（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案8.3《圆的方程及综合问题》 (2份打包，原卷版+教师版)

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知识点一 圆的方程
1．圆的定义及方程
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)，圆的标准方程(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2.
[提醒] 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2﹣4F的符号，只有大于0时才表示圆．
3．谨记常用结论
若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：
(1)当F＝0时，圆过原点．
(2)当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．
(3)当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．
(4)当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．
[重温经典]
1．(教材改编题)圆x2＋y2﹣4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(﹣2,3) C．(﹣2，﹣3) D．(2，﹣3)
答案：D
2．(教材改编题)圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝2
答案：D
3．(易错题)方程x2 ＋y2＋mx﹣2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞) B．(﹣∞，﹣2eq \r(2))∪(2eq \r(2)，＋∞)
C．(﹣∞，﹣eq \r(3))∪(eq \r(3)，＋∞) D．(﹣∞，﹣2eq \r(3))∪(2eq \r(3)，＋∞)
答案：B
4．若点(1,1)在圆(x﹣a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．(﹣1,1) B．(0,1) C．(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞) D．a＝±1
答案：A
5．(教材改编题)已知圆C经过A(5,2)，B(﹣1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为____________．
解析：设圆C的方程为(x﹣a)2＋y2＝r2，
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－a2＋4＝r2，,－1－a2＋16＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,r2＝20，))所以圆C的方程为(x﹣1)2＋y2＝20.
答案：(x﹣1)2＋y2＝20
6．已知圆C经过点A(1,3)，B(4,2)，且与直线2x＋y﹣10＝0相切，则圆C的标准方程为________________．
解析：由题意，设圆C的方程为(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2，
因为点B(4,2)在直线2x＋y﹣10＝0上，所以点B(4,2)是圆与直线2x＋y﹣10＝0的切点，
连接圆心C和切点的直线与切线2x＋y﹣10＝0垂直，
则kBC＝eq \f(1,2)，则BC的方程为y﹣2＝eq \f(1,2)(x﹣4)，整理得x﹣2y＝0，
由线段AB的垂直平分线的方程为3x﹣y﹣5＝0，
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y－5＝0，,x－2y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))即圆心坐标为C(2,1)，
又由r＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BC))＝eq \r(4－22＋2－12)＝eq \r(5)，所以圆的方程为(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝5.
答案：(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝5
知识点二 直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)
2．圆的切线
(1)过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0﹣a)(x﹣a)＋(y0﹣b)(y﹣b)＝r2.
(2)过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
(3)切线长
①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝eq \f(2ar,d).
[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
3．圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
(1)几何法：因为半弦长eq \f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1﹣x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1﹣y2|.
4．谨记常用结论
过直线Ax＋By＋C＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.
[重温经典]
1．(教材改编题)直线l：x﹣y＋1＝0与圆C：x2＋y2﹣4x﹣2y＋1＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
解析：选D 圆的方程化为(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为
eq \f(|2－1＋1|,\r(2))＝eq \r(2)<2，所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心．故选D.
2．若直线x﹣y＋1＝0与圆(x﹣a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1,3] C．[﹣3,1] D．(﹣∞，﹣3]∪[1，＋∞)
解析：选C 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为eq \r(2)，
∴eq \f(|a－0＋1|,\r(12＋－12))≤ eq \r(2)，即|a＋1|≤2，解得﹣3≤a≤1.故选C.
3．(教材改编题)圆C：x2＋y2﹣2x＝0被直线y＝eq \r(3)x截得的线段长为( )
A．2 B.eq \r(3) C．1 D.eq \r(2)
解析：选C 圆C：x2＋y2﹣2x＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y＝eq \r(3)x的距离为
d＝eq \f(|\r(3)|,\r(3＋1))＝eq \f(\r(3),2)，弦长为2·eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2)＝1，故选C.
4．(易错题)圆x2＋y2﹣4x＝0在点P(1，eq \r(3))处的切线方程为( )
A．x＋eq \r(3)y﹣2＝0 B．x＋eq \r(3)y﹣4＝0
C．x﹣eq \r(2)y＋4＝0 D．x﹣eq \r(3)y＋2＝0
解析：选D 圆的方程为(x﹣2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，由题可知切线的斜率存在，设切线方程为y﹣eq \r(3)＝k(x﹣1)，即kx﹣y﹣k＋eq \r(3)＝0，∴eq \f(|2k－k＋\r(3)|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq \f(\r(3),3).
