期末模拟测试卷（拔高卷）2023-2024学年九年级数学上册人教版

这是一份期末模拟测试卷（拔高卷）2023-2024学年九年级数学上册人教版，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．班主任邀请甲、乙、丙三位同学参加圆桌会议．如图，班主任坐在C座位，三位同学随机坐在三个座位，则甲、乙两位同学座位相邻的概率是（ ）

A．B．C．D．
2．如图，的圆心A关于弦的对称点为B，且的半径为3．劣弧的长是（ ）

A．B．C．D．
3．如图所示是一个中心对称图形，点为对称中心．若，，，则的长为（ ）

A．4B．C．D．
4．如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（ ）

A．B．C．D．
5．抛物线 向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得的抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
6．一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（ ）
A．4元B．6元C．4元或6元D．5元
7．如图，正方形边长为4，E、F、G、H分别是上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
8．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是一元二次方程的根，则；
④若c是方程的一个根，则一定有成立．
其中正确的（ ）
A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③
二、填空题
9．春节期间，某超市举办了“年跨年迎新购物季”促销活动，该超市对一款原价为元的商品降价销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价，此时售价共降低了元，则 ．
10．某公司举办产品鉴定会，参加会议的是该公司的林经理和邀请的专家，在专家到会时，林经理和每位专家握一次手表示欢迎；在专家离会时，林经理又和他们每人握一次手表示道别，且参加会议的每两位专家都握了一次手，所有参加会议的人共握手14次，则参加这次会议的专家的人数是 ．
11．动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到岁的概率为，活到岁的概率为，活到岁的概率为，现年岁的这种动物活到岁的概率为 ．
12．如图所示，的半径为，圆心在直线上，．若沿从点到点的方向移动，当与直线相切时，圆心移动的距离为 ．

13．如图，是的直径，点在上，是的中点，过点作的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为 ．

14．如图，在正方形中，点为中点，把绕点A顺时针旋转，得到，，则四边形的面积为 ．

15．如图所示，在菱形中，，，为等边三角形，点，分别在菱形的边，上滑动，且，不与，，重合．

（1）计算： ；
（2）当点，在，上滑动时，面积的最大值是 ．
16．已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有下列结论：①，②，③，④．其中错误的是 ．

三、问答题
17．如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，．

(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)当时，
直接写出的度数为______；
若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．
18．如图，在正方形中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长2为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案．（计算时π取3）

(1)求阴影部分的面积；
(2)若在正方形中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率．（豆子落在弧上不计）
19．已知在同一平面直角坐标系中，存在关于x的一元二次方程（为常数，）有两个相等的实数根，若二次函数（为常数，）与一次函数（为常数，）交于轴的正半轴．
(1)求，的值；
(2)求二次函数与一次函数的所有交点的坐标．
20．阅读下列材料：
解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为…①，
解这个方程得：．
当时，．∴；
当时，，∴
所以原方程有四个根： ．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)解方程时，若设，则原方程可转化为 ；并求出x
(2)利用换元法解方程：．
21．九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面．

(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？
22．我们在研究问题时，可以改变研究的对象，提出一些新的问题，解决这些新的问题又可以获得一些新的发现．比如，研究了“直线与圆的位置关系”后，我们可以这样改变研究的对象：

(1)把研究对象“直线”改为“射线”，可以提出下面的问题：
如图是射线和．改变射线的位置，如果以它们公共点的个数情况以及端点与的位置关系作为标准，请尝试将射线和的位置关系进行分类（要求：每一种类型画出一个示意图）．
(2)把研究对象“圆”改为“正方形”，可以提出下面的问题：
①在直线和正方形的各种位置关系中，它们的公共点个数有哪几种情况？
②已知正方形的边长是1，其中心到直线的距离是，当正方形与直线有且只有一个公共点时，的取值范围是_______．
23．在学习了垂径定理后，同学们开始探索用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老师请小亮同学做如下四等分圆弧问题的操作：
请利用直尺和圆规四等分

小亮的作法如下：
①连接；
②作的垂直平分线交于点，交于点；
③分别作线段，线段的垂直平分线，，交于，两点．
那么，，三点把四等分．

(1)小明否定了小亮四等分作法的正确性，请你帮小明简要说明判断小亮作法错误的理由；
(2)请你利用直尺和圆规四等分所给的（仿照小亮，写出简要的作法步骤，保留作图痕迹）．

