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（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案1.3《不等式的性质及一元二次不等式》 (2份打包，原卷版+教师版)

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2023-12-16 12:19
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1.与命题的真假判断相结合，考查不等式的性质，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.
2.结合二次函数的图象，考查一元二次不等式的解法，凸显直观想象、数学运算的核心素养.
3.结合“三个二次”间的关系，考查转化与化归能力，凸显数学抽象的核心素养.
4.与实际问题相结合，考查应用不等式性质、一元二次不等式解决问题的能力，凸显数学建模的核心素养.
[理清主干知识]
1.两个实数比较大小的依据
(1)a>b⇔a﹣b>0；(2)a＝b⇔a﹣b＝0；(3)a2.不等式的性质
3.三个“二次”间的关系
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1.若aA.eq \f(1,a－b)>eq \f(1,a) B.eq \f(1,a)>eq \f(1,b) C.|a|>|b| D.a2>b2
2.设A＝(x﹣3)2，B＝(x﹣2)(x﹣4)，则A与B的大小关系为( )
A.A≥B B.A>B C.A≤B D.A3.函数f(x)＝lg2(﹣x2﹣3x＋4)的定义域为________.
4.若集合A＝{x|x2﹣ax＋1>0}＝R，则实数a的取值范围是________.
5.若1<α<3，﹣4<β<2，则α﹣|β|的取值范围是________.
二、易错点练清
1.已知实数a∈(﹣3,1)，b∈(eq \f(1,8),eq \f(1,4))，则eq \f(a,b)的取值范围是( )
A.(﹣12,8) B.(﹣24,8) C.(﹣24,4) D.(﹣12,4)
2.不等式x(x＋5)<3(x＋5)的解集为________.
3.不等式(x﹣2)(3﹣2x)≥0的解集为________.
4.若不等式mx2＋2mx﹣4<2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是________.
考点一不等式的性质及应用
[典例] (1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6﹣4a＋3a2，c﹣b＝4﹣4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b
(2)若eq \f(1,a)0；③a﹣eq \f(1,a)>b﹣eq \f(1,b)；④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
[方法技巧]
1.比较两个数(式)大小的2种方法
2.谨记2个注意点
(1)与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.
(2)在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.
[针对训练]
1.(多选)已知实数a，b，c满足cA.ab>ac B.c(b﹣a)>0 C.ac(a﹣c)<0 D.cb22.(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
A.a2＋b2≥eq \f(1,2) B.2a﹣b>eq \f(1,2) C.lg2a＋lg2b≥﹣2 D.eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)
考点二一元二次不等式的解法
[例1]不等式2x＋3﹣x2>0的解集是( )
A.{x|﹣13或x<﹣1}
C.{x|﹣31或x<﹣3}
[例2]已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2﹣ax>a2.
[方法技巧]
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.
(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式.
[针对训练]
1.(多选)下列四个不等式中，解集为∅的是( )
A.﹣x2＋x＋1≤0 B.2x2﹣3x＋4＜0
C.x2＋3x＋10≤0 D.﹣x2＋4x﹣(a+ SKIPIF 1 < 0 )＞0(a＞0)
2.已知实数a满足不等式﹣30的解集.
考点三一元二次不等式的综合应用
考法(一) “三个二次”之间的关系及应用
[例1] 若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|﹣12ax的解集为( )
A.{x|﹣21} C.{x|03}
[方法技巧]
“三个二次”之间的关系
若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，则x1，x2是不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0)解集的端点，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标.
考法(二) 一元二次不等式的恒(能)成立问题
题点1 一元二次不等式在实数集R上的恒成立问题
[例2] 若不等式2kx2＋kx﹣eq \f(3,8)<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________.
[方法技巧] 一元二次不等式在R上恒成立的条件
题点2 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题
[例3] 设函数f(x)＝mx2﹣mx﹣1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)<﹣m＋5恒成立，则m的取值范围是________________.
[方法技巧]
在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).
(2)转化为函数值域问题，即：已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.
题点3 不等式能成立或有解问题
[例4] 设a∈R，若关于x的不等式x2﹣ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，则( )
A.a≤2 B.a≥2 C.a≥eq \f(5,2) D.a≤eq \f(5,2)
[方法技巧]
解决不等式能成立问题的策略一般也是转化为函数最值，
即：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.