∴切线方程为y﹣eq \r(3)＝eq \f(\r(3),3)(x﹣1)，即x﹣eq \r(3)y＋2＝0.
5．(教材改编题)设直线x﹣y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x﹣4y＋2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则a＝( )
A．﹣1或1 B．1或5 C．﹣1或3 D．3或5
解析：选B 由题得圆的方程为(x＋1)2＋(y﹣2)2＝3，所以圆心为(﹣1,2)，半径为eq \r(3).所以圆心到直线的距离为eq \r(\r(3)2－12)＝eq \f(|－1－2＋a|,\r(2))，解得a＝1或5.故选B.
6．已知直线l与圆x2＋y2﹣4y＝0相交于A，B两点，且线段AB的中点P坐标为(﹣1,1)，则直线l的方程为__________．
解析：因为圆x2＋y2﹣4y＝0的圆心坐标为C(0,2)，又点P坐标为(﹣1,1)，
所以直线CP的斜率为kCP＝eq \f(2－1,0＋1)＝1.又因为AB是圆的一条弦，P为AB的中点，
所以AB⊥CP，故kAB＝﹣1，即直线l的斜率为﹣1，
因此，直线l的方程为y﹣1＝﹣(x＋1)，即x＋y＝0.
答案：x＋y＝0
知识点三 圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
[提醒] 涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．
2．谨记常用结论
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)．
[重温经典]
1．(教材改编题)圆O1：x2＋y2﹣2x＝0和圆O2：x2＋y2﹣4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
解析：选B 圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2，故两圆的圆心距d＝eq \r(5)，而r2﹣r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2﹣r12．圆C1：(x﹣m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y﹣m)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．﹣5 C．2或﹣5 D．不确定
解析：选C 由题意得C1(m，﹣2)，r1＝3，C2(﹣1，m)，r2＝2，则两圆心之间的距离为|C1C2|＝eq \r(m＋12＋－2－m2)＝2＋3＝5，解得m＝2或﹣5.故选C.
3．圆x2＋y2＝8与圆x2＋y2＋4x﹣16＝0的公共弦长为( )
A．8 B．4 C．2 D．1
解析：选B 两圆方程作差得x＝2，当x＝2时，由x2＋y2＝8得y2＝8﹣4＝4，即y＝±2，
即两圆的交点坐标为A(2,2)，B(2，﹣2)，则|AB|＝2﹣(﹣2)＝4，故选B.
4．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y﹣2＝0与圆C2：x2＋y2﹣4x﹣2y＋4＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析：选D 圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴圆心C1(﹣1，﹣1)，半径r1＝2；圆C2：(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1，
∴圆心C2(2,1)，半径r2＝1.
∴两圆心的距离d＝eq \r(－1－22＋－1－12)＝eq \r(13)，r1＋r2＝3，∴d>r1＋r2，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．
5．(教材改编题)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay﹣6＝0(a>0)的公共弦的长为2eq \r(3)，则a＝________.
解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay﹣6)﹣(x2＋y2)＝0﹣4⇒y＝eq \f(1,a)，
又a>0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，
可知eq \f(1,a)＝ eq \r(22－\r(3)2)＝1⇒a＝1.
答案：1
6．(易错题)若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y﹣a)2＝25相切，则常数a＝________.
解析：两圆的圆心距d＝eq \r(－42＋a2)，由两圆相切，得eq \r(－42＋a2)＝5＋1或eq \r(－42＋a2)＝5﹣1，
解得a＝±2eq \r(5)或a＝0.
答案：±2eq \r(5)或0.
第2课时 精研题型明考向——圆的方程、直线与圆的位置关系
一、真题集中研究——明考情
1．(2020·全国卷Ⅰ·考查弦长问题)已知圆x2＋y2﹣6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 将圆的方程x2＋y2﹣6x＝0化为标准方程(x﹣3)2＋y2＝9.
设圆心为C，则C(3,0)，半径r＝3.设点(1,2)为点A，过点A(1,2)的直线为l.
