2023-2024学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二上学期12月月考试题数学

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A．110B．98C．124D．148
2．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．的展开式中的系数是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．60 (第4题图）
4．用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240 B．360 C．480 D．600
5．双曲线（，）的一条渐近线经过，则该双曲线离心率为（ ）
A．B．2C．D．4
6．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别
为0.25，0.3，0.1，0 ,则他迟到的概率为（ ）
A．0.65 B．0.075 C．0.145 D．0
7．某高校校党委计划开展“学党史，争当新时代先锋”活动月，并在活动月末举办党史知识竞赛.数学学院初步推选出2名教师和6名学生共8名党史知识学习优秀者，并从中随机选取5名组成院代表队参加学校党史知识竞赛，则在代表队中既有教师又有学生的条件下，教师甲被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为,
，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ）
B．C．D．5
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．圆和圆的交点为，，则有（ ）
A．公共弦的长为 B．公共弦所在直线方程为
C．线段中垂线方程为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
10．在的展开式中，下列叙述中正确的是（ ）
A．二项式系数之和为128 B．各项系数之和为1
C．常数项为15 D．二项式系数最大的项是第3项和第4项
11．小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事件为“只有小张去甲景点”，则（ ）
A．这四人不同的旅游方案共有64种B．“每个景点都有人去”的方案共有72种
C．D．“四个人只去了两个景点”的概率是
12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，点为双曲线上异于的一动点，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为9
B．若以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则
C．若，则有或13
D．设，的斜率分别为、，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．设的分布列如右图，又，则 ．
（第13题图）
14．设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值是 ．
15．2023年春节期间，电影院上映《流浪地球2》 《满江红》 《熊出没伴我“熊芯”》等多部电影，某居委会有6张不同的电影票，奖励给甲、乙、丙三户“五好文明家庭”，其中一户1张，一户2张，一户3张，则共有 种不同的分法．
16．离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 .
四．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(10分）若，且.
(1)求实数a的值； (2)求的值.
18．(12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过且斜率为的直线交椭圆于，两点，求弦的长.
19．(12分）为了调动学生学习数学的积极性，张老师对教学方法进行改革，经过教学实验，张老师的80名学生数学成绩都在[50，100]内，按区间分为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀．
(1)求这80名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；
(2)按优秀与非优秀用分层随机抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X，求X的分布列和期望．
20．(12分）设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，（其中O为坐标原点）的面积为4．
(1)求a； (2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为，
证明：直线l过定点，并求出此定点坐标．
21．(12分）飞行棋是一种竞技游戏，玩家用棋子在图纸上按线路行棋，通过掷骰子决定行棋步数．为增加游戏乐趣，往往在线路格子中设置一些“前进”“后退”等奖惩环节，当骰子点数大于或等于到达终点的格数时，玩家顺利通关．已知甲、乙两名玩家的棋子已经接近终点，其位置如图所示：

(1)求甲还需抛掷2次骰子才顺利通关的概率；
(2)若甲、乙两名玩家每人最多再投掷3次，且第3次无论是否通关，该玩家游戏结束．设甲、乙两玩家再投掷骰子的次数为，分别求出的分布列和数学期望．
22．(12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，，上顶点为A，椭圆的焦距等于椭圆的长半轴长，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若B，C是椭圆上不同的两点，且直线AB和直线AC的斜率之积为，求面积的最大值．
1
2
3
4
P
a