高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用优秀课时作业

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1．函数单调性和导数的关系
(1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系
①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增；
②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.
③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.
(2)函数值变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.
常见的对应情况如下表所示.
2．函数的极值
极值的相关概念
(1)极小值点与极小值：
如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点
x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)极大值点与极大值：
如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点
x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

3．函数的最大值与最小值
(1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.
(2)函数的极值与最值的区别
①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.
②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.
③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.
4．导数在解决实际问题中的应用
①利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解.
②解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果.
③利用导数解决实际问题的一般步骤
【题型1 利用导数求单调区间】
【方法点拨】
利用导数求函数f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数；
(4)解不等式f'(x)<0，函数在解集与定义域的的交集上为减函数.
【例1】（2022·吉林·高三阶段练习（理））函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·广西·高二期末（文））函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·宁夏·高二期中（文））函数的单调递减区间是（ ）
A．,B．,C．,D．,
【变式1-3】（2022·云南·模拟预测（理））设a为实数，函数，且是偶函数，则的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．

【题型2 由函数的单调性求参数】
【方法点拨】
由函数的单调性求参数的取值范围经常涉及的两种题型：
(1)已知含参函数y=f(x)在给定区间I上单调递增(减)，求参数范围.方法一：将问题转化为不等式f'(x)≥
0(f'(x)≤0)在区间I上的恒成立问题.方法二：求得递增(减)区间A，利用I与A的关系求解.
(2)已知函数y=f(x)在含参区间上单调递增(减)，求参数范围.方法:利用(1)中的方法二.
【例2】（2022·江苏·高二期末）设函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2022·四川·高二期中（文））已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【题型3 利用导数求函数的极值】
【方法点拨】
求函数的极值需严格按照步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点
是否在定义域内.如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，
若异号，则该点是极值点，否则不是极值点.
【例3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））函数的极小值为（ ）
A．B．1C．D．
【变式3-1】（2022·山东济南·模拟预测）若是函数的极值点．则的极小值为（ ）
A．-3B．C．D．0
【变式3-2】（2022·安徽省高三阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，取得极小值1B．当时，取得极大值1
C．当时，取得极大值33D．当时，取得极大值
【变式3-3】（2022·陕西·高三阶段练习（文））记函数的极大值从大到小依次为、、、、，则（ ）
A．B．C．D．
【题型4 利用导数求函数的最值】
【方法点拨】
设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求f(x)在(a,b)内的极值；
(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【例4】（2021·宁夏·高二期中（文））函数在上的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））函数在区间上的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数在上的最小值为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
【变式4-3】（2022·广东·高二开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【题型5 导数中的零点（方程根）问题】
【方法点拨】
利用导数研究含参函数的零点主要有两种方法：
(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.
(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题.
【例5】（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2022·四川·模拟预测（理））已知函数（其中，）有两个零点，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2022·陕西·一模（理））若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（2022·贵州·高三阶段练习）已知函数满足，且，若函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【题型6 利用导数解（证明）不等式】
【方法点拨】
(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处
的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)
在(a，b)上单调递减即可.
(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．
【例6】（2022·吉林·高三阶段练习（文））已知函数，.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：.
【变式6-1】（2022·河北·高三期中）已知，函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)证明：.
【变式6-2】（2022·北京高三阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)当时，证明：.
【变式6-3】（2022·四川自贡·一模（理））设函数，其中，e为自然对数底数.
(1)若，求函数的最值；
(2)证明：当时，.
【题型7 导数中的恒成立（存在性）问题】
【方法点拨】
解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：
(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端
是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．
(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨
论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.
【例7】（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数.
(1)若，证明：；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围.
【变式7-1】（2022·四川高三期中）已知函数．
(1)若在上是单调递减，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式7-2】（2022·北京·高三阶段练习）已知函数.
(1)时，在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数对任意都有成立，求a的取值范围．
【变式7-3】（2022·广东·高三阶段练习）已知.
(1)若，求函数的单调区间和极值；
(2)若对都有成立，求实数a的取值范围.
【题型8 导数在实际问题中的应用】
【方法点拨】
解决实际问题时，首先要根据实际情况建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式，
然后利用导数研究，进而解决问题.
【例8】用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
【变式8-1】（2022·山东泰安·高二期中）如图，一个面积为平方厘米的矩形纸板，在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为厘米，矩形纸板的两边的长分别为厘米和厘米，其中.
（1）当，求纸盒侧面积的最大值；
（2）试确定的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
【变式8-2】（2022·全国·高三专题练习）某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元／根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，
所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为元.
（Ⅰ）试写出关于的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）当米时，试确定座位的个数，使得总造价最低
【变式8-3】（2022·河南·高三阶段练习（理））某超市开展促销活动，经测算该商品的销售量为s件与促销费用x元满足．已知s件该商品的进价成本为元，商品的销售价格定为元/件．
(1)将该商品的利润y元表示为促销费用x元的函数；
(2)促销费用投入多少元时，商家的利润最大？最大利润为多少?（结果取整数）．
参考数据：，，．