因为(1﹣3)2＋22＜9，所以点A(1,2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.
易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小．
设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝|AC|＝eq \r(3－12＋0－22)＝2eq \r(2)，
所以|BD|min＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(32－2\r(2)2)＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.
2．(2020·全国卷Ⅲ·考查导数的几何意义、直线与圆相切的应用)
若直线l与曲线y＝eq \r(x)和圆x2＋y2＝eq \f(1,5)都相切，则l的方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋eq \f(1,2) C．y＝eq \f(1,2)x＋1 D．y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)
解析：选D 设直线l在曲线y＝eq \r(x)上的切点为(x0，eq \r(x0))，则x0>0，函数y＝eq \r(x)的导数为y′＝eq \f(1,2\r(x))，
则直线l的斜率k＝eq \f(1,2\r(x0)) .设直线l的方程为y﹣eq \r(x0)＝eq \f(1,2\r(x0))(x﹣x0)，即x﹣2eq \r(x0)y＋x0＝0.
由于直线l与圆x2＋y2＝eq \f(1,5)相切，则eq \f(x0,\r(1＋4x0))＝eq \f(1,\r(5))，
两边平方并整理得5xeq \\al(2,0)﹣4x0﹣1＝0，解得x0＝1或x0＝﹣eq \f(1,5)(舍去)，
所以直线l的方程为x﹣2y＋1＝0，即y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2).
3．(2018·全国卷Ⅲ·考查距离问题、直线与圆的位置关系)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x﹣2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8] C．[eq \r(2)，3eq \r(2)] D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)]
解析：选A 设圆(x﹣2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，
则圆心C(2,0)，r＝eq \r(2)，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为eq \f(|2＋2|,\r(2))＝2eq \r(2)，
可得dmax＝2eq \r(2)＋r＝3eq \r(2)，dmin＝2eq \r(2)﹣r＝eq \r(2).由已知条件可得|AB|＝2eq \r(2)，
所以△ABP面积的最大值为eq \f(1,2)|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为eq \f(1,2)|AB|·dmin＝2.
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．
[把脉考情]
二、题型精细研究——提素养
题型一 求圆的方程
[典例] (1)已知圆M与直线3x﹣4y＝0及3x﹣4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝﹣x﹣4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y﹣1)2＝1 B．(x﹣3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝1
(2)一个圆与y轴相切，圆心在直线x﹣3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq \r(7)，则该圆的方程为_______________________________________________________．
[解析] (1)到两直线3x﹣4y＝0,3x﹣4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x﹣4y＋5＝0，联立得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1.))又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1，故选C.
(2)法一：几何法
∵所求圆的圆心在直线x﹣3y＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2eq \r(7)，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝eq \f(|2a|,\r(2))，
∴d2＋(eq \r(7))2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.
故所求圆的方程为(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
即x2＋y2﹣6x﹣2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法二：待定系数法
设所求圆的方程为(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为eq \f(|a－b|,\r(2))，
∴r2＝eq \f(a－b2,2)＋7，即2r2＝(a﹣b)2＋14.①
由于所求圆与y轴相切，∴r2＝a2，②
又∵所求圆的圆心在直线x﹣3y＝0上，∴a﹣3b＝0，③
联立①②③，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，,r2＝9))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－1，,r2＝9.))
故所求圆的方程为(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
即x2＋y2﹣6x﹣2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法三：待定系数法
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F).在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.
由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，则E2＝4F.①
圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直线y＝x的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))，由已知得d2＋(eq \r(7))2＝r2，
即(D﹣E)2＋56＝2(D2＋E2﹣4F)．② 又圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线x﹣3y＝0上，∴D﹣3E＝0.③
联立①②③，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝－2，,F＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝6，,E＝2，,F＝1.))