参考答案：
1．C
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲、乙两位同学座位相邻的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中甲、乙两位同学座位相邻的结果有4种，即，
∴甲、乙两位同学座位相邻的概率为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
2．B
【分析】连接、、．由对称的性质和圆可得为等边三角形，进而可得的度数，再根据弧长公式即可得出结论．
【详解】解：连接、、．

∵圆心A关于弦的对称点为B，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，判定为等边三角形是解题关键．
3．D
【分析】根据中心对称图形的特点可知：，再根据含角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，问题随之得解．
【详解】根据中心对称图形的特点可知：，
∵，，
∴在中，，
∵在中，，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的特点，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据中心对称图形的特点得到，是解答本题的关键．
4．D
【分析】利用切线长定理得到等边，再利用给出的三条边长，设未知数列方程组，计算出边长，再利用等边换边得到的周长．
【详解】是的内切圆,
、、 是的切线，
又切于点K，

、、、、，
的周长为：
设，，，
则、、，
解得，
的周长为：．
故选D．
【点睛】本题考查切线长定理及边长的计算，需要理清目标和条件，正确且有条理的计算是解题的关键．
5．A
【分析】根据函数图像平移法则“左加右减、上加下减”，将题中文字描述转化为数学符号即可解决问题．
【详解】∵抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，
∴所得的抛物线的解析式为，
即
故选：A
【点睛】本题主要考查了抛物线平移，熟练掌握函数图像平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键．
6．B
【分析】设每件工艺品需降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设每件工艺品需降价元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
要使顾客尽量得到优惠，
，
要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价6元，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】解：正方形边长为4，
，
是的二次函数，函数的顶点坐标为，开口向上
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意
但是的顶点在轴上，故B不符合题意，只有A符合题意
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
8．D
【分析】①根据题意可知是一元二次方程的解，然后根据判别式的意义可得①正确；②根据判别式的意义可得，则，再根据判别式的意义可得②正确；③根据方程解的定义可得，然后通过对式子变形，整体代入可得③正确；④根据方程解的定义可得，而当时，则不一定等于0，④错误．
【详解】解：①若，即当时，，那么一元二次方程有实数根，此时成立，①正确；
②若方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，②正确；
③由是一元二次方程的根可知，则，所以，③正确；
④由c是方程的一个根，得，当时，可得；当时，则不一定等于0，④错误；
综上：正确的是①②③，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解决本题的关键．
9．
【分析】根据某超市对一款原价位元的商品降价销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价，此时售价降低了元，列方程即可得到结论．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．
10．4
【分析】所有参加会议的人握手次数=林经理和每位专家握手次数+专家与专家之间的握手次数，据此即可求解．
【详解】解：设参加这次会议的专家有人，由题意得：
整理得：
解得：（舍去）
故参加这次会议的专家有人
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用．掌握所有参加会议的人握手次数=林经理和每位专家握手次数+专家与专家之间的握手次数是解题关键．
11．/
【分析】先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．
【详解】解：设共有这种动物只，则活到岁的只数为活到岁的只数为，
故现年岁到这种动物活到岁的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
12．1或5/5或1
【分析】当与相切时，切点为点C，如图所示，连接，根据的长，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出此时OP的长，当O移到射线PB的反向延长线上时，分别求出圆心O移到的距离即可．
【详解】解：当与相切时，切点为点C，如图1所示，连接，

∵为的切线，
∴，
在中，，，
∴，
此时圆心O移到的距离为；
当P在射线的反向延长线上时，如图2所示，

同理圆心O移到的距离为．
故答案为：1或5
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．
13．/度
【分析】先根据垂径定理得到，根据切线的性质得到，则，再根据平行线的性质得到，然后根据圆周角定理得到，则利用互余可计算出的度数．
【详解】解：是的直径，是的中点，
，
为的切线，
，
，
，
是的直径，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理．
14．4
【分析】根据旋转的性质可知，根据勾股定理求正方形的边长即可求解
【详解】解：根据旋转的性质，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4
【点睛】本题主要考查图形的旋转、勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键
15． 6 /
【分析】（1）连接，证明，从而得到：，即可求出；
（2）利用，可以推出四边形的面积等于的面积，利用的面积等于的面积减去的面积，当的面积面积最小时，即可求出的面积．
【详解】解：（1）连接，

∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：6．
（2）∵，
∴四边形AECF的面积=，
∴，
∴当最小时，最大，
根据垂线段最短，当时，最短，此时最小，

