2022-2023学年甘肃省兰州一中高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年甘肃省兰州一中高一（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）计算cs（﹣840°）的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知函数f（x）lg2x，则f（x）的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，+∞）
3．（5分）已知角α的终边过点P（4a，﹣3a）（a＜0），则2sinα+csα的值是（ ）
A．B．C．0D．或
4．（5分）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．a＜b＜c
5．（5分）2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图．后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如图的折线图．已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为（ ）
A．7000B．7500C．8500D．9500
6．（5分）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是2π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线成轴对称
7．（5分）已知函数，则f（x）的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f（x+1）＝﹣f（x），且当x∈[0，1）时，f（x）＝lg2（x+1），关于f（x）下列命题正确的个数是（ ）
①f（2021）+f（﹣2022）＝0；
②函数f（x）在定义域上是周期为2的函数；
③直线y＝x与函数f（x）的图象有2个交点；
④函数f（x）的值域为[﹣1，1]．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、多项选择题。（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．f（f（﹣1））＝3
B．函数f（x）单调减区间为（﹣∞，0）∪（2，+∞）
C．若f（a）＞3，则a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，3）
D．若方程f（x）＝b有三个解，则b的取值范围是（0，4）
（多选）10．（5分）一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（ ）
A．点P第一次到达最高点需要10秒
B．当水轮转动35秒时，点P距离水面2米
C．当水轮转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为
（多选）11．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x≥0”
B．函数f（x）＝ax﹣3+3（a＞0且a≠1）的图象经过定点A（3，4）
C．幂函数在（0，+∞）上单调递增，则m的值为4
D．函数的单调递增区间是[1，+∞）
（多选）12．（5分）已知函数的图象，给出以下四个论断（ ）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．f（x）的图象的一个对称中心为
C．f（x）在区间上是减函数
D．f（x）可由y＝﹣3sin2x向左平移个单位
三、填空题。（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？“该问题的答案为 平方步．
14．（5分）函数的反函数y＝f﹣1（x）的定义域为 ．
15．（5分）已知，则 ．
16．（5分）函数的图象与直线y＝a在（0，）上有三个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为 ．
四、解答题。（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：；
（2）已知，求tanα的值．
18．（12分）已知函数的部分图象如图所示．
（1）写出函数f（x）的解析式及单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的值域．
19．（12分）某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、54、58；为了预测以后各月的患病人数，根据今年1月、2月、3月的数据，甲选择了模型f（x）＝ax2+bx+c，乙选择了模型y＝p⋅qx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．
（1）如果4月、5月、6月份的患病人数分别为66、82、115，你认为谁选择的模型较好？请说明理由；
（2）至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你认为比较好的模型解决上述问题．
（参考数据：210＝1024，．）
20．（12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求全市家庭月均用水量不低于4t的频率；
（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到0.01）；
（3）求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）．
21．（12分）若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．