故所求圆的方程为x2＋y2﹣6x﹣2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
[答案] (1)C (2)x2＋y2﹣6x﹣2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0
[方法技巧]
1．求圆的方程的2种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2．确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
[针对训练]
1．已知直线l：3x﹣4y﹣15＝0与圆C：x2＋y2﹣2x﹣4y＋5﹣r2＝0(r>0)相交于A，B两点，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝6，则圆C的标准方程为( )
A．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝25 B．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝36
C．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝16 D．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝49
解析：选A 圆C：x2＋y2﹣2x﹣4y＋5﹣r2＝0可化为(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝r2，设圆心(1,2)到直线l的距离为d，则d＝eq \f(|3－8－15|,5)＝4，又|AB|＝6，根据r2＝32＋42＝25，所以圆C的标准方程为(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝25.故选A.
2．已知圆C的圆心是直线x﹣y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆(x﹣2)2＋(y﹣3)2＝8相外切，则圆C的方程为______________．
解析：由题意知圆心C(﹣1,0)，其到已知圆圆心(2,3)的距离d＝3eq \r(2)，由两圆相外切可得R＋2eq \r(2)＝d＝3eq \r(2)，∴R＝eq \r(2).∴圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
题型二 弦长问题
[典例] (1)若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csin C＝ 3asin A＋3bsin B，则直线l：ax﹣by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为( )
A．4eq \r(6) B．2eq \r(6) C．6 D．5
(2)过点(1,1)的直线l与圆(x﹣2)2＋(y﹣3)2＝9相交于A，B两点，当|AB|＝4时，直线l的方程为__________．
[解析] (1)因为eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).故由csin C＝3asin A＋3bsin B可得c2＝3(a2＋b2)．
圆O：x2＋y2＝12的圆心为O(0,0)，半径为r＝2eq \r(3)，圆心O到直线l的距离d＝eq \f(|c|,\r(a2＋b2))＝eq \r(3)，
所以直线l被圆O所截得的弦长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(2\r(3)2－\r(3)2)＝6，故选C.
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，但|AB|≠4，不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣1＝k(x﹣1)．由|AB|＝4，得eq \f(|k－2|,\r(1＋k2))＝eq \r(5)，解得k＝﹣eq \f(1,2)，
所以直线l的方程为y﹣1＝﹣eq \f(1,2)(x﹣1)，即x＋2y﹣3＝0.
[答案] (1)C (2)x＋2y﹣3＝0
[方法技巧] 解决有关弦长问题的常用方法及结论
[针对训练]
1．已知圆C：(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝3及直线l：ax＋y﹣2a﹣2＝0，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为________．
解析：由l：ax＋y﹣2a﹣2＝0得a(x﹣2)＋y﹣2＝0，∴不论a取何值，直线l恒过点P(2,2)．
∵12＋12＝2<3，∴点P(2,2)在圆C内．故当直线l垂直CP时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时kCP＝﹣1，∴kl＝1，故直线l的方程为x﹣y＝0.
答案：x﹣y＝0
2．函数f(x)＝xln x＋a的图象在x＝1处的切线被圆C：x2＋y2﹣2x＋4y﹣4＝0截得的弦长为2，则实数a的值为________．
解析：∵f(x)＝xln x＋a，∴f′(x)＝1＋ln x，则切线的斜率k＝f′(1)＝1，∵f(1)＝a，
∴切点坐标为(1，a)，∴函数f(x)＝xln x＋a的图象在x＝1处的切线方程为y＝x＋a﹣1.
又∵圆C：x2＋y2﹣2x＋4y﹣4＝0的圆心坐标为(1，﹣2)，半径为3，
∴圆心到直线x﹣y＋a﹣1＝0的距离d＝eq \f(|2＋a|,\r(2))，
∵切线被圆C：x2＋y2﹣2x＋4y﹣4＝0截得的弦长为2，则(eq \f(|2＋a|,\r(2)))2＋12＝32，∴a＝﹣6或2.
答案：﹣6或2
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、综合练——练思维敏锐度
1．圆(x﹣2)2＋y2＝4关于直线y＝eq \f(\r(3),3)x对称的圆的方程是( )
A．(x﹣eq \r(3))2＋(y﹣1)2＝4 B．(x﹣eq \r(2))2＋(y﹣eq \r(2))2＝4
C．x2＋(y﹣2)2＝4 D．(x﹣1)2＋(y﹣eq \r(3))2＝4
解析：选D 设圆(x﹣2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝eq \f(\r(3),3)x对称的点的坐标为(a，b)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a－2)·\f(\r(3),3)＝－1，,\f(b,2)＝\f(\r(3),3)·\f(a＋2,2)，))解得a＝1，b＝eq \r(3)，从而所求圆的方程为(x﹣1)2＋(y﹣eq \r(3))2＝4.故选D.