∵为等边三角形，
∴当时，，
，
∴，
同理可求：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质．解题的关键是连接菱形的对角线，构造全等三角形．
16．②④/④②
【分析】利用二次函数的开口方向，对称轴，图象与坐标轴的交点逐项判断即可．
【详解】∵二次函数的图象开口向上，
∴，
故①正确，
∵对称轴直线在y轴的左边，
，
∴，
故②正确，
∵二次函数的图象与y轴交于负半轴，
∴，
故③正确，
∵对称轴直线，
∴，
∴，
故④错误，
故答案为：②④
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．(1)，理由见解析
(2)①，②，理由见解析
【分析】（1）利用证明，即可得出答案；
（2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题；
②延长到，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明，得．
【详解】（1）解：，
证明：是等边三角形，
，，
将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
；
（2）解：①当时，
则，
，
，
，
故答案为：；
②，理由如下：
延长到，使，连接，，

为的中点，
，
四边形为平行四边形，
且，
，，
又，
，
，
又，，
，
，
又为正三角形，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键．
18．(1)2
(2)
【分析】（1）根据阴影部分的面积等于半径为2的扇形的面积的2倍减去正方形的面积及扇形面积公式计算即可；
（2）用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，
；
（2）解：由题意可得，
豆子落在阴影区域内的概率为．
【点睛】本题考查几何概率、扇形的面积公式，解题的关键是正确求出阴影部分的面积．
19．(1)，
(2)，
【分析】（1）根据判别式的意义求出，得到二次函数解析式，然后求出二次函数图象与x轴的交点坐标，即二次函数与一次函数的交点坐标，代入一次函数解析式可得的值；
（2）联立两函数解析式即可求出所有交点的坐标．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为，
当时，
解得：，
∴二次函数与一次函数的交点坐标为，
把代入得：，
解得：；
（2）由（1）知二次函数的解析式为，一次函数的解析式为，
联立，解得：或，
∴二次函数与一次函数的所有交点的坐标为，．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判断式的意义，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，函数图象交点坐标的求法等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
20．(1)，，
(2)，
【分析】（1）直接代入得关于y的方程，然后进行计算，即可得到结果；
（2）设把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x的值．
【详解】（1）解：设，原方程可变形为：，
∴因式分解为：，
∴或，
∴或，
对于方程，
解得：，，
对于方程，
移项得：，
∵，
∴上述方程无解，
∴原方程的解为：，．
故答案为：．
（2）设，则，
原方程变形为：，
去分母，得，
即，
解得，，
经检验，是分式方程的根．
∴，
即：，
解得：，．
经检验， 是上述分式方程的根．
∴原方程的解为：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根．
21．(1)，能够投中
(2)能够盖帽拦截成功
【分析】（1）观察函数图象可知：抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是．设抛物线的解析式是，根据抛物线上点的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征验证篮圈中心点是否在抛物线上，此题得解；
（2）代入求出值，由该值小于可得出盖帽拦截成功．
【详解】（1）由题意可知，抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是．
∴可设抛物线的解析式是．
抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线解析式为．
当时，，
篮圈的中心点在抛物线上，
能够投中．
（2）当时，，
能够盖帽拦截成功．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）代入求出值．
22．(1)共6种情况见解析
(2)①公共点个数共有4种情况：没有公共点，1个公共点，2个公共点，无数个公共点；②
【分析】（1）根据射线、直线和圆的定义的知识进行解答；
（2）①根据射线、直线和圆的定义的知识进行解答；
②正方形的边长是1，根据正方形的性质可知，其对角线的长度为，再根据点到直线的距离的知识分析即可．
【详解】（1）解：共6种情况，如图①～图⑥．
；
（2）解：①公共点个数共有4种情况，没有公共点，1个公共点．2个公共点，无数个公共点；

②由题意，作出图形如下：

由题可知，，是正方形的中心．
则，
所以．
答案：．
【点睛】此题考查的是四边形综合题目，涉及到了圆的性质、正方形的性质、与圆的位置关系等知识，正确作出图形是解决此题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用垂径定理判断即可；
（2）以为圆心，大于为半径画弧，交于两点，连接两点交于点，再连接，再以同样的作法作出的垂直平分线即可．
【详解】（1）解：理由：直线，平分的是线段，，但，不是，对应的圆上的弦，所以作法错误；
（2）解：如图，

①连接；
②作的垂直平线交于点；
③连接，；
④分别作，的垂直平分线交于点，点；那么点，，是四等分点．
【点睛】本题考查了作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、垂径定理等知识，熟练掌握线段垂直平分线的作法、线段垂直平分线的性质、垂径定理是解题的关键．