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黑龙江省双鸭山市第三十一中学2024届高三上学期12月期中考试数学
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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 集合，，则
A. B. C. D.
2. 若复数为纯虚数则实数a的值为( )
A. B. 0C. 1D. －1
3. 已知角的终边过点，若，则实数m的值为（ ）
A. B. 4C. 或3D. 或4
4 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆锥的母线长为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A. 30B. 60C. D.
7. 已知数列满足，是其前项和，若，且，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. D.
8. 已知函数，若与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知，函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数初相是
B. 是函数图象的一条对称轴
C. 是函数图象的对称中心
D. 函数的图象向左平移个单位后关于轴对称
10. 如图，正方体的棱长为2，动点分别在线段上，则（ ）
A. 异面直线和所成的角为
B. 点到平面的距离为
C. 若分别为线段的中点，则平面
D. 线段长度的最小值为
11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如下图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 1225是三角形数，不是正方形数
C.
D. ，总存在，使得成立
12. （多选）双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且斜率为k的直线交右支于P，Q两点，以F1Q为直径的圆过点P，则（ ）
A. 若△PF1Q的内切圆与PF1相切于M，则F1M＝a
B. 若双曲线C方程为1，则△PF1Q的面积为24
C. 存在离心率为的双曲线满足条件
D. 若3PF2＝QF2，则双曲线C的离心率为
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 从某校高中3个年级按分层抽样抽取了100人作为调研样本，其中有80人来自高一和高二，若知高一和高二总人数共计900人，则高三学生的总人数为______.
14. 已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是___________.
15. 已知，且，则____________．
16. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有四个不同的解，则实数的取值所构成的集合为______．
四、解答题（本题共6个小题，共70分，17题10分，其他每题12分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 某学校1000名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…第五组，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）请估计学校1000名学生中，成绩在第二组和第三组的人数；
（2）请根据频率分布直方图，求样本数据的平均数和中位数（所有结果均保留两位小数）．
18. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最大值.
19. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，，为的中点，点在上，.
（1）证明：平面；
（2）若，且与平面所成的角为45°，求二面角的余弦值.
20. 数列满足 , .
（1）求的值；
（2）求数列通项公式；
（3）设，，求数列的前项和.
21. 设椭圆：（）的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.
22. 已知函数．
（1）求函数的极值，
（2）对任意实数，恒成立，求正实数a的取值范围．
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 集合，，则
A. B. C. D.
2. 若复数为纯虚数则实数a的值为( )
A. B. 0C. 1D. －1
3. 已知角的终边过点，若，则实数m的值为（ ）
A. B. 4C. 或3D. 或4
4 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆锥的母线长为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A. 30B. 60C. D.
7. 已知数列满足，是其前项和，若，且，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. D.
8. 已知函数，若与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知，函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数初相是
B. 是函数图象的一条对称轴
C. 是函数图象的对称中心
D. 函数的图象向左平移个单位后关于轴对称
10. 如图，正方体的棱长为2，动点分别在线段上，则（ ）
A. 异面直线和所成的角为
B. 点到平面的距离为
C. 若分别为线段的中点，则平面
D. 线段长度的最小值为
11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如下图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 1225是三角形数，不是正方形数
C.
D. ，总存在，使得成立
12. （多选）双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且斜率为k的直线交右支于P，Q两点，以F1Q为直径的圆过点P，则（ ）
A. 若△PF1Q的内切圆与PF1相切于M，则F1M＝a
B. 若双曲线C方程为1，则△PF1Q的面积为24
C. 存在离心率为的双曲线满足条件
D. 若3PF2＝QF2，则双曲线C的离心率为
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 从某校高中3个年级按分层抽样抽取了100人作为调研样本，其中有80人来自高一和高二，若知高一和高二总人数共计900人，则高三学生的总人数为______.
14. 已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是___________.
15. 已知，且，则____________．
16. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有四个不同的解，则实数的取值所构成的集合为______．
四、解答题（本题共6个小题，共70分，17题10分，其他每题12分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 某学校1000名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…第五组，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）请估计学校1000名学生中，成绩在第二组和第三组的人数；
（2）请根据频率分布直方图，求样本数据的平均数和中位数（所有结果均保留两位小数）．
18. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最大值.
19. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，，为的中点，点在上，.
（1）证明：平面；
（2）若，且与平面所成的角为45°，求二面角的余弦值.
20. 数列满足 , .
（1）求的值；
（2）求数列通项公式；
（3）设，，求数列的前项和.
21. 设椭圆：（）的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.
22. 已知函数．
（1）求函数的极值，
（2）对任意实数，恒成立，求正实数a的取值范围．
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