四川省内江市第六中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省内江市第六中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、若直线l的斜率为k,且,则直线l的倾斜角为( )
A.或B.或C.或D.或
2、下列说法中正确的是( )
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C.所有的几何体的表面都能展成平面图形
D.棱柱的各条棱都相等
3、两圆与的公共弦所在直线的方程是( )
A.B.C.D.
4、若直线与直线互相平行,则a的值是( )
A.-3B.2C.-3或2D.3或-2
5、在三棱锥中,,,则( )
A.B.
C.D.
6、已知半径为3的圆C的圆心与点关于直线对称,则圆C的标准方程为( )
A.B.
C.D.
7、如图所示,已知等腰直角三角形ADE与正方形ABCD所在的平面互相垂直,且,F是线段CD的中点,则BD与EF所成的角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8、《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语,指的是一段类似隧道形状的几何体,如图,羡除ABCDEF中,底面ABCD是正方形,平面ABCD,,其余棱长都为1,则这个几何体的外接球的体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、下列说法错误的是( )
A.过任意两点,的直线方程为
B.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
C.若直线倾斜角,则斜率k的取值范围是
D.若直线的倾斜角为,则直线的斜率为
10、若构成空间的一个基底,则下列说法中正确的是( )
A.存在x,,使得
B.也构成空间的一个基底
C.若,则P,B,C,D四点共面
D.若,则直线AP与BD异面
11、如图,在棱长为2的正方体中,Q为线段的中点,P为线段上的动点（含端点）,则下列结论错误的是( )
A.三棱锥的体积为定值
B.P为线段的中点时,过D,P,Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为
C.的最小值为
D.直线DP与直线所成角的取值范围为.
12、已知圆,点Q为直线上的动点,则下列说法正确的是( )
A.直线l和圆C一定相交
B.若直线l平分圆C的周长,则
C.若圆C上至少有三个点到直线l的距离为,则
D.若,过点Q作圆C的两条切线,切点为A,B,当点Q坐标为时,有最大值
三、填空题
13、两平行线与间的距离为________．
14、已知两个圆,,若两圆相切,则半径r__________．
15、已知向量,,则向量在向量方向上投影向量的坐标为___________．
16、正四棱柱中,已知,那么以A为球心,半径为2的球面与该四棱柱表面交线的总长度为__________.
四、解答题
17、已知圆C经过坐标原点O和点,且圆心在x轴上.
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线与圆C相交于A,B两点,求所得弦长的值.
18、如图,正方体的棱长为2,点E为的中点.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离.
19、如图,在四棱锥中,．
（1）若,M为PD的中点,求证：平面PAB；
（2）若是边长为3的正三角形,平面平面ABCD,直线PB与平面ABCD所成角的正切值为,且,求四棱锥的体积．
20、已知直线l经过点．
（1）设直线l与坐标轴交于A,B两点,且P为AB的中点,求直线l的方程．
（2）当原点O到直线l的距离最大时,求直线l的方程.
21、如图,在四棱锥中,平面ABCD,,且,,,,,N为PD的中点．
（1）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；
（2）在线段PD上是否存在一点M,使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为,若存在,求出的值；若不存在,说明理由．
22、已知圆.
（1）若过点向圆C作切线l,求切线l的方程；
（2）若Q为直线上的动点,M是圆C上的动点,定点,求的最大值.
参考答案
1、答案：C
解析：设直线l的倾斜角为,
因为,所以,
当时,即,则；
当时,即,则,
所以直线l的倾斜角为或.
故选：C.
2、答案：B
解析：对A,棱柱的侧面都是四边形,故A错误；
对B,正方体和长方体都是特殊的四棱柱,故B正确；
对C,所有的几何体的表面都能展成平面图形,球不能展成平面图形,故C错误；
对D,棱柱的各条棱都相等,应该为侧棱相等,故D错误；
故选：B.
3、答案：A
解析：将两个圆的标准方程分别化为一般式为,,
两式相减得.
所以选A.
4、答案：A
解析：因为直线与直线互相平行,
则,解得.
故选：A.
5、答案：A
解析：如图,连接PN,
由题得
.
故选：A.
6、答案：C
解析：设圆心坐标,由圆心C与点P关于直线对称,
得到直线CP与垂直,
结合的斜率为1,得直线CP的斜率为-1,
所以,化简得①
再由CP的中点在直线上,,化简得②
联立①②,可得,.
所以圆心C的坐标为,
所以半径为3的圆C的标准方程为.
故选：C.
7、答案：D
解析：因为平面平面ABCD,平面平面,,平面ADE,
所以平面ABCD,
又平面ABCD,所以,
又,所以AB,AD,AE两两垂直,
分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示：
可得,,,,
,,
设BD与EF所成的角大小为,
则,
即BD与EF所成的角的余弦值为,
故选：D.
8、答案：B
解析：连接AC,BD交于点M,取EF的中点O,则平面ABCD,,取BC的中点G,连接FG,作,垂足为H,如图所示
由题意可知,,所以,
所以,,所以,又,
所以,即这个几何体的外接球的球心为O,半径为1,
所以这个几何体的外接球的体积为.
故选：B.
9、答案：ABD
解析：A选项,过任意两点,,当时,
直线方程不能表示,所以A选项错误.
B选项,直线过点,且在x轴和y轴上截距都相等,所以B选项错误.
