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人教版人教版六年级数学上册 第八单元数学广角—数与形（原卷版）
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这是一份人教版人教版六年级数学上册 第八单元数学广角—数与形（原卷版），共40页。
本专题是第八单元数学广角——数与形。本部分内容主要是数、形规律的类题型，以数字、数列、图形、算式等形式为主，进行规律探索。考试多以填空、选择等题型为主，题目具有一定的探索性和抽象性，其中自主探索类题目难度稍大，综合性较强，建议作为重点部分进行讲解，共划分为十三个考点，欢迎使用。
【考点一】整数列规律。
【方法点拨】
数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。
【典型例题】
根据规律在下面的括号里填上合适的数。
（1）1，3，5，7，（ ），（ ），13，15。
（2）2，5，8，11，（ ），（ ），20。
（3）50，44，38，（ ），（ ），20。
【对应练习1】
找规律：
（1）1、4、7、10、13、16、19、（ ）；
（2）1、2、4、7、11、16、22、29、（ ）；
（3）2、3、5、8、13、21、34、55、（ ）；
（4）5、5、7、10、9、15、11、20、（ ）、（ ）；
（5）1、4、9、16、25、36、49、64、（ ）。
【对应练习2】
找规律
（1）2、6、10、14、18、22、26、（ ）；
（2）0.5、1.6、2.7、3.8、4.9、6、（ ）；
（3）0、2、2、4、6、10、16、26、（ ）；
（4）1、2、4、8、16、32、64、（ ）；
（5）70、71、72、61、74、51、76、41、（ ）、（ ）；
（6）1、8、27、64、125、（ ）；
（7）1、6、16、31、51、76、（ ）；
（8）1、4、5、9、14、23、37、60、（ ）；
（9）67、66777、66677777、66667777777、（ ）；
（10）7.7、77.07、777.007、7777.0007、（ ）。
【考点二】分数列规律。
【方法点拨】
数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。
【典型例题1】
一列分数的前5个是 12、25、310、417、526。根据这5个分数的规律可知，第6个分数是________。
【典型例题2】
11，12，22，13，23，33 ，···，请问45是这组数的第（ ）个数。
A. 12 B. 13 C. 14 D. 17
【对应练习1】
在，，，，这列分数中，第10个分数是（ ）。
【对应练习2】
找规律：、、、、 、 、
【考点三】等差数列基本题型。
【方法点拨】
1.等差数列：在数列中，人们把如1、2、3、4、5、6、7、8、9这样的一串数叫做“等差数列”。
2.公差：等差数列是指在一串数中，从第二项开始，后面一项与前面一项的差相等的数列，这个相等的差叫做“公差”。
3.首项：这数列的第一项叫首项。
4.末项：最后一项叫末项。
5.等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题1】判断等差数列。
在下面的括号填写适当的数。
（1）1、4、7、10、( )、 ( )、19
（2）2、3、5、( )、12、( ) 、23
（3）0、2、4、( )、8、10、( )
判断上面的数列是不是等差数列，如果是，请直接说出首项、末项、项数及公差；如果不是，说明为什么。
【典型例题2】求末项。
有一个数列1、5、9、13…，问这个数列的第30项是多少？
【对应练习】
一个等差数列：4、7、10、13…，求此数列第81项。
【典型例题3】求项数。
有一个数列2、5、8、11…2003、2006。这个数列共有多少项？
【对应练习】
请你求出数列2、6、10…2006、2010。这个数列有多少项？
【典型例题4】求和。
1＋5＋9＋13＋17＋21＋25＋29＋33
【对应练习】
1＋2＋3＋4＋…＋120
【考点四】等差数列在生活实际中的应用。
【方法点拨】
等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题】
一堆粗细均匀的圆木堆放在一起，最上面有1根，下面每一层都比上一层多1根，最下层有53根。这堆圆木一共有多少根？
【对应练习1】
屋子里有50个人，每两个人都要握一次手，那么所有人一共握多少次手？
【对应练习2】
A城与B城之间有10座车站（包括A城与B城这两站），每两座车站之间的距离都不相同，车票也不相同，那么往返于A城与B城之间的火车，有多少种不同的票价？有多少种不同的车票？
【考点五】等差数列在图形中的应用。
【方法点拨】
等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题】
如下图，摆1个正方形需4根火柴棒，摆2个正方形需7根火柴棒，摆3个正方形需10根火柴棒……
照这样摆下去，摆4个正方形需（ ）根火柴棒；摆10个正方形需（ ）根火柴棒；摆n个正方形需要（ ）根火柴棒。
【对应练习1】
如图，如果正方形每个端点各摆一个花盆，n个正方形端点可摆放多少个花盆？
【对应练习2】
按下列规律摆放☆，则第⑤堆☆有多少个？第⑨堆☆有多少个？第n堆☆有多少个？
【对应练习3】
明明用小棒搭了3间房子(如下图所示)，像这样搭下去，搭5间房子要用_____根小棒；搭n间房子要用_________根小棒。
【考点六】等差数列在较复杂图形中的应用。
【方法点拨】
等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题】
用边长为1cm的小正方形搭如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是（ ）cm（用含 n 的代数式表示）。
【对应练习1】
下面每个三角形图都是由一些相同的小三角形组成的。如果小三角形的边长是1，每个三角形的周长分别是多少？如果摆成一个n层的大三角形，它的周长又是多少？
【对应练习2】
下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的。
(1)观察图形，填写下表：
(2)推测第n个图形中，正方形的个数为______，周长为_____(用含 n 的代数式表示)。
【对应练习3】
观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式。
（2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式。
【考点七】图形规律一：数形结合。
【方法点拨】
图形中寻找规律，还是要把图形转变成数，再寻找数字之间的规律。
【典型例题1】
根据上面图形与数的规律，接着这样排列下去，如果不画，你知道第10个数是多少吗？第n个数呢？
【典型例题2】
准备若干个边长为1厘米的等边三角形，并按下图所示一个接一个地拼接起来，然后填下表。
回答：
（1）当三角形的个数是10时，所拼成图形的周长是（ ）厘米。
（2）当三角形的个数是100时，所拼成图形的周长是（ ）厘米。
【典型例题3】
我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。
根据“杨辉三角”每行的和与所在行的关系列表如下，请将表格填写完整。
【典型例题4】
王鹏用小棒摆了四幅树状图，以下是树状图变化的规律：
王鹏按照这个规律继续往下摆，第五幅树状图要摆（ ）根小棒。
A. 23 B. 31 C. 35 D. 45
【典型例题5】
下图中的数是“三角形数”。先观察图形，再完成练习。
（1）照样子画一画，并在括号里写出这个“三角形数”。
（2）第1个“三角形数”：1；第2个“三角形数”：1+2；第3个“三角形数”：1+2+3；……第n个“三角形数”：________。
【典型例题6】
填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）。
A. 86 B. 52 C. 38 D. 74
【对应练习】
若 =1， =2， =3，则 =________.