（1）求g（x）图象的对称中心；
（2）若，求的值．
22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+a）（a∈R）的图象过点（1，0），g（x）＝x2﹣2ef（x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）+ln（2x﹣k）在区间（1，2）上有零点，求整数k的值；
（Ⅲ）设m＞0，若对于任意，都有g（x）＜﹣ln（m﹣1），求m的取值范围．
2022-2023学年甘肃省兰州一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题。（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）计算cs（﹣840°）的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．
【解答】解：cs（﹣840°）＝cs（﹣720°﹣120°）＝cs（﹣120°）＝cs120°，
故选：B．
【点评】本题主要考查利用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．
2．（5分）已知函数f（x）lg2x，则f（x）的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，+∞）
【分析】先判断出函数的单调性，然后再根据零点存在性定理即可求解．
【解答】解：∵在（0，+∞）上单调递减，y＝﹣lg2x在（0，+∞）上单调递减，
∴函数在（0，+∞）上单调递减，
又，
∴由零点存在定理可得：函数在（3，4）之间存在唯一零点．
故选：C．
【点评】本题考查函数的单调性，零点存在性定理的应用，属基础题．
3．（5分）已知角α的终边过点P（4a，﹣3a）（a＜0），则2sinα+csα的值是（ ）
A．B．C．0D．或
【分析】由题意，利用考查任意角的三角函数的定义，计算求得结果．
【解答】解：∵角α的终边过点P（4a，﹣3a）（a＜0），
∴csα，sinα，
则2sinα+csα，
故选：B．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4．（5分）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．a＜b＜c
【分析】利用对数函数、三角函数、指数函数的单调性直接求解．
【解答】解：，
，
则，
∴a，b，c的大小关系为a＜b＜c，
故选：D．
【点评】本题考查对数函数、三角函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图．后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如图的折线图．已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为（ ）
A．7000B．7500C．8500D．9500
【分析】通过条形图可得出晓文刚参加工作时的就医费用为：7000×15%＝1050，从而得出目前的就医费用为850，再根据折线图即可得出目前的晓文的月工资．
【解答】解：根据题意及条形图和折线图即可得出目前的月工资为：
（7000×15%﹣200）÷10%＝8500．
故选：C．
【点评】考查对条形图和折线图的认识和应用．
6．（5分）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是2π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线成轴对称
【分析】由已知结合正切函数的单调性，对称性及周期性检验各选项即可判断．
【解答】解：令，k∈Z，
则，k∈Z，A显然错误；
由正切函数的性质可知，函数的最小正周期为π，B错误；
令x，k∈Z，
当k＝1时，可得函数的一个对称中心为（，0），C正确；
根据正确函数的性质可知，正切函数没有对称轴，D显然错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正切函数的单调性，周期性及对称性的应用，属于基础题．
7．（5分）已知函数，则f（x）的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负确定选项．
【解答】解：f（﹣x）f（x），则f（x）是奇函数，
奇函数图象关于原点对称，排除A，B选项；
当x＝0.00001时，函数值为正，排除C选项．
故选：D．
【点评】本题考查函数的性质，属于基础题．
8．（5分）已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f（x+1）＝﹣f（x），且当x∈[0，1）时，f（x）＝lg2（x+1），关于f（x）下列命题正确的个数是（ ）
①f（2021）+f（﹣2022）＝0；
②函数f（x）在定义域上是周期为2的函数；
③直线y＝x与函数f（x）的图象有2个交点；
④函数f（x）的值域为[﹣1，1]．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用已知条件得出在x≥0时，函数具有类周期性，结合奇函数性质可求得f（k）＝0，k∈Z，从而易判断①，根据周期性定义，举反例判断②，通过研究直线y＝x与函数g（x）＝lg2（x+1）的图象的交点，结合f（x）的性质判断③④．
【解答】解：当x≥0时，f（x+1）＝﹣f（x），则f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），
∴f（2022）＝f（0），f（1）＝﹣f（0），
又f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，
∴f（﹣2022）＝﹣f（2022）＝0，所以f（2021）+f（﹣2022）＝0，①正确；
