四川省内江市第六中学2023-2024学年高二上学期第二次月考（创新班）数学试卷(含答案)

这是一份四川省内江市第六中学2023-2024学年高二上学期第二次月考（创新班）数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2、如图所示,已知正方形的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则其原图形的面积为( )
A.1B.C.D.8
3、已知,是两个不同的平面,的一个充要条件是( )
A.内有无数条直线平行于
B.存在平面,,
C.存在平面,,且
D.存在直线l,,
4、的展开式中,的系数为( )
A.200B.40C.120D.80
5、已知是函数的一个极值点,其中a为实数,则在区间上的最大值为( )
A.0B.1C.2D.3
6、,是直线上的两点,若沿x轴将坐标平面折成的二面角,则折叠后A、B两点间的距离是( )
A.6B.C.D.
7、已知椭圆的左、右焦点分别为,,点P在椭圆C上,且,过P作的垂线交x轴于点A,若,记椭圆的离心率为e,则( )
A.B.C.D.
8、已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是.接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推.求满足如下条件的最小整数N,.且该数列的前N项和为2的整数幂.那么N是( )
A.83B.87C.91D.95
二、多项选择题
9、已知向量,,则下列结论中正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.不存在实数,使得D.若,则
10、已知数列的前n项和,则( )
A.不是等差数列B.
C.数列是等差数列D.
11、已知,,,的外接圆为,则( )
A.点M的坐标为B.的面积是
C.点在外D.直线与相切
12、已知函数,则( )
A.有两个极值点B.有三个零点
C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线
三、填空题
13、已知一个正方体的8个顶点都在一个球面上,则球的表面积与这个正方体的全面积之比为_____________.
14、从0,2,4中任取2个数字,从1,3,5中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,则其中奇数的个数为____________．
15、抛物线的焦点为F,直线与C交于A,B两点,则的值为________.
16、已知函数有三个不同的零点,则整数a的取值可以是_________．
四、解答题
17、如图,已知平面平面ABCD,四边形ABCD是矩形,,点E,F分别是BC,PB的中点.
（1）若点M为线段AD中点,求证：平面AEF;
（2）求证：平面.
18、已知圆
（1）求圆的圆心和半径;
（2）求经过点的圆C的切线方程;
（3）求直线被圆C截得的弦长.
19、如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,平面ABCD,,E是棱PA的中点.
（1）求证：平面BDE;
（2）求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值.
20、已知是递增的等比数列,其前n项和为,满足,．
（1）求的通项公式及;
（2）若,求n的最小值．
21、已知函数．
（1）求函数的单调区间;
（2）已知m,n是正整数,且,证明．
22、已知双曲线,斜率为k的直线l过点M.
（1）若,且直线l与双曲线C只有一个交点,求k的值;
（2）已知点,直线l与双曲线C有两个不同的交点A,B,直线TA,TB的斜率分别为,若为定值,求实数m的值.
参考答案
1、答案：D
解析：由直线,可得,
即其斜率,
设直线的倾斜角为,
则,,
故选：D.
2、答案：C
解析：根据斜二测画法还原得下图,
因为,所以
所以原图形的面积
故选：C.
3、答案：D
解析：对于A,由于内有无数条直线平行于,不一定得到,与也可能相交,如图所示,故A错误;
对于B,若存在平面,,,不一定得到,与也可能相交,如图所示,故B错误;