【考点八】图形规律二：位置变换。
【方法点拨】
图形位置变换的规律比较简单，注意观察位置的变化就能快速找出规律。
【典型例题】
找规律，接下来涂色正确的是（ ）。
A．B．C．
【对应练习1】
根据下面图形的排列规律，在下面四个图形中选一个填在横线上。_________
A．B．C．D．
【对应练习2】
找出下面图形变化的规律，在方框中画出第四幅图。
【考点九】图形规律三：图形的数字含义。
【方法点拨】
该类题型注意观察数字与图形的联系，找出图形与数字的相似点，再把图形转换为数字。
【典型例题】
下面每个图形都是由△、○、□中的两个（可以相同）构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，猜猜最右面图形下面的“？”表示（ ）。
A. 23 B. 31 C. 13 D. 32
解析：B。
观察对比图形可得：这组图形的规律是外面图形表示个位数字，里面图形是十位数字，由此可以推出：△代表2，○代表3，□代表1，据此得到最右面图形表示的数字。
【对应练习】
下面的每一个图形都是由△、口、O中的两个组成的。观察各个图形，根据图形下面的数找出规律，画出表示“23”和“12”的图形。
【考点十】图形规律四：稍复杂的图形探索。
【方法点拨】
图形中寻找规律，还是要把图形转变成数，再寻找数字之间的规律。
【典型例题】
自主探索。
仔细观察上面的点子图，根据每个图中点子的排列规律，想一想，可以怎样计算每个图中点子的总个数?请你把下表填写完整。
观察表中数据，如果用A表示第n个图形中点子的个数，A和n之间的关系可以表示成：A= ________。
【对应练习】
小华用边长是1厘米的小正方形摆出了下面的图形，并依次写出了每个图形的周长的算式，请你根据规律将表格填写完整。
【考点十一】图形规律五：图形与算式的结合。
【方法点拨】
该类型题注意算式规律的变化，可先找出算式的规律，再通过图形的变化来验证算式的变化。
【典型例题】
根据下图的规律，第8个图形的正确列式是( )。
A．82－62 B．92－72 C．102－82
【对应练习】
妙算正方形的个数。
(1)完成上面的填空．
(2)照这样画下去，第6个图形有多少个正方形？
【考点十二】周期规律。
【方法点拨】
周期问题关键在于找到一个周期是多少，然后再利用周期作除法求出问题。
【典型例题】
运动场上插了五颜六色的彩旗，按照两面黄旗、三面红旗、一面绿旗的顺序排列，那么第100 面彩旗是什么颜色？前100面彩旗中，一共有多少面红旗？
解析：这是一道典型的余数周期问题，每6面彩旗为一组（也称为一个周期），可以求出100面彩旗中一共有多少组，余数是多少，就可以知道第 100 面彩旗是什么颜色了，余几，那么就是一组中的第几面。再求每组有多少面红旗，余下部分有几面红旗，就能求出红旗总数了。
100÷6=16(组)……4（面）
16×3+2=50(面)
答：第100面彩旗是红颜色的，前100面彩旗中，一共有50面红旗。
【对应练习1】
节日的夜景真漂亮,街上的彩灯按照5盏红灯，再接4盏蓝灯，再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯，4盏蓝灯，3盏黄灯……这样排下去。问:
（1）第108盏灯是什么颜色?
（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯?
【对应练习2】
下面图形是按规律排列的，根据规律可以判断第125个图形是（ ），前125 个图形中这个图形共有（ ）个。
【对应练习3】
循环小数的小数部分第2012位上的数字是多少？这2012位数字的总和是多少？
【考点十三】算式规律。
【方法点拨】
周期问题关键在于找到一个周期是多少，然后再利用周期作除法求出问题。
【典型例题1】
找规律，写得数。
=1-， ，
据上面等式，则： ________
【对应练习1】
简便计算。
11×4+14×7+17×10
【对应练习2】
计算： ++++++++。
【典型例题2】
找规律，写结果。
根据： ， ，
那么：
=________
=________
【典型例题3】
（2019•防城港模拟）①，；
②，；
③，；
通过观察发现：（ ）（填得数）。
【对应练习1】
（1）通过计算，探索规律：
可写成； 可写成；
可写成； 可写成；
可写成 ； 可写成 ；
（2）从第（1）题的结果，归纳、猜想得： 。
【对应练习2】
先观察三组算式，再根据规律把算式填完整。
1×3+1=22；2×4+1=32；3×5+1=42……
________×________ +1=20182……
n×（n+2)+1=________2（n为自然数）
【对应练习3】
找规律填空。
根据下边各式的规律填空：
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
（1）1+3+5+7+9+11+13=________2。
（2）从1开始，________个连续奇数相加的和202。
三角形个数
1
2
3
4
5
6
…
n
拼成图形的周长（厘米）
行数
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
第6行
……
和
1
2
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
……
规律
后一行的和是前一行和的（ ）倍。
序号
1
2
3
4
…
表示点子数的算式
1
1+4
________
________
…
点子的总个数
1
5
________
________
…
正方形/个
1
4
9
（ ）
49
周长/厘米
4
4＋6
4＋6×2
4＋6×3
（ ）
六年级数学上册
第八单元数学广角——数与形（解析版）
本专题是第八单元数学广角——数与形。本部分内容主要是数、形规律的类题型，以数字、数列、图形、算式等形式为主，进行规律探索。考试多以填空、选择等题型为主，题目具有一定的探索性和抽象性，其中自主探索类题目难度稍大，综合性较强，建议作为重点部分进行讲解，共划分为十三个考点，欢迎使用。
【考点一】整数列规律。
【方法点拨】
数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。
【典型例题】
根据规律在下面的括号里填上合适的数。
（1）1，3，5，7，（ ），（ ），13，15。
（2）2，5，8，11，（ ），（ ），20。
（3）50，44，38，（ ），（ ），20。
解析：
（1）9；11
（2）14；17
（3）32；26
【对应练习1】
找规律：
（1）1、4、7、10、13、16、19、（ ）；
（2）1、2、4、7、11、16、22、29、（ ）；
（3）2、3、5、8、13、21、34、55、（ ）；
（4）5、5、7、10、9、15、11、20、（ ）、（ ）；
（5）1、4、9、16、25、36、49、64、（ ）。
解析：这是非常基础的找规律问题
（1）是等差数列
（2）中后项与前项的差是等差数列
（3）的前两项之和等于第三项
（4）是每隔一个数呈现规律
（5）是完全平方数。
解：
（1）1、4、7、10、13、16、19、（22）；
（2）1、2、4、7、11、16、22、29、（ 37 ）；
（3）2、3、5、8、13、21、34、55、（ 89 ）；
（4）5、5、7、10、9、15、11、20、（ 13 ）、（ 25 ）；
（5）1、4、9、16、25、36、49、64、（ 81 ）。
【对应练习2】
找规律
（1）2、6、10、14、18、22、26、（ ）；
（2）0.5、1.6、2.7、3.8、4.9、6、（ ）；
（3）0、2、2、4、6、10、16、26、（ ）；
（4）1、2、4、8、16、32、64、（ ）；
（5）70、71、72、61、74、51、76、41、（ ）、（ ）；
（6）1、8、27、64、125、（ ）；
（7）1、6、16、31、51、76、（ ）；
（8）1、4、5、9、14、23、37、60、（ ）；
（9）67、66777、66677777、66667777777、（ ）；
（10）7.7、77.07、777.007、7777.0007、（ ）。
解析：
（1）30
（2）7.1
（3）42
（4）128
（5）78；31
（6）216
（7）106
（8）97
（9）66666777777777
（10）77777.00007
【考点二】分数列规律。
【方法点拨】
数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。
【典型例题1】
一列分数的前5个是 12、25、310、417、526。根据这5个分数的规律可知，第6个分数是________。
解析： 637
