新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第4讲 利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上且在 SKIPIF 1 < 0 轴的上方．若线段 SKIPIF 1 < 0 的中点在以原点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
2．如图，从双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 引圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交双曲线右支于 SKIPIF 1 < 0 点，若 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．以上三种可能都有
3．从双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 引圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交双曲线右支于 SKIPIF 1 < 0 点，若 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 等于 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 右支上异于顶点的任意一点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．定值 SKIPIF 1 < 0
B．定值 SKIPIF 1 < 0
C．定值 SKIPIF 1 < 0
D．不确定，随 SKIPIF 1 < 0 点位置变化而变化
7．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由光学性质知直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角相等，则 SKIPIF 1 < 0 的角平分线所在的直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，若从点 SKIPIF 1 < 0 发出的光线经双曲线右支上的点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 反射后，反射光线为射线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的角平分线所在的直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．设直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则椭圆的离心率是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二．多选题（共1小题）
11．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在第一象限上的点，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的平分线，则下列正确的是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0
三．填空题（共7小题）
12．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上且在 SKIPIF 1 < 0 轴的上方，若线段 SKIPIF 1 < 0 的中点在以原点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 ．
13．已知 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是该抛物线上的两点， SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的中点到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 ．
14．抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线上的两个动点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．过弦 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线准线的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 ．
15．设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线上的两个动点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，过弦 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线准线的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 ．
16．抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线上的两个动点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，过弦 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线准线的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 ．
17．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的平分线，则 SKIPIF 1 < 0 ．
18．如图，从椭圆的一个焦点 SKIPIF 1 < 0 发出的光线射到椭圆上的点 SKIPIF 1 < 0 ，反射后光线经过椭圆的另一个焦点 SKIPIF 1 < 0 ，事实上，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 处的切线 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 的角平分线．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上除长轴端点外的任意一点， SKIPIF 1 < 0 的角平分线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
四．解答题（共8小题）
19．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上除长轴端点外任意一点，△ SKIPIF 1 < 0 周长为12．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
20．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 SKIPIF 1 < 0 上，片门位于该椭圆的另一个焦点 SKIPIF 1 < 0 上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的夹角相等．已知 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立如图的平面直角坐标系．
（1）求截口 SKIPIF 1 < 0 所在椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．
①是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之比为定值，如果存在，求出的 SKIPIF 1 < 0 值，如果不存在，请说明理由；
②若 SKIPIF 1 < 0 的角平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请问 SKIPIF 1 < 0 是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
21．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 ，四点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中有三个点在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，剩余一个点在直线 SKIPIF 1 < 0 上．
SKIPIF 1 < 0 求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）若动点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，过 SKIPIF 1 < 0 作直线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，使得 SKIPIF 1 < 0 ，再过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ．证明直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点，并求出该定点的坐标．
22．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（Ⅱ）过定点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间），设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；若不存在，请说明理由．
23．在①离心率 SKIPIF 1 < 0 ，②椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，③△ SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，_____．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若线段 SKIPIF 1 < 0 的中垂线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
24．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的三个点， SKIPIF 1 < 0 是坐标原点．
（Ⅰ）当点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的右顶点，且四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形时，求此菱形的面积；
（Ⅱ）当点 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的顶点时，判断四边形 SKIPIF 1 < 0 是否可能为菱形，并说明理由．
25．已知过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ．（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，且点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，试讨论当 SKIPIF 1 < 0 取不同的值时，圆心在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，且过点 SKIPIF 1 < 0 的圆的个数．
26．设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）求过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 的准线相切的圆的方程．