C选项,直线倾斜角,,则根据正切函数的性质知k的取值范围是,故C正确；
D选项,当时,直线的斜率不存在,所以D选项错误.
故选：ABD.
10、答案：BCD
解析：A选项,若存x,,使得,
则,,共面,与已知矛盾,所以A选项错误.
B选项,,假设,,共面,
则存在m,n,使得,
,所以,
此方程组无解,所以,,不共面,所以B选项正确.
C选项,若,
由于,所以P,B,C,D四点共面,C选项正确.
D选项,若,
即,
整理得,由于,
所以P,B,A,D不共面,所以直线AP与BD异面,所以D选项正确.
故选：BCD.
11、答案：BC
解析：选项A, ,面,面, 面,
P到面的距离等于到面的距离,
,故A正确；
选项B,连接,,
P,Q分别为线段,的中点, 且,
又且, 且,
所以过D,P,Q三点的截面为梯形,
易知,,
作,则,
所以梯形的面积,故B错误；
选项C：将侧面展开如图,显然当Q,P,D三点共线时,取得最小值,最小值为,故C错误；
选项D,连接,则,
则直线DP与直线所成角即为直线DP与直线所成角,
则当P与C重合时,直线DP与直线所成角最小为,
当P与重合时,直线DP与直线所成角最大为,
所以直线DP与直线所成角的取值范围为,故D正确.
故选：BC.
12、答案：BD
解析：直线可化为,
由,得所以直线l过点,
,所以点在圆C外,所以直线l与圆不一定相交,所以A选项错误.
圆的圆心为,半径.
B选项,若直线l平分圆C的周长,则直线l过点,
则,所以B选项正确.
C选项,由于,所以要使圆C上至少有三个点到直线l的距离为,
则圆心到直线l的距离不大于,
即,
两边平方得,
由解得,
所以不等式解得,所以C选项错误.
D选项,若,则直线,
过点Q作圆C的两条切线,切点为A,B,要使最大,
则最大,由于三角形BCQ是直角三角形,,,
所以最大时,最小,
直线的斜率且-1,
过点且斜率为1直线方程为,
由解得,
即当点Q坐标为时,有最大值,所以D选项正确.
故选：BD.
13、答案：
解析：由题意知：可化简为：,
又因为,所以距离为：.
故答案为：.
14、答案：3或9
解析：由题意知：两圆圆心分别为：,,半径分别为：,,
当两圆外切时：,解得：；
当两圆内切时：,解得：,负值舍去；
综上：或.
故答案为：3或9.
15、答案：
解析：向量在向量方向上投影向量为,
故答案为：.
16、答案：.
解析：如图所示,以A为球心,半径为2的球面与该四棱柱的表面交线为四段弧,,,
分别在平面,,,上,
易知,,
,
所以交线长为.
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可得,圆心为,半径为2,
则圆C的方程为；
（2）由（1）可知：圆C的半径,
设圆心到的距离为d,,则,
所以.
18、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由题可得：以D点为原点,分别以DA,DC,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则：,,,,,,
则：,,
,所以：,
所以：.
（2）由（1）可得：,,
设平面的一个法向量为,
则得：,令,得：,
所以点到平面的距离为：.
故点到平面的距离为：.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：取PA中点N,连接NM,
因为N、M分别为PA、PD的中点,所以,且,
在底面ABCD中,因为,且,则且,
因此且,从而四边形BCMN平行四边形,所以．
又因为平面PAB,平面PAB,所以平面PAB．
（2）取AD中点O,连OB、OP．
因为是正三角形,O为AD中点,所以,
因为平面平面ABCD,面平面,平面PAD,
所以平面ABCD,从而为直线PB与平面ABCD所成的角．
在正三角形PAD中,因为,所以．
则在直角中,,所以．
在直角中,,
所以,因此．
四边形ABCD的面积．
又因为,所以四棱锥的体积．
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）直线l与坐标轴交于A,B两点,且为AB的中点,
不妨设,,
故直线l的方程为,即．
（2）
因为直线l过定点,则当直线OP与直线l垂直时,原点O到直线l的距离最大,
,,
,
,
直线l经过点,
,即,
故直线l的方程为．
21、答案：（1）
（2）存在；
解析：（1）过A作,垂足为E,可得：,
由题意知,可以A点为坐标原点,分别以AE,AB,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
如图所示,
则,,,,,,
设平面PBC的一个法向量为,,,
则：,令,解得：,
设平面的一个法向量为,,,
则：,令,解得：,
所以：,
即平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.
（2）存在,,理由如下
设PD上存在一点M,设,,连接CM,如（1）中图所示,
,
又因为直线CM与平面PBC所成角的正弦值为,由（1）知平面PBC的一个法向量为,
所以：,化简得：,
即：,
又因为,所以：,故存在M,且.
22、答案：（1）或
（2）8
解析：（1）若切线l的斜率不存在,则l的方程为；
若切线l的斜率存在,设切线l的方程为,即.
因为直线l与圆C相切,所以圆心到l的距离为3,即,解得,
所以切线l的方程为,即.
综上,切线l的方程为或.
（2）因为,所以．
设关于直线m对称的点为,
则,解得,即.
因为,所以.
因为,当且仅当Q,C,三点共线时,等号成立,
所以,故的最大值为.