【典型例题2】
11，12，22，13，23，33 ，···，请问45是这组数的第（ ）个数。
A. 12 B. 13 C. 14 D. 17
解析：C
【对应练习1】
在，，，，这列分数中，第10个分数是（ ）。
解析：
第10个分数分子是10；
分母是：
即第10个分数是
【对应练习2】
找规律：、、、、 、 、
解析：
，．
【考点三】等差数列基本题型。
【方法点拨】
1.等差数列：在数列中，人们把如1、2、3、4、5、6、7、8、9这样的一串数叫做“等差数列”。
2.公差：等差数列是指在一串数中，从第二项开始，后面一项与前面一项的差相等的数列，这个相等的差叫做“公差”。
3.首项：这数列的第一项叫首项。
4.末项：最后一项叫末项。
5.等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题1】判断等差数列。
在下面的括号填写适当的数。
（1）1、4、7、10、( )、 ( )、19
（2）2、3、5、( )、12、( ) 、23
（3）0、2、4、( )、8、10、( )
判断上面的数列是不是等差数列，如果是，请直接说出首项、末项、项数及公差；如果不是，说明为什么。
解析：（1）13,16；（2）8，17；（3）6,12。
（1）是等差数列，首项是1，末项是19，项数是7，公差是3；
（2）不是等差数列；因为任意相邻两个数的差不一样；
（3）是等差数列，首项是0，末项是12，项数是7，公差是2。
【典型例题2】求末项。
有一个数列1、5、9、13…，问这个数列的第30项是多少？
解析：
第30项：1＋（30－1）×4＝117
【对应练习】
一个等差数列：4、7、10、13…，求此数列第81项。
解析：7－4＝3，第81项：4＋（81－1）×3＝244
【典型例题3】求项数。
有一个数列2、5、8、11…2003、2006。这个数列共有多少项？
解析：
公差：5－2＝3
项数：（2006－2）÷3＋1＝669（项）
【对应练习】
请你求出数列2、6、10…2006、2010。这个数列有多少项？
解析：6－2＝4，公差为4，一共有：（2010－2）÷4＋1＝503（项）
【典型例题4】求和。
1＋5＋9＋13＋17＋21＋25＋29＋33
解析：（1＋33）×9÷2＝153
【对应练习】
1＋2＋3＋4＋…＋120
解析：（1＋120）×120÷2＝7260
【考点四】等差数列在生活实际中的应用。
【方法点拨】
等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题】
一堆粗细均匀的圆木堆放在一起，最上面有1根，下面每一层都比上一层多1根，最下层有53根。这堆圆木一共有多少根？
解析：(1＋53)×53÷2＝1431（根）
【对应练习1】
屋子里有50个人，每两个人都要握一次手，那么所有人一共握多少次手？
解析：第一个人要和余下的49人握手，第二个人和余下的48人握手（因为第一个人已经和第二个人握了，所以为了避免重复，就不算第二个再与第一个握了），第三个人与余下的 47 人握手……利用加法原理，把所有的数据相加即可。
解：49+48+47+……+2+1=（49+1）×49÷2=1225（次）
答：所有人一共握1225次手。
【对应练习2】
A城与B城之间有10座车站（包括A城与B城这两站），每两座车站之间的距离都不相同，车票也不相同，那么往返于A城与B城之间的火车，有多少种不同的票价？有多少种不同的车票？
解析：
一共有票价：9+8+7++1=（9+1）×9÷2=45（种）
车票：45×2=90（种）
答：略。
【考点五】等差数列在图形中的应用。
【方法点拨】
等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题】
如下图，摆1个正方形需4根火柴棒，摆2个正方形需7根火柴棒，摆3个正方形需10根火柴棒……
照这样摆下去，摆4个正方形需（ ）根火柴棒；摆10个正方形需（ ）根火柴棒；摆n个正方形需要（ ）根火柴棒。
解析：摆4个正方形需13根火柴棒；摆10个正方形需31根火柴棒；摆n个正方形需要（3n＋1）根火柴棒。
利用末项公式得：4+3（n-1）=3n+1
【对应练习1】
如图，如果正方形每个端点各摆一个花盆，n个正方形端点可摆放多少个花盆？
解析：4+2（n-1）=2n+2
【对应练习2】
按下列规律摆放☆，则第⑤堆☆有多少个？第⑨堆☆有多少个？第n堆☆有多少个？
解析：第⑤堆☆有17个；第⑨堆☆有29个；5+3（n-1）=3n+2
【对应练习3】
明明用小棒搭了3间房子(如下图所示)，像这样搭下去，搭5间房子要用_____根小棒；搭n间房子要用_________根小棒。
解析：搭5间房子要用26根小棒；搭n间房子要用6+5（n-1）=（5n＋1）根小棒。
【考点六】等差数列在较复杂图形中的应用。
【方法点拨】
等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题】
用边长为1cm的小正方形搭如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是（ ）cm（用含 n 的代数式表示）。
解析：
第一次：1×4=4
第二次：2×4=8
第三次：3×4=12
第四次：4×4=16
第n次：4n
【对应练习1】
下面每个三角形图都是由一些相同的小三角形组成的。如果小三角形的边长是1，每个三角形的周长分别是多少？如果摆成一个n层的大三角形，它的周长又是多少？
解析：每个三角形的周长分别是3、6、9和12；如果摆成一个n层的大三角形，它的周长是3n。
【对应练习2】
下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的。
(1)观察图形，填写下表：
(2)推测第n个图形中，正方形的个数为______，周长为_____(用含 n 的代数式表示)。
解析：
（1）13；18；28；38
（2）正方形的个数呈现为8，13，的等差数列，所以，第n个图形中，正方形的个数为5n+3；图形的周长数列为18，28，的等差数列，所以，第n个图形的周长为10n+8。
【对应练习3】
观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式。
（2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式。
解析：
（1）1+3+5+7=42；1+3+5+7+9=52
（2）1+3+5+7++(2n-1)=n2
【考点七】图形规律一：数形结合。
【方法点拨】
图形中寻找规律，还是要把图形转变成数，再寻找数字之间的规律。
【典型例题1】
根据上面图形与数的规律，接着这样排列下去，如果不画，你知道第10个数是多少吗？第n个数呢？
解析：第1个数是1，图形有1个；第2个数是4，图形有2×2＝4（个）；第3个数是9，图形有3×3＝9（个）……,这说明每个数与对应图形的个数相同，而第n个数可通过n2得到。
10×10＝100，n×n＝n2
【典型例题2】
准备若干个边长为1厘米的等边三角形，并按下图所示一个接一个地拼接起来，然后填下表。
回答：
（1）当三角形的个数是10时，所拼成图形的周长是（ ）厘米。
（2）当三角形的个数是100时，所拼成图形的周长是（ ）厘米。
解析：
（1）当三角形的个数是10时，所拼成图形的周长是（ 12 ）厘米。
（2）当三角形的个数是100时，所拼成图形的周长是（ 102 ）厘米。
【典型例题3】
我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。
根据“杨辉三角”每行的和与所在行的关系列表如下，请将表格填写完整。
解析：
【典型例题4】
王鹏用小棒摆了四幅树状图，以下是树状图变化的规律：
王鹏按照这个规律继续往下摆，第五幅树状图要摆（ ）根小棒。
A. 23 B. 31 C. 35 D. 45
解析：
1×2+1=3（根）；
3×2+1=7（根）；
7×2+1=15（根）；
15×2+1=31（根）。
故答案为：B。
【典型例题5】
下图中的数是“三角形数”。先观察图形，再完成练习。
（1）照样子画一画，并在括号里写出这个“三角形数”。
（2）第1个“三角形数”：1；第2个“三角形数”：1+2；第3个“三角形数”：1+2+3；……第n个“三角形数”：________。
解析：（1）解：
（2）1+2+3+…+n
【典型例题6】
填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）。
A. 86 B. 52 C. 38 D. 74
解析：8×10+6=86，所以m的值是86。
故答案为：A。
【对应练习】
若 =1， =2， =3，则 =________.