2．过点(2,1)的直线中被圆(x﹣1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是( )
A．3x﹣y﹣5＝0 B．3x＋y﹣7＝0
C．x＋3y﹣5＝0 D．x﹣3y＋5＝0
解析：选A ∵过点(2,1)的直线中被圆(x﹣1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程经过圆心，
∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1，﹣2)的直线，
∴其方程为：eq \f(y＋2,x－1)＝eq \f(1＋2,2－1)，整理，得3x﹣y﹣5＝0.故选A.
3．过点(﹣4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x﹣4y﹣20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为( )
A．5x＋12y＋20＝0 B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x﹣12y＋20＝0 D．5x﹣12y＋20＝0或x＋4＝0
解析：选B 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y﹣2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(﹣1,2)到直线l的距离d＝3.
当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝﹣4时，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx﹣y＋4k＝0.则有eq \f(|3k－2|,\r(k2＋1))＝3，
∴k＝﹣eq \f(5,12).此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.
4．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2﹣6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为( )
A．1 B．±1 C.eq \r(3) D．±eq \r(3)
解析：选D 根据题意，圆C：x2＋y2﹣6y＋6＝0即x2＋(y﹣3)2＝3，其圆心为(0,3)，半径r＝eq \r(3)，直线y＝ax与圆C：x2＋y2﹣6y＋6＝0相交于A，B两点，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线y＝ax的距离d＝eq \f(3,2)，则有eq \f(|3|,\r(1＋a2))＝eq \f(3,2)，解得a＝±eq \r(3).
5．已知圆(x﹣2)2＋y2＝1上的点到直线y＝eq \r(3)x＋b的最短距离为eq \r(3)，则b的值为( )
A．﹣2或2 B．2或4eq \r(3)＋2 C．﹣2或4eq \r(3)＋2 D．﹣4eq \r(3)﹣2或2
解析：选D 由圆(x﹣2)2＋y2＝1，可得圆心坐标为(2,0)，半径r＝1，
设圆心(2,0)到直线y＝eq \r(3)x＋b的距离为d，则d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2\r(3)＋b)),\r(3＋1))，因为圆(x﹣2)2＋y2＝1上的点到直线y＝eq \r(3)x＋b的最短距离为eq \r(3)，所以d﹣r＝eq \r(3)，即eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2\r(3)＋b)),\r(3＋1))﹣1＝eq \r(3)，解得b＝2或b＝﹣4eq \r(3)﹣2，故选D.
6．(多选)若直线l：y＝kx＋1与圆C：(x＋2)2＋(y﹣1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x﹣2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
解析：选AC 由题意知C(﹣2,1)，圆C的半径为eq \r(2)，则eq \f(|－2k－1＋1|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，解得k＝±1，
则直线l的方程为y＝±x＋1.D(2,0)，圆D的半径为r＝eq \r(3)，
k＝1时，D到直线l的距离为eq \f(|2＋1|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)>eq \r(3)，相离；
k＝﹣1时，D到直线l的距离为eq \f(|－2＋1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)7．已知直线l：x﹣eq \r(3)y﹣a＝0与圆C：(x﹣3)2＋(y＋eq \r(3))2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝eq \f(π,3)，则实数a的值等于( )
A．2或10 B．4或8 C．6±2eq \r(2) D．6±2eq \r(3)
解析：选B 由∠MPN＝eq \f(π,3)可得∠MCN＝2∠MPN＝eq \f(2π,3).
在△MCN中，CM＝CN＝2，∠CMN＝∠CNM＝eq \f(π,6)，
可得点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，－\r(3)))到直线MN，即直线l：x﹣eq \r(3)y﹣a＝0的距离为2sineq \f(π,6)＝1.
所以eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3－\r(3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3)))－a)),\r(1＋3))＝1，解得a＝4或8.故选B.
8．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x﹣y＋3＝0与圆C相切于点A(﹣2，﹣1)，则m＝________，r＝________.
