（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案1.4《基本不等式》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.结合作差法，了解基本不等式的证明过程，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合求函数最值问题，考查灵活运用基本不等式解决问题的能力，凸显数学运算的核心素养．
3．结合实际应用问题，考查利用基本不等式求最值问题，凸显数学建模的核心素养．
[理清主干知识]
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,3ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,4\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq \a\vs4\al(当且仅当a＝b时,等号成立.)
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(求和的最值)已知x>0，y>0，xy＝16，则x＋y的最小值为( )
A．32 B．24 C．4eq \r(2) D．8
解析：选D 由基本不等式得x＋y≥2eq \r(xy)＝8，当且仅当x＝y＝4时等号成立．
2．(求积的最值)若x>0，y>0，且2(x＋y)＝36，则eq \r(xy)的最大值为( )
A．9 B．18 C．36 D．81
解析：选A 由2(x＋y)＝36，得x＋y＝18，所以eq \r(xy)≤eq \f(x＋y,2)＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．
3．(基本不等式成立的条件)若x0，且ab＝1，则eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值为________．
[解析] (1)f(x)＝eq \f(x2＋3x＋6,x＋1)＝eq \f(x＋12＋x＋1＋4,x＋1)＝x＋1＋eq \f(4,x＋1)＋1，
∵x>0，∴x＋1>1，∴x＋1＋eq \f(4,x＋1)＋1≥2eq \r(4)＋1＝5，当且仅当x＋1＝eq \f(4,x＋1)，即x＝1时取“＝”．
∴f(x)的最小值是5，故选D.
(2)依题意得eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)＝eq \f(a＋b,2ab)＋eq \f(8,a＋b)＝eq \f(a＋b,2)＋eq \f(8,a＋b)≥2 eq \r(\f(a＋b,2)×\f(8,a＋b))＝4，
当且仅当eq \f(a＋b,2)＝eq \f(8,a＋b)，即a＋b＝4时取等号．因此，eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值为4.
[答案] (1)D (2)4
[方法技巧]
1．拼凑法求最值
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
2．拼凑法求解最值应注意的问题
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件．
考法(二) 常数代换法求最值
[例2] (1)已知函数y＝lga(x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A.若直线mx＋ny＝2过点A，其中m，n是正实数，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值是( )
A．3＋eq \r(2) B．3＋2eq \r(2) C.eq \f(9,2) D．5
(2)已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．
[解析] (1)由y＝lga(x－1)＋2的图象恒过定点A可知A(2,2)．所以2m＋2n＝2，所以m＋n＝1.
又因为m>0，n>0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(m＋n)＝3＋eq \f(n,m)＋eq \f(2m,n)≥3＋2 eq \r(\f(n,m)·\f(2m,n))＝3＋2eq \r(2)，
当且仅当n＝eq \r(2)m时，取等号．
(2)因为3a＋b＝2ab，所以eq \f(3,2b)＋eq \f(1,2a)＝1，又a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)(eq \f(3,2b)＋eq \f(1,2a))＝2＋eq \f(3a,2b)＋eq \f(b,2a)≥2＋eq \r(3)，
当且仅当eq \f(3a,2b)＝eq \f(b,2a)时取等号，即a＋b的最小值为2＋eq \r(3).
[答案] (1)B (2)2＋eq \r(3)
[方法技巧]
1．常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
2．常数代换法求解最值应注意的问题
(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；
(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；
(3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．
考法(三) 放缩法求最值
[例4] (1)已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的最小值是________．
(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
[解析] (1)∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2eq \r(ab)＋3(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，
∴(eq \r(ab))2－2eq \r(ab)－3≥0，∴(eq \r(ab)－3)(eq \r(ab)＋1)≥0，∴eq \r(ab)－3≥0，∴eq \r(ab)≥3，即ab≥9.
∴ab的最小值为9.
(2)∵x>0，y>0，∴9－(x＋3y)＝xy＝eq \f(1,3)x·(3y)≤eq \f(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋3y,2)))2，当且仅当x＝3y时等号成立．
设x＋3y＝t>0，则t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，
又∵t>0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.