解析：（10+8）÷2=9
故答案为：9。
【考点八】图形规律二：位置变换。
【方法点拨】
图形位置变换的规律比较简单，注意观察位置的变化就能快速找出规律。
【典型例题】
找规律，接下来涂色正确的是（ ）。
A．B．C．
解析：C
【对应练习1】
根据下面图形的排列规律，在下面四个图形中选一个填在横线上。_________
A．B．C．D．
解析：A
【对应练习2】
找出下面图形变化的规律，在方框中画出第四幅图。
解析：
【考点九】图形规律三：图形的数字含义。
【方法点拨】
该类题型注意观察数字与图形的联系，找出图形与数字的相似点，再把图形转换为数字。
【典型例题】
下面每个图形都是由△、○、□中的两个（可以相同）构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，猜猜最右面图形下面的“？”表示（ ）。
A. 23 B. 31 C. 13 D. 32
解析：B。
观察对比图形可得：这组图形的规律是外面图形表示个位数字，里面图形是十位数字，由此可以推出：△代表2，○代表3，□代表1，据此得到最右面图形表示的数字。
【对应练习】
下面的每一个图形都是由△、口、O中的两个组成的。观察各个图形，根据图形下面的数找出规律，画出表示“23”和“12”的图形。
解析：；。
【考点十】图形规律四：稍复杂的图形探索。
【方法点拨】
图形中寻找规律，还是要把图形转变成数，再寻找数字之间的规律。
【典型例题】
自主探索。
仔细观察上面的点子图，根据每个图中点子的排列规律，想一想，可以怎样计算每个图中点子的总个数?请你把下表填写完整。
观察表中数据，如果用A表示第n个图形中点子的个数，A和n之间的关系可以表示成：A= ________。
解析：根据规律填表如下：
如果用A表示第n个图形中点子的个数，A和n之间的关系可以表示成：
A= 1+（n-1）×4=1+4n-4=4n-3。
【对应练习】
小华用边长是1厘米的小正方形摆出了下面的图形，并依次写出了每个图形的周长的算式，请你根据规律将表格填写完整。
解析：
第一个图形：正方形的个数为1，周长为4；
第二个图形：正方形的个数为4=1+3，周长为4+6；
第三个图形：正方形的个数为9=1+3+5，周长为4+6×2；
……
第n个图形：正方形的个数为：n2， 周长为：4+6×（n-1）。
当n-1=3时，即n=4，此时正方形的个数为42=16；
当正方形的个数为49时，n=7，此时周长=4+6×6。
故答案为：
【考点十一】图形规律五：图形与算式的结合。
【方法点拨】
该类型题注意算式规律的变化，可先找出算式的规律，再通过图形的变化来验证算式的变化。
【典型例题】
根据下图的规律，第8个图形的正确列式是( )。
A．82－62 B．92－72 C．102－82
解析：C
【对应练习】
妙算正方形的个数。
(1)完成上面的填空．
(2)照这样画下去，第6个图形有多少个正方形？
解析：
(1)1；5；14；30
(2)12＋22＋32＋42＋52＋62＝91(个)
【考点十二】周期规律。
【方法点拨】
周期问题关键在于找到一个周期是多少，然后再利用周期作除法求出问题。
【典型例题】
运动场上插了五颜六色的彩旗，按照两面黄旗、三面红旗、一面绿旗的顺序排列，那么第100 面彩旗是什么颜色？前100面彩旗中，一共有多少面红旗？
解析：这是一道典型的余数周期问题，每6面彩旗为一组（也称为一个周期），可以求出100面彩旗中一共有多少组，余数是多少，就可以知道第 100 面彩旗是什么颜色了，余几，那么就是一组中的第几面。再求每组有多少面红旗，余下部分有几面红旗，就能求出红旗总数了。
100÷6=16(组)……4（面）
16×3+2=50(面)
答：第100面彩旗是红颜色的，前100面彩旗中，一共有50面红旗。
【对应练习1】
节日的夜景真漂亮,街上的彩灯按照5盏红灯，再接4盏蓝灯，再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯，4盏蓝灯，3盏黄灯……这样排下去。问:
（1）第108盏灯是什么颜色?
（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯?
解析：
（1）周期：5+4+3=12（盏）
108÷12=9（组）
答：第108盏是黄色。
（2）150÷12=12（组）（盏）
蓝灯：4×12+1=49（盏）
答：略。
【对应练习2】
下面图形是按规律排列的，根据规律可以判断第125个图形是（ ），前125 个图形中这个图形共有（ ）个。
解析：
①4个图形一个周期，即4个一组
125÷4=31（组）（个）
第125个图形是圆。
②31+1=32（个）
【对应练习3】
循环小数的小数部分第2012位上的数字是多少？这2012位数字的总和是多少？
解析：
①3个数一次循环，即3个数一组。
2012÷3=670（组）（个）
所以，第2012位上的数字是4。
②一组的和是：7+4+9=20
670×20+7+4=13400+7+4=13411
【考点十三】算式规律。
【方法点拨】
周期问题关键在于找到一个周期是多少，然后再利用周期作除法求出问题。
【典型例题1】
找规律，写得数。
=1-， ，
据上面等式，则： ________
解析：++++=1-+-+-+-+-=1-=。
【对应练习1】
简便计算。
11×4+14×7+17×10
解析：
（1）11×4+14×7+17×10
= 13×(1−14+14−17+17−110)
=310
【对应练习2】
计算： ++++++++。
解析：略。
【典型例题2】
找规律，写结果。
根据： ， ，
那么：
=________
=________
解析：++++=；
+++++=。
【典型例题3】
（2019•防城港模拟）①，；
②，；
③，；
通过观察发现：（ ）（填得数）。
解析：①，；
②，；
③，；
【对应练习1】
（1）通过计算，探索规律：
可写成； 可写成；
可写成； 可写成；
可写成 ； 可写成 ；
（2）从第（1）题的结果，归纳、猜想得： 。
解析：
（1）可写成，
可写成；
（2）；
【对应练习2】
先观察三组算式，再根据规律把算式填完整。
1×3+1=22；2×4+1=32；3×5+1=42……
________×________ +1=20182……
n×（n+2)+1=________2（n为自然数）
解析：
2017×2019+1=2018²，用字母表示：n×（n+2）+1=（n+1）²。
故答案为：2017；2019；n+1。
【对应练习3】
找规律填空。
根据下边各式的规律填空：
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
（1）1+3+5+7+9+11+13=________2。
（2）从1开始，________个连续奇数相加的和202。
解析：
（1）1+3+5+7+9+11+13=72。
（2）从1开始，20个连续奇数相加的和202。
故答案为：（1）7；（2）20。
三角形个数
1
2
3
4
5
6
…
n
拼成图形的周长（厘米）
三角形个数
1
2
3
4
5
6
…
n
拼成图形的周长（厘米）
3
4
5
6
7
8
…
n＋2
行数
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
第6行
……
和
1
2
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
……
规律
后一行的和是前一行和的（ ）倍。
行数
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
第6行
……
和
1
2
（ 4 ）
（ 8 ）
（16）
（32）
……
规律
后一行的和是前一行和的（ 2 ）倍。
序号
1
2
3
4
…
表示点子数的算式
1
1+4
________
________
…
点子的总个数
1
5
________
________
…
正方形/个
1
4
9
（ ）
49
周长/厘米
4
4＋6
4＋6×2