解析：由题意得，圆心C(0，m)到直线2x﹣y＋3＝0的距离d＝eq \f(|－m＋3|,\r(5))＝r，又r＝|AC|＝eq \r(4＋m＋12)，所以eq \f(|－m＋3|,\r(5))＝eq \r(4＋m＋12)，解得m＝﹣2，所以r＝eq \r(5).
答案：﹣2 eq \r(5)
9．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x﹣y＋6＝0，在直线l上任取一点P向圆C作切线，切点为A，B，连接AB，则直线AB一定过定点________．
解析：设点P(x0，y0)，则x0﹣y0＋6＝0.以CP为直径的圆的方程为x(x﹣x0)＋y(y﹣y0)＝0，
又圆C：x2＋y2＝4，作差可得直线AB的方程为xx0＋yy0＝4，将y0＝x0＋6，代入可得(x＋y)x0＋6y﹣4＝0，
满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,6y－4＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(2,3)，,y＝\f(2,3)，))故直线AB过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(2,3))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(2,3)))
10．已知圆C：x2＋y2﹣2x﹣4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.
解析：圆C：x2＋y2﹣2x﹣4y＋1＝0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m＋1＝0，解得m＝﹣1，所以|MC|2＝13，|MP|＝eq \r(13－4)＝3.
答案：3
11．已知圆C经过点(0,1)且圆心为C(1,2)．
(1)写出圆C的标准方程；
(2)过点P(2，﹣1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长．
解：(1)由题意知，圆C的半径r＝eq \r(1－02＋2－12)＝eq \r(2)，
所以圆C的标准方程为(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝2.
(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P(2，﹣1)的切线方程为y＋1＝k(x﹣2)，
即kx﹣y﹣2k﹣1＝0，则eq \f(|－k－3|,\r(1＋k2))＝eq \r(2)，
所以k2﹣6k﹣7＝0，解得k＝7或k＝﹣1，
故所求切线的方程为7x﹣y﹣15＝0或x＋y﹣1＝0.
由圆的性质易得所求切线长为eq \r(PC2－r2)＝eq \r(2－12＋－1－22－2)＝2eq \r(2).
12．已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，﹣2)，求直线l与圆M的方程．
解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋2，,y2＝2x))可得y2﹣2my﹣4＝0，则y1y2＝﹣4.
又x1＝eq \f(y\\al(2,1),2)，x2＝eq \f(y\\al(2,2),2)，故x1x2＝eq \f(y1y22,4)＝4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝eq \f(－4,4)＝﹣1，所以OA⊥OB.
故坐标原点O在圆M上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.
故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝eq \r(m2＋22＋m2).
由于圆M过点P(4，﹣2)，因此eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(BP,\s\up7(―→))=0，故(x1﹣4)(x2﹣4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2﹣4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)知y1y2＝﹣4，x1x2＝4.所以2m2﹣m﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣eq \f(1,2).
当m＝1时，直线l的方程为x﹣y﹣2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为eq \r(10)，圆M的方程为(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝10.
当m＝﹣eq \f(1,2)时，直线l的方程为2x＋y﹣4＝0，圆心M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，－\f(1,2)))，圆M的半径为eq \f(\r(85),4)，圆M的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2)))2＝eq \f(85,16).
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)
圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径：r＝eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)
理论依据
点到圆心的距离与半径的大小关系
三种情况
(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2eq \a\vs4\al(＝)r2⇔点在圆上
(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2eq \a\vs4\al(>)r2⇔点在圆外
(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2eq \a\vs4\al(<)r2⇔点在圆内
相离
相切
相交
图形
量
化
方程
观点
Δeq \a\vs4\al(<)0
Δ＝0
Δeq \a\vs4\al(>)0
几何
观点
d>r
deq \a\vs4\al(＝)r
d相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1﹣r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1﹣r2|
d＜|r1﹣r2|
常规
角度
1.圆的方程．主要考查圆的方程的求法，圆的最值问题
2.直线与圆的位置关系．主要考查圆的切线方程、圆的弦长问题
创新
角度
与三角形(或四边形)结合求面积问题，与向量、三角函数交汇考查最值或范围问题
几何法
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA﹣yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA﹣xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA﹣yB|，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用