[答案] (1)9 (2)6
[方法技巧]
放缩法解不等式求最值的方法
将所给代数式，利用基本不等式放大或缩小，构造出所求最值的代数式的结构，然后通过解不等式求出代数式范围，从而求出代数式的最值．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．设a>0，则a＋eq \f(a＋4,a)的最小值为( )
A．2eq \r(a＋4) B．2 C．4 D．5
解析：选D a＋eq \f(a＋4,a)＝a＋1＋eq \f(4,a)≥1＋2 eq \r(a·\f(4,a))＝5，当且仅当a＝2时取等号，故选D.
2．设x为实数，则“x0)．
∴a＋b＝(a＋b)(eq \f(4,a)＋eq \f(3,b))＝4＋3＋eq \f(4b,a)＋eq \f(3a,b)≥7＋2 eq \r(\f(4b,a)·\f(3a,b))＝7＋4eq \r(3)，当且仅当eq \r(3)a＝2b时取等号．故选C.
6．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)的最小值是( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(8,3) C．8 D．24
解析：选C 因为a∥b，故3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)＝eq \f(1,3)(2x＋3y)(eq \f(3,x)＋eq \f(2,y))＝eq \f(1,3)(12＋eq \f(9y,x)＋eq \f(4x,y))≥eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12＋2 \r(\f(9y,x)·\f(4x,y))))＝8，当且仅当x＝eq \f(3,4)，y＝eq \f(1,2)时等号成立，所以eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)的最小值为8，故选C.
7．已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边分别为a，b，c，则eq \f(4,a＋b)＋eq \f(a＋b,c)的最小值为( )
A．2 B．2＋eq \r(2) C．4 D．2＋2eq \r(2)
解析：选D 因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，
所以eq \f(1,2)(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，
所以eq \f(4,a＋b)＋eq \f(a＋b,c)＝eq \f(2a＋b＋c,a＋b)＋eq \f(a＋b,c)＝2＋eq \f(2c,a＋b)＋eq \f(a＋b,c)≥2＋2eq \r(2)，
当且仅当a＋b＝eq \r(2)c，即c＝2eq \r(2)－2时，等号成立，所以eq \f(4,a＋b)＋eq \f(a＋b,c)的最小值为2＋2eq \r(2).
8．正数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，6] D．[6，＋∞)
解析：选D 因为a>0，b>0，eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)(eq \f(1,a)＋eq \f(9,b))＝10＋eq \f(b,a)＋eq \f(9a,b)≥10＋2eq \r(9)＝16，
当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(9a,b)，即a＝4，b＝12时，等号成立．由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，令f(x)＝x2－4x－2，则f(x)＝(x－2)2－6，
所以f(x)的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.
9．若关于x的不等式x＋eq \f(4,x－a)≥5在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
解析：∵x＋eq \f(4,x－a)＝x－a＋eq \f(4,x－a)＋a≥5在(a，＋∞)上恒成立，由x>a可得x－a>0.
则(x－a)＋eq \f(4,x－a)≥2 eq \r(x－a·\f(4,x－a))＝4，当且仅当x－a＝2即x＝a＋2时，上式取得最小值4，
又∵x－a＋eq \f(4,x－a)≥5－a在(a，＋∞)上恒成立，∴5－a≤4，∴a≥1.
答案：1
10．(1)当x＜eq \f(3,2)时，求函数y＝x＋eq \f(8,2x－3)的最大值；
(2)设0＜x＜2，求函数y＝eq \r(x4－2x)的最大值．
解：(1)y＝eq \f(1,2)(2x－3)＋eq \f(8,2x－3)＋eq \f(3,2)＝－eq \f(3－2x,2)＋eq \f(8,3－2x)＋eq \f(3,2).
当x＜eq \f(3,2)时，有3－2x＞0，∴eq \f(3－2x,2)＋eq \f(8,3－2x)≥2eq \r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，
当且仅当eq \f(3－2x,2)＝eq \f(8,3－2x)，即x＝－eq \f(1,2)时取等号．于是y≤－4＋eq \f(3,2)＝－eq \f(5,2)，故函数的最大值为－eq \f(5,2).
(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，∴y＝eq \r(x4－2x)＝eq \r(2)·eq \r(x2－x)≤ eq \r(2)·eq \f(x＋2－x,2)＝eq \r(2)，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝eq \r(x4－2x)的最大值为eq \r(2).