4＋6×3
（ ）
正方形/个
1
4
9
16
49
周长/厘米
4
4＋6
4＋6×2
4＋6×3
4+6×6
本专题是第八单元数学广角——数与形。本部分内容主要是数、形规律的类题型，以数字、数列、图形、算式等形式为主，进行规律探索。考试多以填空、选择等题型为主，题目具有一定的探索性和抽象性，其中自主探索类题目难度稍大，综合性较强，建议作为重点部分进行讲解，共划分为十三个考点，欢迎使用。
【考点一】整数列规律。
【方法点拨】
数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。
【典型例题】
根据规律在下面的括号里填上合适的数。
（1）1，3，5，7，（ ），（ ），13，15。
（2）2，5，8，11，（ ），（ ），20。
（3）50，44，38，（ ），（ ），20。
【对应练习1】
找规律：
（1）1、4、7、10、13、16、19、（ ）；
（2）1、2、4、7、11、16、22、29、（ ）；
（3）2、3、5、8、13、21、34、55、（ ）；
（4）5、5、7、10、9、15、11、20、（ ）、（ ）；
（5）1、4、9、16、25、36、49、64、（ ）。
【对应练习2】
找规律
（1）2、6、10、14、18、22、26、（ ）；
（2）0.5、1.6、2.7、3.8、4.9、6、（ ）；
（3）0、2、2、4、6、10、16、26、（ ）；
（4）1、2、4、8、16、32、64、（ ）；
（5）70、71、72、61、74、51、76、41、（ ）、（ ）；
（6）1、8、27、64、125、（ ）；
（7）1、6、16、31、51、76、（ ）；
（8）1、4、5、9、14、23、37、60、（ ）；
（9）67、66777、66677777、66667777777、（ ）；
（10）7.7、77.07、777.007、7777.0007、（ ）。
【考点二】分数列规律。
【方法点拨】
数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。
【典型例题1】
一列分数的前5个是 12、25、310、417、526。根据这5个分数的规律可知，第6个分数是________。
【典型例题2】
11，12，22，13，23，33 ，···，请问45是这组数的第（ ）个数。
A. 12 B. 13 C. 14 D. 17
【对应练习1】
在，，，，这列分数中，第10个分数是（ ）。
【对应练习2】
找规律：、、、、 、 、
【考点三】等差数列基本题型。
【方法点拨】
1.等差数列：在数列中，人们把如1、2、3、4、5、6、7、8、9这样的一串数叫做“等差数列”。
2.公差：等差数列是指在一串数中，从第二项开始，后面一项与前面一项的差相等的数列，这个相等的差叫做“公差”。
3.首项：这数列的第一项叫首项。
4.末项：最后一项叫末项。
5.等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题1】判断等差数列。
在下面的括号填写适当的数。
（1）1、4、7、10、( )、 ( )、19
（2）2、3、5、( )、12、( ) 、23
（3）0、2、4、( )、8、10、( )
判断上面的数列是不是等差数列，如果是，请直接说出首项、末项、项数及公差；如果不是，说明为什么。
【典型例题2】求末项。
有一个数列1、5、9、13…，问这个数列的第30项是多少？
【对应练习】
一个等差数列：4、7、10、13…，求此数列第81项。
【典型例题3】求项数。
有一个数列2、5、8、11…2003、2006。这个数列共有多少项？
【对应练习】
请你求出数列2、6、10…2006、2010。这个数列有多少项？
【典型例题4】求和。
1＋5＋9＋13＋17＋21＋25＋29＋33
【对应练习】
1＋2＋3＋4＋…＋120
【考点四】等差数列在生活实际中的应用。
【方法点拨】
等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题】
一堆粗细均匀的圆木堆放在一起，最上面有1根，下面每一层都比上一层多1根，最下层有53根。这堆圆木一共有多少根？
【对应练习1】
屋子里有50个人，每两个人都要握一次手，那么所有人一共握多少次手？
【对应练习2】
A城与B城之间有10座车站（包括A城与B城这两站），每两座车站之间的距离都不相同，车票也不相同，那么往返于A城与B城之间的火车，有多少种不同的票价？有多少种不同的车票？
【考点五】等差数列在图形中的应用。
【方法点拨】
等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题】
如下图，摆1个正方形需4根火柴棒，摆2个正方形需7根火柴棒，摆3个正方形需10根火柴棒……
照这样摆下去，摆4个正方形需（ ）根火柴棒；摆10个正方形需（ ）根火柴棒；摆n个正方形需要（ ）根火柴棒。
【对应练习1】
如图，如果正方形每个端点各摆一个花盆，n个正方形端点可摆放多少个花盆？
【对应练习2】
按下列规律摆放☆，则第⑤堆☆有多少个？第⑨堆☆有多少个？第n堆☆有多少个？
【对应练习3】
明明用小棒搭了3间房子(如下图所示)，像这样搭下去，搭5间房子要用_____根小棒；搭n间房子要用_________根小棒。
【考点六】等差数列在较复杂图形中的应用。
【方法点拨】
等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题】
用边长为1cm的小正方形搭如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是（ ）cm（用含 n 的代数式表示）。
【对应练习1】
下面每个三角形图都是由一些相同的小三角形组成的。如果小三角形的边长是1，每个三角形的周长分别是多少？如果摆成一个n层的大三角形，它的周长又是多少？
【对应练习2】
下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的。
(1)观察图形，填写下表：
(2)推测第n个图形中，正方形的个数为______，周长为_____(用含 n 的代数式表示)。
【对应练习3】
观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式。
（2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式。
【考点七】图形规律一：数形结合。
【方法点拨】
图形中寻找规律，还是要把图形转变成数，再寻找数字之间的规律。
【典型例题1】
根据上面图形与数的规律，接着这样排列下去，如果不画，你知道第10个数是多少吗？第n个数呢？
【典型例题2】
准备若干个边长为1厘米的等边三角形，并按下图所示一个接一个地拼接起来，然后填下表。
回答：
（1）当三角形的个数是10时，所拼成图形的周长是（ ）厘米。
（2）当三角形的个数是100时，所拼成图形的周长是（ ）厘米。
【典型例题3】
我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。
根据“杨辉三角”每行的和与所在行的关系列表如下，请将表格填写完整。
【典型例题4】
王鹏用小棒摆了四幅树状图，以下是树状图变化的规律：
王鹏按照这个规律继续往下摆，第五幅树状图要摆（ ）根小棒。
A. 23 B. 31 C. 35 D. 45
【典型例题5】
下图中的数是“三角形数”。先观察图形，再完成练习。
（1）照样子画一画，并在括号里写出这个“三角形数”。
（2）第1个“三角形数”：1；第2个“三角形数”：1+2；第3个“三角形数”：1+2+3；……第n个“三角形数”：________。
【典型例题6】
填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）。
A. 86 B. 52 C. 38 D. 74
【对应练习】
若 =1， =2， =3，则 =________.