[针对训练]
1.已知关于x的不等式x2﹣(k﹣1)x﹣k＋1≥0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是( )
A.(﹣∞，﹣3]∪[1，＋∞) B.(﹣∞，1]∪[3，＋∞)
C.[﹣1,3] D.[﹣3,1]
2.设m为实数，若函数f(x)＝x2﹣mx＋2在区间(﹣∞，2)上是减函数，对任意的x1，x2∈[1,eq \f(m,2)＋1]，总有|f(x1)﹣f(x2)|≤4，则m的取值范围为( )
A.[4,6] B.(4,6) C.(4,6] D.[4,6)
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1.已知a∈R，p＝a2﹣4a＋5，q＝(a﹣2)2，则p与q的大小关系为( )
A.p≤q B.p≥q C.pq
2.若﹣1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A.﹣2<α﹣β<0 B.﹣2<α﹣β<﹣1 C.﹣1<α﹣β<0 D.﹣1<α﹣β<1
3.不等式2x2﹣x﹣3>0的解集是( )
A.(﹣eq \f(3,2)，1) B.(﹣∞，﹣1)∪(eq \f(3,2)，＋∞)
C.(﹣1,eq \f(3,2)) D.(﹣∞,﹣eq \f(3,2))∪(1，＋∞)
4.若实数m，n满足m>n>0，则( )
A.﹣eq \f(1,m)<﹣eq \f(1,n) B.eq \r(m)＋eq \r(n)>eq \r(m＋n) C.(eq \f(1,2))m>(eq \f(1,2))n D.m25.若∀x∈R,2x2﹣mx＋3≥0恒成立，则实数m的取值范围为________.
二、综合练——练思维敏锐度
1.(多选)设a，b为非零实数，且aA.a2>ab B.a22.已知a为实数，“a>1”是“a2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若关于x的不等式ax﹣b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x﹣3)>0的解集是( )
A.(﹣∞，﹣1)∪(3，＋∞) B.(1,3)
C.(﹣1,3) D.(﹣∞，1)∪(3，＋∞)
4.设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥0，,2，x<0，))若不等式xf(x﹣1)≥a的解集为[3，＋∞)，则a的值为( )
A.﹣3 B.3 C.﹣1 D.1
5.若存在x0∈[﹣2,3]，使不等式2x0﹣xeq \\al(2,0)≥a成立，则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞，1] B.(﹣∞，﹣8] C.[1，＋∞) D.[﹣8，＋∞)
6.若a>1，则关于x的不等式eq \f(ax,x＋1)≥1的解集是( )
A.[-1,eq \f(1,a－1)] B.(-1,eq \f(1,a－1)] C.(﹣∞，1)∪(1，＋∞) D.(﹣∞，﹣1)∪[eq \f(1,a－1),+∞)
7.(多选)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|﹣eq \f(1,2)A.a>0 B.b>0 C.c>0 D.a＋b＋c>0
8.在关于x的不等式x2﹣(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是( )
A.(﹣3,5) B.(﹣2,4) C.[﹣3,5] D.[﹣2,4]
9.若00的解集是________________.
10.已知a＋b＞0，则eq \f(a,b2)＋eq \f(b,a2)与eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的大小关系是________.
11.a，b∈R，a＜b和eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)同时成立的条件是________.
12.若不等式x2＋ax﹣2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是__________.
13.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋ax，x≥0，,bx2－3x，x＜0))为奇函数，则不等式f(x)＜4的解集为________.
14.已知f(x)＝﹣3x2＋a(6﹣a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(﹣1,3)，求实数a，b的值.
15.已知函数f(x)＝x2﹣eq \f(a,2)x＋1.
(1)若f(x)≥0在R上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若∃x∈[1,2]，f(x)≥2成立，求实数a的取值范围.
性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔ba
可逆
传递性
a>b，b>c⇒a>c；a同向
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒acc的符号
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
同向
同向同正
可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向，
同正
可乘方性
a>b>0，n∈N*⇒an>bn
同正
可开方性
a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)
同正
判别式
Δ＝b2﹣4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1有两相等实根
x1＝x2＝﹣eq \f(b,2a)
没有
实数根
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
{x|x>x2或xeq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
eq \a\vs4\al(R)
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|x1eq \a\vs4\al(∅)
eq \a\vs4\al(∅)
不等式类型
恒成立条件
ax2＋bx＋c>0
a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0
a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0
a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0
a<0，Δ≤0