高考数学一轮复习课时分层作业33数列的概念与简单表示法含答案

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1．B [由题意，数列3，2，95，127，53，…可化为31，63，95，127，159，…，由此可得数列的一个通项公式为an＝3n2n-1.故选B.]
2．D [a3＝3a2＋a1＝－3＋3＝0，a4＝3a3＋a2＝－1，
a5＝3a4＋a3＝－3.故选D.]
3．C [令p＝q＝2，得a22＝24＝16，
因为a2>0，所以a2＝4，
令p＝2，q＝5得a2a5＝22+5＝128，解得a5＝32.故选C.]
4．A [当n＝1时，S1＝a1；
当n≥2时，由Sn＝n+1an2可得
Sn－1＝nan-12，上述两式作差得an＝n+1an-nan-12，
整理可得(n－1)an＝nan－1，∴anan-1＝nn-1.
由累乘法可得
an＝a2·a3a2·a4a3·…·anan-1＝6×32×43×…×nn-1＝3n.
因此，an＝3n(n∈N*)．]
5．ACD [数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－1an(n∈N*)，可得a2＝12，a3＝－1，a4＝2，a5＝12，…，所以an＋3＝an，数列{an}的周期为3.a2 023＝a674×3＋1＝a1＝2，S3＝32，S2 023＝1 013.]
6．ACD [对于A，由an＋1＝anan+1＋1，∀n∈N*都有an>0，可知an＋1＝anan+1＋1>1，即任意n≥2都有an>1，正确；
对于B，由an＋1(an＋1－1)＝an可知，若an为常数列且an>0，则an＝2满足a1>0，错误；
对于C，由anan+1＝an＋1－1且n∈N*可知，
当1当an＋1>2时，anan+1>1，此时a1＝a2(a2－1)>a2>2，数列an递减；
所以0对于D，由C分析知：a1>2时，an＋1>2且数列an递减，即n≥2时，27． 2，n=1， 6n-5，n≥2 [当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
故数列{an}的通项公式为an＝2，n=1， 6n-5，n≥2.]
8． n-32n∈N*(答案不唯一) [设an＝n-32n∈N*，
则an＋1＝n-22，an＋1－an＝n-22－n-32＝2n－5，
当1≤n≤2，an＋1－an＝2n－5<0，数列单调递减，
当n≥3，an＋1－an＝2n－5>0，数列单调递增，
即a1>a2>a3可得当n＝3时数列取得最小值．]
9．64 [因为a1＝1，所以a2＝2a1＋2＝4，a3＝2a2－1＝7，a4＝2a3＋2＝16，a5＝2a4－1＝31，a6＝2a5＋2＝64.]
10．[解] (1)由题意可得a2＝12，a3＝14.
(2)由an2－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以an+1an＝12.
故{an}是首项为1，公比为12的等比数列，
因此an＝12n-1.
11．[解] (1)∵2Sn＝(n＋1)an，
∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，∴an+1n+1＝ann，
∴ann＝an-1n-1＝…＝a11＝1，
∴an＝n(n∈N*)．
(2)由(1)知bn＝3n－λn2.
bn＋1－bn＝3n+1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)
＝2·3n－λ(2n＋1)．
∵数列{bn}为递增数列，
∴2·3n－λ(2n＋1)>0，
即λ<2×3n2n+1.令cn＝2×3n2n+1，
即cn+1cn＝2×3n+12n+3×2n+12×3n＝6n+32n+3>1.
∴{cn}为递增数列，∴λ即λ的取值范围为(－∞，2)．
12．A [由题意得当n≥2时，an＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，∴an＝4n2；当n＝1，a1＝2，∴a1＝4，符合上式，∴an＝4n2，ann＝4n，
∴a1＋a22＋…＋ann＝12n(4＋4n)＝2n＋2n2 .]
13． 6 n2－n＋1 [由题意，数列{an}满足an＋2－2an＋1＋an＝2，设bn＝an＋1－an，则bn＋1－bn＝2，
且b1＝3－1＝2，所以数列{bn}是等差数列，
所以bn＝2n，即an＋1－an＝2n，所以a4－a3＝b3＝6.
当n≥2时，可得
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n2－n＋1，
其中a1＝1也满足an＝n2－n＋1，
所以数列{an}的通项公式为an＝n2－n＋1.]
14．[解] (1) 因为数列{an}的前n项和为Sn，
且满足an＝1－Sn ①，
所以an－1＝1－Sn－1(n≥2) ②，
①－②并整理，得an＝12an－1(n≥2)，
又由a1＝1－S1，得a1＝12，
所以数列{an}是首项为12，公比为12的等比数列，
所以an＝12n.
(2)因为bn＝(n2＋n)an＝n2+n2n，
所以bn＋1－bn＝n+12+n+12n+1-n2+n2n
＝-n+1n-22n+1，
当n≥2时，bn＋1≤bn，
当n＜2时，bn＋1＞bn，
所以b1＜b2＝b3＞b4＞b5＞…，
所以数列{bn}的最大项为b2＝b3＝22+222＝32.