【考点八】图形规律二：位置变换。
【方法点拨】
图形位置变换的规律比较简单，注意观察位置的变化就能快速找出规律。
【典型例题】
找规律，接下来涂色正确的是（ ）。
A．B．C．
【对应练习1】
根据下面图形的排列规律，在下面四个图形中选一个填在横线上。_________
A．B．C．D．
【对应练习2】
找出下面图形变化的规律，在方框中画出第四幅图。
【考点九】图形规律三：图形的数字含义。
【方法点拨】
该类题型注意观察数字与图形的联系，找出图形与数字的相似点，再把图形转换为数字。
【典型例题】
下面每个图形都是由△、○、□中的两个（可以相同）构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，猜猜最右面图形下面的“？”表示（ ）。
A. 23 B. 31 C. 13 D. 32
解析：B。
观察对比图形可得：这组图形的规律是外面图形表示个位数字，里面图形是十位数字，由此可以推出：△代表2，○代表3，□代表1，据此得到最右面图形表示的数字。
【对应练习】
下面的每一个图形都是由△、口、O中的两个组成的。观察各个图形，根据图形下面的数找出规律，画出表示“23”和“12”的图形。
【考点十】图形规律四：稍复杂的图形探索。
【方法点拨】
图形中寻找规律，还是要把图形转变成数，再寻找数字之间的规律。
【典型例题】
自主探索。
仔细观察上面的点子图，根据每个图中点子的排列规律，想一想，可以怎样计算每个图中点子的总个数?请你把下表填写完整。
观察表中数据，如果用A表示第n个图形中点子的个数，A和n之间的关系可以表示成：A= ________。
【对应练习】
小华用边长是1厘米的小正方形摆出了下面的图形，并依次写出了每个图形的周长的算式，请你根据规律将表格填写完整。
【考点十一】图形规律五：图形与算式的结合。
【方法点拨】
该类型题注意算式规律的变化，可先找出算式的规律，再通过图形的变化来验证算式的变化。
【典型例题】
根据下图的规律，第8个图形的正确列式是( )。
A．82－62 B．92－72 C．102－82
【对应练习】
妙算正方形的个数。
(1)完成上面的填空．
(2)照这样画下去，第6个图形有多少个正方形？
【考点十二】周期规律。
【方法点拨】
周期问题关键在于找到一个周期是多少，然后再利用周期作除法求出问题。
【典型例题】
运动场上插了五颜六色的彩旗，按照两面黄旗、三面红旗、一面绿旗的顺序排列，那么第100 面彩旗是什么颜色？前100面彩旗中，一共有多少面红旗？
解析：这是一道典型的余数周期问题，每6面彩旗为一组（也称为一个周期），可以求出100面彩旗中一共有多少组，余数是多少，就可以知道第 100 面彩旗是什么颜色了，余几，那么就是一组中的第几面。再求每组有多少面红旗，余下部分有几面红旗，就能求出红旗总数了。
100÷6=16(组)……4（面）
16×3+2=50(面)
答：第100面彩旗是红颜色的，前100面彩旗中，一共有50面红旗。
【对应练习1】
节日的夜景真漂亮,街上的彩灯按照5盏红灯，再接4盏蓝灯，再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯，4盏蓝灯，3盏黄灯……这样排下去。问:
（1）第108盏灯是什么颜色?
（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯?
【对应练习2】
下面图形是按规律排列的，根据规律可以判断第125个图形是（ ），前125 个图形中这个图形共有（ ）个。
【对应练习3】
循环小数的小数部分第2012位上的数字是多少？这2012位数字的总和是多少？
【考点十三】算式规律。
【方法点拨】
周期问题关键在于找到一个周期是多少，然后再利用周期作除法求出问题。
【典型例题1】
找规律，写得数。
=1-， ，
据上面等式，则： ________
【对应练习1】
简便计算。
11×4+14×7+17×10
【对应练习2】
计算： ++++++++。
【典型例题2】
找规律，写结果。
根据： ， ，
那么：
=________
=________
【典型例题3】
（2019•防城港模拟）①，；
②，；
③，；
通过观察发现：（ ）（填得数）。
【对应练习1】
（1）通过计算，探索规律：
可写成； 可写成；
可写成； 可写成；
可写成 ； 可写成 ；
（2）从第（1）题的结果，归纳、猜想得： 。
【对应练习2】
先观察三组算式，再根据规律把算式填完整。
1×3+1=22；2×4+1=32；3×5+1=42……
________×________ +1=20182……
n×（n+2)+1=________2（n为自然数）
【对应练习3】
找规律填空。
根据下边各式的规律填空：
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
（1）1+3+5+7+9+11+13=________2。
（2）从1开始，________个连续奇数相加的和202。
三角形个数
1
2
3
4
5
6
…
n
拼成图形的周长（厘米）
行数
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
第6行
……
和
1
2
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
……
规律
后一行的和是前一行和的（ ）倍。
序号
1
2
3
4
…
表示点子数的算式
1
1+4
________
________
…
点子的总个数
1
5
________
________
…
正方形/个
1
4
9
（ ）
49
周长/厘米
4
4＋6
4＋6×2
4＋6×3
（ ）
六年级数学上册
第八单元数学广角——数与形（解析版）
本专题是第八单元数学广角——数与形。本部分内容主要是数、形规律的类题型，以数字、数列、图形、算式等形式为主，进行规律探索。考试多以填空、选择等题型为主，题目具有一定的探索性和抽象性，其中自主探索类题目难度稍大，综合性较强，建议作为重点部分进行讲解，共划分为十三个考点，欢迎使用。
【考点一】整数列规律。
【方法点拨】
数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。
【典型例题】
根据规律在下面的括号里填上合适的数。
（1）1，3，5，7，（ ），（ ），13，15。
（2）2，5，8，11，（ ），（ ），20。
（3）50，44，38，（ ），（ ），20。
解析：
（1）9；11
（2）14；17
（3）32；26
【对应练习1】
找规律：
（1）1、4、7、10、13、16、19、（ ）；
（2）1、2、4、7、11、16、22、29、（ ）；
（3）2、3、5、8、13、21、34、55、（ ）；
（4）5、5、7、10、9、15、11、20、（ ）、（ ）；
（5）1、4、9、16、25、36、49、64、（ ）。
解析：这是非常基础的找规律问题
（1）是等差数列
（2）中后项与前项的差是等差数列
（3）的前两项之和等于第三项
（4）是每隔一个数呈现规律
（5）是完全平方数。
解：
（1）1、4、7、10、13、16、19、（22）；
（2）1、2、4、7、11、16、22、29、（ 37 ）；
（3）2、3、5、8、13、21、34、55、（ 89 ）；
（4）5、5、7、10、9、15、11、20、（ 13 ）、（ 25 ）；
（5）1、4、9、16、25、36、49、64、（ 81 ）。
【对应练习2】
找规律
（1）2、6、10、14、18、22、26、（ ）；
（2）0.5、1.6、2.7、3.8、4.9、6、（ ）；
（3）0、2、2、4、6、10、16、26、（ ）；
（4）1、2、4、8、16、32、64、（ ）；
（5）70、71、72、61、74、51、76、41、（ ）、（ ）；
（6）1、8、27、64、125、（ ）；
（7）1、6、16、31、51、76、（ ）；
（8）1、4、5、9、14、23、37、60、（ ）；
（9）67、66777、66677777、66667777777、（ ）；
（10）7.7、77.07、777.007、7777.0007、（ ）。
解析：
（1）30
（2）7.1
（3）42
（4）128
（5）78；31
（6）216
（7）106
（8）97
（9）66666777777777
（10）77777.00007
【考点二】分数列规律。
【方法点拨】
数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。
【典型例题1】
一列分数的前5个是 12、25、310、417、526。根据这5个分数的规律可知，第6个分数是________。
解析： 637
