c2＝a2＋b2，
联立解得，c＝3，a＝2，b＝eq \r(5)，即2c＝6.故选C.
答案：C
3．解析：由题意知，C的焦点在x轴上，所以直线2x＋y＋10＝0与x轴的交点(－5，0)是C的一个焦点，故－eq \r(a2＋b2)＝－5；又因为直线2x＋y＋10＝0与C的一条渐近线平行，故C的一条渐近线的斜率为－2，即－eq \f(b,a)＝－2，联立－eq \r(a2＋b2)＝－5，解得a＝eq \r(5)，因此C的实轴长为2eq \r(5).故选C.
答案：C
4．解析：因为一条渐近线的倾斜角为eq \f(π,3)，所以斜率为eq \r(3)，所以eq \f(b,a)＝eq \r(3)，该渐近线为y＝eq \r(3)x，即eq \r(3)x－y＝0，
因为该双曲线过点P(4，3)，所以eq \f(16,a2)－eq \f(9,b2)＝1，
将b＝eq \r(3)a代入得eq \f(16,a2)－eq \f(9,3a2)＝1，得a2＝13，b2＝39，c2＝a2＋b2＝52，c＝2eq \r(13)，
所以F(2eq \r(13)，0)，右焦点F到渐近线的距离为eq \f(|\r(3)×2\r(13)|,\r(3＋1))＝eq \r(39).故选D.
答案：D
5．解析：
直线y＝kx与双曲线C交于A，B两点，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))，
则四边形AF1BF2为矩形，所以AF1⊥BF1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))，
由双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1可得a＝4，b＝3，则c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(16＋9)＝5，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝2c＝10，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))2＝100，
又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))))＝2a＝8，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))2－2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))＝64，
解得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))＝18，
所以S△ABF1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))＝9.故选C.
答案：C
6．解析：
双曲线C：eq \f(x2,4)－y2＝1，则a＝2，b＝1，c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(5)，
由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OF))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OA))可得AF⊥BF，设A为右支上一点，F2为右焦点，连接AF2，BF2，
则四边形AFBF2为矩形，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))，
设eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))＝m，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝n，则m－n＝4，m2＋n2＝20，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(m2＋n2－（m－n）2))＝2.故选A.
答案：A
7．解析：
因为OP为∠APF2的平分线，所以∠APO＝∠F2PO，
又因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OP))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OF2))＝c，所以∠OF2P＝∠F2PO，
设P(x0，y0)，因为点P在渐近线y＝－eq \f(b,a)x上，所以y0＝－eq \f(b,a)x0，
因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OP))＝c，所以eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )＝c，所以eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋\f(b2,a2)x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )＝c，所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝a2，
又点P在第二象限内，所以x0＝－a，y0＝b，所以点P的坐标为(－a，b)，
所以∠PAF2＝eq \f(π,2)，所以∠PAF2＋3∠APO＝π⇒∠APO＝eq \f(π,6)，所以∠POA＝eq \f(π,3)，
所以－eq \f(b,a)＝taneq \f(2π,3)＝－eq \r(3)⇒eq \f(b,a)＝eq \r(3)，可得e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2.故选C.
答案：C
8．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,9)＝1,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,9)＝1))，两式作差，得x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,9)，即(x1－x2)(x1＋x2)＝eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,9)，化简得eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,（x1－x2）（x1＋x2）)＝9，即eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(\f(y1＋y2,2),\f(x1＋x2,2))＝kAB·eq \f(y0,x0)＝9，因此kAB＝9·eq \f(x0,y0).
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×eq \f(1,1)＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×eq \f(－1,2)＝－eq \f(9,2)＜－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×eq \f(1,3)＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×eq \f(－1,－4)＝eq \f(9,4)n>0，∴0