，，②错误；
作出函数g（x）＝lg2（x+1）的图象与直线y＝x（如图），
可得直线y＝x与g（x）＝lg2（x+1）的图象只有两个交点（0，0）和（1，1），
当x∈[0，1）时，f（x）＝lg2（x+1），其图象与直线y＝x只有一个交点（0，0），
又f（x）是奇函数，从而f（x）在（﹣1，1）上的图象与直线y＝x只有一个交点（0，0），
由命题①的推理可得f（k）＝0，k∈Z，
由于0≤x＜1时，f（x）＝lg2（x+1）∈[0，1），
同样由命题①的推理结合奇函数性质得f（x）∈（﹣1，1），
而x≥1时，y＝x≥1，x≤﹣1时，y＝x≤﹣1，因此③错，同时得出④错，
∴正确的命题只有①．
故选：A．
【点评】本题考查函数的周期性与奇偶性，考查函数的值域，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
二、多项选择题。（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．f（f（﹣1））＝3
B．函数f（x）单调减区间为（﹣∞，0）∪（2，+∞）
C．若f（a）＞3，则a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，3）
D．若方程f（x）＝b有三个解，则b的取值范围是（0，4）
【分析】做出函数图像，根据图像分析即可．
【解答】解：根据，作出函数图像如图所示：
根据解析式可知，f（﹣1）＝﹣（﹣1）＝1，则f（f（﹣1））＝f（1）＝﹣1×（1﹣4）＝3，A正确；
根据图像可知，函数f（x）单调减区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），B错误；
根据图像可知，若f（a）＞3，则a＜﹣3或者1＜a＜3，故a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，3），C正确；
根据图像可知，若f（x）＝b有三个解，则0＜b＜4，D正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查分段函数的性质和图像，属于中档题．
（多选）10．（5分）一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（ ）
A．点P第一次到达最高点需要10秒
B．当水轮转动35秒时，点P距离水面2米
C．当水轮转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为
【分析】设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为h＝Asin（ωt+φ）+B，根据题意，求出A，ω，φ，B的值，对照四个选项一一验证即可．
【解答】解：设点P距离水面的高度 h（米）和时间t（秒）的函数解析式为h＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|），
由题意得：，解得：，
∴h＝4sin（t）+2，故D错误；
对于A，令h＝6，代入h＝4sin（t）+2，即6＝4sin（t）+2，即sin（t）＝1，解得：t＝10，故A正确；
对于B，令t＝35，代入h＝4sin（t）+2，解得：h＝4，故B错误；
对于C，令t＝25，代入h＝4sin（t）+2，解得：h＝﹣2，故C正确．
故选：AC．
【点评】本题考查三角函数模型的简单应用，属于中档题．
（多选）11．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x≥0”
B．函数f（x）＝ax﹣3+3（a＞0且a≠1）的图象经过定点A（3，4）
C．幂函数在（0，+∞）上单调递增，则m的值为4
D．函数的单调递增区间是[1，+∞）
【分析】由题意，利用命题的否定，幂函数、指数函数、复合函数的性质，得出结论．
【解答】解：由于命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x≥0”，故A正确；
对于函数f（x）＝ax﹣3+3（a＞0且a≠1），令x﹣3＝0，求得x＝3，y＝4，可得它的图象经过定点A（3，4），故B正确；
根据幂函数在（0，+∞）上单调递增，可得，求得m＝4，故C正确；
对于函数，它的单调递增区间，即y＝x2﹣2x﹣3＞0时的增区间，
再根据二次函数的性质可得是（3，+∞），故D错误，
故选：ABC．
【点评】本题主要考查命题的否定，幂函数、指数函数、复合函数的性质，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知函数的图象，给出以下四个论断（ ）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．f（x）的图象的一个对称中心为
C．f（x）在区间上是减函数
D．f（x）可由y＝﹣3sin2x向左平移个单位
【分析】利用正弦型函数的图象与性质逐项判断即可．
【解答】解：对于A，由于当时，函数f（）＝3sin（[﹣2×（）]取得最小值﹣3，
故函数f（x）的图象关于直线x对称，故A正确；
对于B，由于当x时，函数f（）＝3sin（﹣2）取得最大值3，
故函数f（x）的图象一个对称轴是x，故B错误；
对于C，由于f（x）＝3sin（﹣2x）＝﹣3sin（2x），
令 2kπ2x2kπ，k∈Z，
可得 kπx≤kπ，k∈Z，故函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z，
所以f（x）在区间上是减函数，故C正确；
对于D，把 y＝﹣3sin2x的图象向左平移个单位长度后，
可以得到的图象对应的函数解析式为 y＝﹣3sin2（x）＝﹣3sin（2x）＝3sin（﹣2x），故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查正弦函数的对称性和单调性，y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