【典型例题2】
11，12，22，13，23，33 ，···，请问45是这组数的第（ ）个数。
A. 12 B. 13 C. 14 D. 17
解析：C
【对应练习1】
在，，，，这列分数中，第10个分数是（ ）。
解析：
第10个分数分子是10；
分母是：
即第10个分数是
【对应练习2】
找规律：、、、、 、 、
解析：
，．
【考点三】等差数列基本题型。
【方法点拨】
1.等差数列：在数列中，人们把如1、2、3、4、5、6、7、8、9这样的一串数叫做“等差数列”。
2.公差：等差数列是指在一串数中，从第二项开始，后面一项与前面一项的差相等的数列，这个相等的差叫做“公差”。
3.首项：这数列的第一项叫首项。
4.末项：最后一项叫末项。
5.等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题1】判断等差数列。
在下面的括号填写适当的数。
（1）1、4、7、10、( )、 ( )、19
（2）2、3、5、( )、12、( ) 、23
（3）0、2、4、( )、8、10、( )
判断上面的数列是不是等差数列，如果是，请直接说出首项、末项、项数及公差；如果不是，说明为什么。
解析：（1）13,16；（2）8，17；（3）6,12。
（1）是等差数列，首项是1，末项是19，项数是7，公差是3；
（2）不是等差数列；因为任意相邻两个数的差不一样；
（3）是等差数列，首项是0，末项是12，项数是7，公差是2。
【典型例题2】求末项。
有一个数列1、5、9、13…，问这个数列的第30项是多少？
解析：
第30项：1＋（30－1）×4＝117
【对应练习】
一个等差数列：4、7、10、13…，求此数列第81项。
解析：7－4＝3，第81项：4＋（81－1）×3＝244
【典型例题3】求项数。
有一个数列2、5、8、11…2003、2006。这个数列共有多少项？
解析：
公差：5－2＝3
项数：（2006－2）÷3＋1＝669（项）
【对应练习】
请你求出数列2、6、10…2006、2010。这个数列有多少项？
解析：6－2＝4，公差为4，一共有：（2010－2）÷4＋1＝503（项）
【典型例题4】求和。
1＋5＋9＋13＋17＋21＋25＋29＋33
解析：（1＋33）×9÷2＝153
【对应练习】
1＋2＋3＋4＋…＋120
解析：（1＋120）×120÷2＝7260
【考点四】等差数列在生活实际中的应用。
【方法点拨】
等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题】
一堆粗细均匀的圆木堆放在一起，最上面有1根，下面每一层都比上一层多1根，最下层有53根。这堆圆木一共有多少根？
解析：(1＋53)×53÷2＝1431（根）
【对应练习1】
屋子里有50个人，每两个人都要握一次手，那么所有人一共握多少次手？
解析：第一个人要和余下的49人握手，第二个人和余下的48人握手（因为第一个人已经和第二个人握了，所以为了避免重复，就不算第二个再与第一个握了），第三个人与余下的 47 人握手……利用加法原理，把所有的数据相加即可。
解：49+48+47+……+2+1=（49+1）×49÷2=1225（次）
答：所有人一共握1225次手。
【对应练习2】
A城与B城之间有10座车站（包括A城与B城这两站），每两座车站之间的距离都不相同，车票也不相同，那么往返于A城与B城之间的火车，有多少种不同的票价？有多少种不同的车票？
解析：
一共有票价：9+8+7++1=（9+1）×9÷2=45（种）
车票：45×2=90（种）
答：略。
【考点五】等差数列在图形中的应用。
【方法点拨】
等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题】
如下图，摆1个正方形需4根火柴棒，摆2个正方形需7根火柴棒，摆3个正方形需10根火柴棒……
照这样摆下去，摆4个正方形需（ ）根火柴棒；摆10个正方形需（ ）根火柴棒；摆n个正方形需要（ ）根火柴棒。
解析：摆4个正方形需13根火柴棒；摆10个正方形需31根火柴棒；摆n个正方形需要（3n＋1）根火柴棒。
利用末项公式得：4+3（n-1）=3n+1
【对应练习1】
如图，如果正方形每个端点各摆一个花盆，n个正方形端点可摆放多少个花盆？
解析：4+2（n-1）=2n+2
【对应练习2】
按下列规律摆放☆，则第⑤堆☆有多少个？第⑨堆☆有多少个？第n堆☆有多少个？
解析：第⑤堆☆有17个；第⑨堆☆有29个；5+3（n-1）=3n+2
【对应练习3】
明明用小棒搭了3间房子(如下图所示)，像这样搭下去，搭5间房子要用_____根小棒；搭n间房子要用_________根小棒。
解析：搭5间房子要用26根小棒；搭n间房子要用6+5（n-1）=（5n＋1）根小棒。
【考点六】等差数列在较复杂图形中的应用。
【方法点拨】
等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题】
用边长为1cm的小正方形搭如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是（ ）cm（用含 n 的代数式表示）。
解析：
第一次：1×4=4
第二次：2×4=8
第三次：3×4=12
第四次：4×4=16
第n次：4n
【对应练习1】
下面每个三角形图都是由一些相同的小三角形组成的。如果小三角形的边长是1，每个三角形的周长分别是多少？如果摆成一个n层的大三角形，它的周长又是多少？
解析：每个三角形的周长分别是3、6、9和12；如果摆成一个n层的大三角形，它的周长是3n。
【对应练习2】
下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的。
(1)观察图形，填写下表：
(2)推测第n个图形中，正方形的个数为______，周长为_____(用含 n 的代数式表示)。
解析：
（1）13；18；28；38
（2）正方形的个数呈现为8，13，的等差数列，所以，第n个图形中，正方形的个数为5n+3；图形的周长数列为18，28，的等差数列，所以，第n个图形的周长为10n+8。
【对应练习3】
观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式。
（2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式。
解析：
（1）1+3+5+7=42；1+3+5+7+9=52
（2）1+3+5+7++(2n-1)=n2
【考点七】图形规律一：数形结合。
【方法点拨】
图形中寻找规律，还是要把图形转变成数，再寻找数字之间的规律。
【典型例题1】
根据上面图形与数的规律，接着这样排列下去，如果不画，你知道第10个数是多少吗？第n个数呢？
解析：第1个数是1，图形有1个；第2个数是4，图形有2×2＝4（个）；第3个数是9，图形有3×3＝9（个）……,这说明每个数与对应图形的个数相同，而第n个数可通过n2得到。
10×10＝100，n×n＝n2
【典型例题2】
准备若干个边长为1厘米的等边三角形，并按下图所示一个接一个地拼接起来，然后填下表。
回答：
（1）当三角形的个数是10时，所拼成图形的周长是（ ）厘米。
（2）当三角形的个数是100时，所拼成图形的周长是（ ）厘米。
解析：
（1）当三角形的个数是10时，所拼成图形的周长是（ 12 ）厘米。
（2）当三角形的个数是100时，所拼成图形的周长是（ 102 ）厘米。
【典型例题3】
我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。
根据“杨辉三角”每行的和与所在行的关系列表如下，请将表格填写完整。
解析：
【典型例题4】
王鹏用小棒摆了四幅树状图，以下是树状图变化的规律：
王鹏按照这个规律继续往下摆，第五幅树状图要摆（ ）根小棒。
A. 23 B. 31 C. 35 D. 45
解析：
1×2+1=3（根）；
3×2+1=7（根）；
7×2+1=15（根）；
15×2+1=31（根）。
故答案为：B。
【典型例题5】
下图中的数是“三角形数”。先观察图形，再完成练习。
（1）照样子画一画，并在括号里写出这个“三角形数”。
（2）第1个“三角形数”：1；第2个“三角形数”：1+2；第3个“三角形数”：1+2+3；……第n个“三角形数”：________。
解析：（1）解：
（2）1+2+3+…+n
【典型例题6】
填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）。
A. 86 B. 52 C. 38 D. 74
解析：8×10+6=86，所以m的值是86。
故答案为：A。
【对应练习】
若 =1， =2， =3，则 =________.