对于C,存在平面,,,且,不一定得到,与也可能相交,如图所示,故C错误;
对于D,存在直线l,,,由垂直于同一直线的两个平面互相平行,可得,故D正确;
故选：D．
4、答案：B
解析：,
而展开式的通项为,
所以当时,的系数为,
当时,的系数为,
所以的系数为,
故选：B.
5、答案：C
解析：由函数,可得,
因为是函数的一个极值点,所以,解得,
则,其中,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
所以当时,函数取得极大值,极大值为,
又因为,
所以函数在上的最大值为2.
故选：C.
6、答案：A
解析：因为,是直线上的两点,
所以,,
如图为折叠后的图形,作轴于点C,作轴于点D,
则异面直线AC,BD所成的角为,即、的夹角为,
,,,
,
则
,
即折叠后A、B两点间的距离为6.
故选：A.
7、答案：A
解析：因为,,
所以,可得.
在中,.
由椭圆的定义可得,故,
所以,所以.
故选：A.
8、答案：D
解析：根据题意将数列分组,第一组为第一项是,
第二组为为第二项和第三项是,,
依次类推,第n组为,,,…,
第n组含有n项,
所以第n组的和为：,
前n组内一共含有的项数为：,
所以前n组内的项数和为：,
若该数列的前N项和为2的整数幂.,只需将消去即可;
若,则,,
不满足;
若,则,,
不满足;
若,则,,
满足;
故满足如条件的最小整数N为95.
故选：D.
9、答案：AC
解析：对于A,因为,所以,解得,故A正确;
对于B,因为,所以,所以,故B错误;
对于C,假设,则,
所以,该方程组无解,故C正确;
对于D,因为,所以,解得,
所以,,所以,故D错误.
故选：AC.
10、答案：BC
解析：由,
当时,,
当时,,
当时,上式也成立,
所以,故B正确;
因为,所以是等差数列,故A错误;
对于C,,
因为,所以数列是等差数列,故C正确;
对于D,令,则,
所以当时,,当时,,
故,故D错误.
故选：BC.
11、答案：BC
解析：,的垂直平分线的斜率满足：,
,的中点为,故垂直平分线方程为;
同理可得,的垂直平分线方程为：,
,两条垂直平分线的交点为：,
故圆心为,,圆方程为.
对选项A：点M的坐标为,错误;
对选项B：的面积是,正确;
对选项C：,正确;
对选项D：M到直线的距离,相交,错误.
故选：BC.
12、答案：AC
解析：由题,,令得或,
令得,
所以在,上单调递增,上单调递减,所以是极值点,故A正确;
因,,,
所以,函数在上有一个零点,
当时,,即函数在上无零点,
综上所述,函数有一个零点,故B错误;
令,该函数的定义域为R,,
则是奇函数,是的对称中心,
将的图象向上移动一个单位得到的图象,
所以点是曲线的对称中心,故C正确;
令,可得,又,
当切点为时,切线方程为,当切点为时,切线方程为,故D错误.
故选：AC.
13、答案：
解析：设正方体的棱长为a,依题意得正方体的对角线是球的直径,
所以球的半径为,表面积为,
正方体的全面积为,
所以球的表面积与这个正方体的全面积之比为.
故答案为：.
14、答案：84
解析：由题意,分2类讨论：
第一类是从0,2,4中选出的数字没有0,则从2,4中任取2个数字有种方法,
从1,3,5中任取2个数字有种方法,
则组成没有重复数字的四位奇数有个,
第二类是从0,2,4中选出的数字有0,则从2,4中任取1个数字有种方法,
从1,3,5中任取2个数字有种方法,
则组成没有重复数字的四位奇数有个,
则共有个符合条件的奇数,
故答案为：84.
15、答案：3或
解析：抛物线的焦点,准线为,
由,整理得,
解之得或,则,或,
则,或,
则或
故答案为：3或.
16、答案：2,（大于等于2的整数即可,答案不唯一）
解析：当时,,显然不满足题意;
当时,令可得,
令,则,
易知当时,;当或时,;
因此函数在上单调递增,在,上单调递减;
可得的极小值为,极大值为;
作出函数的图象如下图所示：

若函数有三个不同的零点,即与在同一坐标系内有三个不同的交点,
由图可知,解得;
又因为a取整数,且,所以整数a的取值可以是2.
故答案为：2（大于等于2的整数即可,答案不唯一）.
17、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）连结BM交AE于N,连结PM,FN,ME,
因为四边形ABCD是矩形,所以,且,
又M,E分别为AD,BC的中点,所以,且,
所以四边形AMEB是平行四边形,所以N为BM的中点,
又因为M是PB的中点,所以,
因为平面AEF,平面AEF,所以平面AEF;

（2）在矩形ABCD中,,
因为平面平面ABCD,平面平面,平面ABCD,
所以面PAB,
因为平面PAB,所以,
因为,点F是PB的中点,
所以,
又因为,BC,平面PBC,所以平面PBC.
18、答案：（1）2
（2）或
（3）
解析：（1）将圆C的方程化为标准方程得,
故圆的圆心,半径;
（2）当切线的斜率不存在时,方程为,
圆心到直线的距离等于2,故符合题意,
当切线的斜率存在时,设方程为,即,
则有,解得,
所以切线方程为,
综上所述,切线方程为或;
（3）圆心到直线的距离,
所以直线l：被圆C截得的弦长为.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）连接AC交BD于点O,连接OE,
因为四边形ABCD为正方形,所以O为AC的中点,
又因E是棱PA的中点,所以,
又平面BDE,平面BDE,
所以平面BDE;
（2）如图,以点D为原点建立空间直角坐标系,
则,,,
故,
设平面BDE的法向量为,
则有,可取,
因为平面ABCD,
所以即为平面ABCD的一条法向量,
则,
所以平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值为.
20、答案：（1）
（2）7
解析：（1）设等比数列的公比为q,由数列是递增数列,则,
由,则,,由,
整理可得,则,解得,
易知,.
（2）由（1）可得：,
整理可得,,,
故n的最小值为7.
21、答案：（1）当时,的减区间为,无增区间;
当时,的增区间为,减区间为
（2）
解析：（1）函数的定义域为,,
①当时,在上恒成立,的减区间为,无增区间;
②当时,令,解得,令,解得,
所以的增区间为,减区间为．
综上,当时,的减区间为,无增区间;
当时,的增区间为,减区间为．
（2）两边同时取对数,证明不等式成立等价于证明,
即证明,
构造函数,
令,由（1）知,当时,在上为减函数,故,
所以,所以为上的减函数,
因为,知,即,即．
22、答案：（1）或
（2）见解析
解析：（1）由题设,设直线,
联立双曲线,得,
所以,
当,即时,直线与双曲线只有一个交点,
当,交点为;当,交点为;
当,此时,则,
当,切点为;当,切点为;
综上,或.
（2）由题设直线,
联立双曲线方程,得,
则,
故,所以①,
设,则,,
由
又,,
为定值,
所以,此时为定值.