统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点八平面向量文（附解析）

这是一份统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点八平面向量文（附解析），共6页。
A．eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))B．eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))D．eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
2．(向量共线的坐标表示)已知向量a＝(4，2)，向量b＝(x，3)，且a∥b，则x＝( )
A．9B．6C．5D．3
3．(平面向量的应用)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度沿eq \(AD,\s\up6(→))方向行驶，到达对岸C点，且AC与江岸AB垂直，同时江水的速度为向东3km/h，则该船实际行驶的速度大小为( )
A．2km/hB．eq \r(34)km/hC．4km/hD．8km/h
4．[2023·长春市质量检测(三)](平面向量的模)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(2，1)，则|2a－b|＝( )
A．eq \r(15)B．eq \r(17)C．2eq \r(2)D．2eq \r(5)
5．(平面向量平行问题)若向量a＝(4，2)，b＝(6，k)，则a∥b的充要条件是( )
A．k＝－12B．k＝12C．k＝－3D．k＝3
6．[2023·广东省湛江市高三调研测试题](平面向量垂直问题)已知向量a＝(1，2)，向量b＝(2，－2)，a＋kb与a－b垂直，则k＝( )
A．2B．eq \f(10,7)C．eq \f(1,2)D．eq \f(7,10)
7．[2023·广西南宁三校联考](平面向量的投影)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝eq \r(2)，且a⊥(a＋2b)，则b在a方向上的投影为( )
A．－eq \f(1,2)B．－1C．eq \f(1,2)D．1
8．(平面向量的夹角)设平面向量a＝(－2，1)，b＝(λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞) B．(－∞，－4)∪(－4，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
9．[2023·四川省阆中中学高三月考](平面向量的数量积)已知在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD＝1，eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(CD,\s\up6(→))＝0，E是BC的中点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(3,2)B．2C．3D．4
10．(数量积的应用)在△ABC中，设|eq \(AC,\s\up6(→))|2－|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝2eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))，则动点M的轨迹必通过△ABC的( )
A．垂心B．内心C．重心D．外心
11．(平面向量与数列综合)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若点A，B，C，O满足：①eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))(λ≠0)；②A，B，O确定一个平面；③eq \(OB,\s\up6(→))＝a3eq \(OA,\s\up6(→))＋a98eq \(OC,\s\up6(→)).则S100＝( )
A．29B．40C．45D．50
12．[2023·湖北省随州市联考](平面向量的数量积)设A、B、C是半径为1的圆上三点，若AB＝eq \r(2)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的最大值为( )
A．3＋eq \r(3)B．eq \f(3,2)＋eq \r(3)C．1＋eq \r(2)D．eq \r(2)
[答题区]
13.[2023·合肥市第二次教学质量检测](平面向量的模)已知向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a∥b，则|a－b|＝________．
14．(向量的夹角)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，x)，a＋b与a垂直，设a与b的夹角为α，则csα＝________．
15．(平面向量在物理中的应用)在平面直角坐标系中，力F＝(2，3)作用于一物体，使该物体从点A(2，0)移动到点B(4，0)，则力F对物体做的功为________．
16．[2023·河南省郑州市模拟](平面向量的数量积)已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则eq \(PC,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→)))的最小值为________．
热点（八） 平面向量
1．C eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)（eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))）＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))，故选C.
2．B 因为向量a＝（4，2），向量b＝（x，3）且a∥b，所以4×3＝2x，x＝6，故选B.
3．C （以下解析中速度按向量处理）不妨设该船经过1h到达点C，由题意画出向量图如图所示，
则eq \(AD,\s\up6(→))为船速，eq \(AB,\s\up6(→))为水速，eq \(AC,\s\up6(→))为该船实际行驶的速度，易知|eq \(AC,\s\up6(→))|＝4.故选C.
4．C 方法一 由题意，得|a－b|2＝22＋12＝5，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝5－2a·b＝5，所以a·b＝0，所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝2eq \r(2)，故选C.
方法二 设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝a－b.
由题意，得|a－b|＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，所以|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋|eq \(OB,\s\up6(→))|2＝|eq \(BA,\s\up6(→))|2，
所以OA⊥OB，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，即a·b＝0，所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝2eq \r(2)，故选C.
5．D 因为向量a＝（4，2），b＝（6，k），若a∥b，则4k－2×6＝0，解得k＝3，
即a∥b⇒k＝3；
反之，若k＝3，则a＝（4，2），b＝（6，3），所以a＝eq \f(2,3)b，所以a∥b，即k＝3⇒a∥b.故选D.
6．D 因为向量a＝（1，2），向量b＝（2，－2），所以a2＝5，b2＝8，a·b＝－2，
又a＋kb与a－b垂直，所以（a＋kb）·（a－b）＝a2－kb2＋（k－1）a·b
＝5－8k－2（k－1）＝7－10k＝0，所以k＝eq \f(7,10)，故选D.
7．B 因为a⊥（a＋2b），a·（a＋2b）＝a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，a·b＝－2，
所以b在a方向上的投影为eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(－2,2)＝－1.故选B.
8．B 方法一 因为a与b的夹角为锐角，所以cs〈a，b〉∈（0，1）.
又向量a＝（－2，1），b＝（λ，2），所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－2λ＋2,\r(5)·\r(λ2＋4))∈（0，1），
整理得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2λ＋2>0，,λ2＋8λ＋16>0，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ0，,a，b不共线．))
又向量a＝（－2，1），b＝（λ，2），所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2λ＋2>0，,\f(λ,－2)≠\f(2,1)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