解析：（10+8）÷2=9
故答案为：9。
【考点八】图形规律二：位置变换。
【方法点拨】
图形位置变换的规律比较简单，注意观察位置的变化就能快速找出规律。
【典型例题】
找规律，接下来涂色正确的是（ ）。
A．B．C．
解析：C
【对应练习1】
根据下面图形的排列规律，在下面四个图形中选一个填在横线上。_________
A．B．C．D．
解析：A
【对应练习2】
找出下面图形变化的规律，在方框中画出第四幅图。
解析：
【考点九】图形规律三：图形的数字含义。
【方法点拨】
该类题型注意观察数字与图形的联系，找出图形与数字的相似点，再把图形转换为数字。
【典型例题】
下面每个图形都是由△、○、□中的两个（可以相同）构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，猜猜最右面图形下面的“？”表示（ ）。
A. 23 B. 31 C. 13 D. 32
解析：B。
观察对比图形可得：这组图形的规律是外面图形表示个位数字，里面图形是十位数字，由此可以推出：△代表2，○代表3，□代表1，据此得到最右面图形表示的数字。
【对应练习】
下面的每一个图形都是由△、口、O中的两个组成的。观察各个图形，根据图形下面的数找出规律，画出表示“23”和“12”的图形。
解析：；。
【考点十】图形规律四：稍复杂的图形探索。
【方法点拨】
图形中寻找规律，还是要把图形转变成数，再寻找数字之间的规律。
【典型例题】
自主探索。
仔细观察上面的点子图，根据每个图中点子的排列规律，想一想，可以怎样计算每个图中点子的总个数?请你把下表填写完整。
观察表中数据，如果用A表示第n个图形中点子的个数，A和n之间的关系可以表示成：A= ________。
解析：根据规律填表如下：
如果用A表示第n个图形中点子的个数，A和n之间的关系可以表示成：
A= 1+（n-1）×4=1+4n-4=4n-3。
【对应练习】
小华用边长是1厘米的小正方形摆出了下面的图形，并依次写出了每个图形的周长的算式，请你根据规律将表格填写完整。
解析：
第一个图形：正方形的个数为1，周长为4；
第二个图形：正方形的个数为4=1+3，周长为4+6；
第三个图形：正方形的个数为9=1+3+5，周长为4+6×2；
……
第n个图形：正方形的个数为：n2， 周长为：4+6×（n-1）。
当n-1=3时，即n=4，此时正方形的个数为42=16；
当正方形的个数为49时，n=7，此时周长=4+6×6。
故答案为：
【考点十一】图形规律五：图形与算式的结合。
【方法点拨】
该类型题注意算式规律的变化，可先找出算式的规律，再通过图形的变化来验证算式的变化。
【典型例题】
根据下图的规律，第8个图形的正确列式是( )。
A．82－62 B．92－72 C．102－82
解析：C
【对应练习】
妙算正方形的个数。
(1)完成上面的填空．
(2)照这样画下去，第6个图形有多少个正方形？
解析：
(1)1；5；14；30
(2)12＋22＋32＋42＋52＋62＝91(个)
【考点十二】周期规律。
【方法点拨】
周期问题关键在于找到一个周期是多少，然后再利用周期作除法求出问题。
【典型例题】
运动场上插了五颜六色的彩旗，按照两面黄旗、三面红旗、一面绿旗的顺序排列，那么第100 面彩旗是什么颜色？前100面彩旗中，一共有多少面红旗？
解析：这是一道典型的余数周期问题，每6面彩旗为一组（也称为一个周期），可以求出100面彩旗中一共有多少组，余数是多少，就可以知道第 100 面彩旗是什么颜色了，余几，那么就是一组中的第几面。再求每组有多少面红旗，余下部分有几面红旗，就能求出红旗总数了。
100÷6=16(组)……4（面）
16×3+2=50(面)
答：第100面彩旗是红颜色的，前100面彩旗中，一共有50面红旗。
【对应练习1】
节日的夜景真漂亮,街上的彩灯按照5盏红灯，再接4盏蓝灯，再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯，4盏蓝灯，3盏黄灯……这样排下去。问:
（1）第108盏灯是什么颜色?
（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯?
解析：
（1）周期：5+4+3=12（盏）
108÷12=9（组）
答：第108盏是黄色。
（2）150÷12=12（组）（盏）
蓝灯：4×12+1=49（盏）
答：略。
【对应练习2】
下面图形是按规律排列的，根据规律可以判断第125个图形是（ ），前125 个图形中这个图形共有（ ）个。
解析：
①4个图形一个周期，即4个一组
125÷4=31（组）（个）
第125个图形是圆。
②31+1=32（个）
【对应练习3】
循环小数的小数部分第2012位上的数字是多少？这2012位数字的总和是多少？
解析：
①3个数一次循环，即3个数一组。
2012÷3=670（组）（个）
所以，第2012位上的数字是4。
②一组的和是：7+4+9=20
670×20+7+4=13400+7+4=13411
【考点十三】算式规律。
【方法点拨】
周期问题关键在于找到一个周期是多少，然后再利用周期作除法求出问题。
【典型例题1】
找规律，写得数。
=1-， ，
据上面等式，则： ________
解析：++++=1-+-+-+-+-=1-=。
【对应练习1】
简便计算。
11×4+14×7+17×10
解析：
（1）11×4+14×7+17×10
= 13×(1−14+14−17+17−110)
=310
【对应练习2】
计算： ++++++++。
解析：略。
【典型例题2】
找规律，写结果。
根据： ， ，
那么：
=________
=________
解析：++++=；
+++++=。
【典型例题3】
（2019•防城港模拟）①，；
②，；
③，；
通过观察发现：（ ）（填得数）。
解析：①，；
②，；
③，；
【对应练习1】
（1）通过计算，探索规律：
可写成； 可写成；
可写成； 可写成；
可写成 ； 可写成 ；
（2）从第（1）题的结果，归纳、猜想得： 。
解析：
（1）可写成，
可写成；
（2）；
【对应练习2】
先观察三组算式，再根据规律把算式填完整。
1×3+1=22；2×4+1=32；3×5+1=42……
________×________ +1=20182……
n×（n+2)+1=________2（n为自然数）
解析：
2017×2019+1=2018²，用字母表示：n×（n+2）+1=（n+1）²。
故答案为：2017；2019；n+1。
【对应练习3】
找规律填空。
根据下边各式的规律填空：
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
（1）1+3+5+7+9+11+13=________2。
（2）从1开始，________个连续奇数相加的和202。
解析：
（1）1+3+5+7+9+11+13=72。
（2）从1开始，20个连续奇数相加的和202。
故答案为：（1）7；（2）20。
三角形个数
1
2
3
4
5
6
…
n
拼成图形的周长（厘米）
三角形个数
1
2
3
4
5
6
…
n
拼成图形的周长（厘米）
3
4
5
6
7
8
…
n＋2
行数
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
第6行
……
和
1
2
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
……
规律
后一行的和是前一行和的（ ）倍。
行数
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
第6行
……
和
1
2
（ 4 ）
（ 8 ）
（16）
（32）
……
规律
后一行的和是前一行和的（ 2 ）倍。
序号
1
2
3
4
…
表示点子数的算式
1
1+4
________
________
…
点子的总个数
1
5
________
________
…
正方形/个
1
4
9
（ ）
49
周长/厘米
4
4＋6
4＋6×2
4＋6×3
（ ）
正方形/个
1
4
9
16
49
周长/厘米
4
4＋6
4＋6×2
4＋6×3
4+6×6
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