高考数学统考一轮复习第9章9.6双曲线学案

这是一份高考数学统考一轮复习第9章9.6双曲线学案，共13页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。
【知识重温】
一、必记3个知识点
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a0，c>0.
(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；
(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；
(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
3.双曲线中的4个常用结论
(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝eq \r(2)⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．
(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x轴上时，渐近线斜率为±eq \f(b,a)，当焦点在y轴上时，渐近线斜率为±eq \f(a,b).
(3)渐近线与离心率．
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为eq \f(b,a)＝eq \r(e2－1).
(4)若P为双曲线上一点，F为其对应焦点，则|PF|≥c－a.
二、必明4个易误点
1．双曲线的定义中易忽视2a|F1F2|则轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a>0，b>0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．
若a>b>0，则双曲线的离心率e∈(1，eq \r(2))；
若a＝b>0，则双曲线的离心率e＝eq \r(2)；
若00)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线方程eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝0，即eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).( )
(5)若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与eq \f(x2,b2)－eq \f(y2,a2)＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )
二、教材改编
2．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \r(5) B．5
C.eq \r(2) D．2
3．经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
三、易错易混
4．P是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,81)＝1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
5．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为eq \f(π,3)，则双曲线的离心率为________．
四、走进高考
6．[2020·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,5)＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，则该双曲线的离心率是________．
eq \x(考点一) 双曲线的定义及其标准方程
[互动讲练型]
考向一：双曲线的定义及应用
[例1] (1)[2021·河南非凡联盟联考]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线与直线4x＋3y＝0垂直，点M在C上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝( )
A．2或14 B．2
C．14 D．2或10
(2)[2020·全国卷Ⅲ]设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \r(5).P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
悟·技法
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[注意] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.
考向二：双曲线的方程
[例2] [2020·天津卷]设双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 B．x2－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,4)－y2＝1 D．x2－y2＝1
悟·技法
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs∠F1PF2＝________.
2．[2021·太原市高三年级模拟试题]已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝eq \r(3)x，若其右顶点到这条渐近线的距离为eq \r(3)，则双曲线的方程为________________________________________________________________________．

考点二 双曲线的几何性质[分层深化型]
考向一：双曲线的离心率
[例3] [2020·全国卷Ⅰ]已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
考向二：双曲线的渐近线
[例4] [2021·合肥市高三教学质量检测]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为点F，点B是虚轴的一个端点，点P为双曲线C左支上的一个动点，若△BPF周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C的渐近线方程为__________________．
悟·技法
1.求双曲线离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
2．求双曲线的渐近线方程的方法
求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.
[同类练]——(着眼于触类旁通)
3．[2021·河南南阳质检]若双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,9)＝1(a>0)的一条渐近线与直线y＝eq \f(1,3)x垂直，则此双曲线的实轴长为( )
A．2 B．4 C．18 D．36
4．[2021·广州市高三年级调研检测]已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，垂足为D，且满足|FD|＝eq \f(1,2)|OF|(O为坐标原点)，则双曲线的离心率为( )
A.eq \f(2\r(3),3) B．2 C．3 D.eq \f(\r(10),3)

[变式练]——(着眼于举一反三)
5．[2021·洛阳市尖子生联考]已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，若sin∠F1PF2＝eq \f(\r(15),4)，则该双曲线的离心率等于( )
A.eq \r(6) B．2 C.eq \r(6)或2 D.eq \r(3)＋1或eq \r(6)
6．[2021·惠州市高三调研考试]双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3的公共点的个数为( )
A．1 B．2 C．4 D．0

[拓展练]——(着眼于迁移应用)
7．[2021·合肥市高三教学质量检测]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，圆F2与双曲线C的渐近线相切，M是圆F2与双曲线C的一个交点．若eq \(F1M,\s\up6(→))·eq \(F2M,\s\up6(→))＝0，则双曲线C的离心率等于( )
A.eq \r(5) B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
8．[2021·湖南省长沙市高三调研试题]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，过原点的直线l与双曲线左、右两支分别交于点P，Q，且满足|QF|－|PF|＝8，虚轴的上端点B在圆x2＋(y－3)2＝1内，则该双曲线离心率的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)＋1,2)，2)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋1,2)，2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，\r(2))) D．(eq \r(2)，eq \r(3))
考点三 直线与双曲线的位置关系
[互动讲练型]
[例5] [2021·长沙四校联考]设A，B分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4eq \r(3)，焦点到渐近线的距离为eq \r(3).
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝eq \f(\r(3),3)x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝teq \(OD,\s\up6(→))，求t的值及点D的坐标．
悟·技法
1.解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．
2．有时根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷.
[变式练]——(着眼于举一反三)
9．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于eq \r(3)，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F1AB的面积等于6eq \r(2)，求直线l的方程．
第六节 双曲线
【知识重温】
①之差的绝对值 ②焦点 ③焦距
④2a|F1F2| ⑦x≥a或x≤－a
⑧y≥a或y≤－a ⑨x轴，y轴 ⑩坐标原点
⑪x轴，y轴 ⑫坐标原点 ⑬(－a,0)
⑭(a,0) ⑮(0，－a) ⑯(0，a) ⑰y＝±eq \f(b,a)x
⑱y＝±eq \f(a,b)x ⑲eq \f(c,a) ⑳ eq \r(a2＋b2) eq \(○,\s\up1(21))2a eq \(○,\s\up1(22))2b eq \(○,\s\up1(23))a2＋b2
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
(5)√
2．解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝eq \f(c2,a2)＝5，∴e＝eq \r(5).
答案：A
3．解析：设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝±1(a>0)，把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，故所求方程为eq \f(x2,15)－eq \f(y2,15)＝1.
答案：eq \f(x2,15)－eq \f(y2,15)＝1
4．解析：由题意知a＝4，b＝9，
c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(97)，
由于|PF1|＝9