三、填空题。（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？“该问题的答案为 120 平方步．
【分析】利用扇形面积公式计算得出．
【解答】解：因为圆的直径为16步，
所以半径为8步，
因为弧长为30步，
所以扇形面积Slr，
故答案为：120．
【点评】本题考查了扇形面积公式，属于基础题．
14．（5分）函数的反函数y＝f﹣1（x）的定义域为 （0，+∞） ．
【分析】根据已知条件，结合原函数的值域为反函数的定义域，即可求解．
【解答】解：∵3x+1＞1，
∴，
∴函数的值域为（0，+∞）．
∵y＝f﹣1（x）的定义域即函数的值域
∴y＝f﹣1（x）的定义域为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
【点评】本题主要考查反函数的应用，属于基础题．
15．（5分）已知，则 ．
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
16．（5分）函数的图象与直线y＝a在（0，）上有三个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为 （，） ．
【分析】根据x∈（0，）上，求解2x的范围，结合三角函数的图象，即可求解x1+x2+x3的取值范围．
【解答】解：由题意x∈（0，）上，
那么2x∈（，）上，
直线y＝a在与y＝sin（2x）有三个交点，
则a＜1，
不妨设x1＜x2＜x3，
根据三角函数的图象及性质，可得π＜x3，
而x1，x2关于直线x对称，
那么x1+x2+x3x3，
∴x1+x2+x3的取值范围（，）．
故答案为：（，）．
【点评】本题主要考查三角函数y＝Asin（ωx+∅）的图象的对称性，考查计算能力，属于基础题．
四、解答题。（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：；
（2）已知，求tanα的值．
【分析】（1）利用指数、对数的运算法则直接求解；
（2）化弦为切，能求出tanα的值．
【解答】解：（1）
lg（15）

＝2﹣2+1
＝1．
（2）∵，且csα≠0，
∴，
∴3tanα+2＝16﹣4tanα，∴7tanα＝14，
解得tanα＝2．
【点评】本题考查指数、对数的运算法则、同角三角函数间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（12分）已知函数的部分图象如图所示．
（1）写出函数f（x）的解析式及单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的值域．
【分析】（1）根据图象求出A，ω 和φ，再结合三角函数的单调性，即可求解；
（2）根据已知条件，结合三角函数的有界性，即可求解．
【解答】解：（1）根据函数的部分图象，
可得，解得T＝π，
∴，
将代入可得，
则，即，
∵，
∴，
∴，
令，k∈Z，解得，k∈Z，
故递增区间为；
（2），
∵x∈，
∴，
∴，
当时，即，函数f（x）取得最小值为，
当时，即，函数f（x）取得最大值为1，
故值域为[，1]．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．
19．（12分）某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、54、58；为了预测以后各月的患病人数，根据今年1月、2月、3月的数据，甲选择了模型f（x）＝ax2+bx+c，乙选择了模型y＝p⋅qx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．
（1）如果4月、5月、6月份的患病人数分别为66、82、115，你认为谁选择的模型较好？请说明理由；
（2）至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你认为比较好的模型解决上述问题．
（参考数据：210＝1024，．）
【分析】（1）根据前3个月的数据求出两个函数模型的解析式，再计算4，5，6月的数据，与真实值比较得出结论．
（2）由（1）列不等式求解，即可求解．
【解答】解（1）由题意，把x＝1，2，3代入f（x）得：
解得a＝1，b＝﹣1，c＝52，
所以f（x）＝x2﹣x+52，
所以f（4）＝42﹣4+52＝64，f（5）＝52﹣5+52＝72，f（6）＝62﹣6+52＝82，
则|f（4）﹣66|＝2，|f（5）﹣82|＝10，|f（6）﹣115|＝33，
把x＝1，2，3代入y＝g（x）＝p⋅qx+r，得：
解得p＝1，q＝2，r＝50，
所以g（x）＝2x+50，
所以g（4）＝24+50＝66，g（5）＝25+50＝82，g（6）＝26+50＝114，
则|g（4）﹣66|＝0，|g（5）﹣82|＝0，|g（6）﹣115|＝1，
因为g（4），g（5），g（6）更接近真实值，
所以应将y＝2x+50作为模拟函数．
（2）令2x+50＞2000，解得x＞lg21950，
由于210＝1024＜1950＜2048＝211，lg21950∈（10，11），
所以至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
20．（12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求全市家庭月均用水量不低于4t的频率；
（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到0.01）；
（3）求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）．
【分析】（1）由频率分布直方图能求出全市家庭月均用水量不低于4t的频率．
（2）由频率分布直方图能求出全市家庭月均用水量平均数的估计值．
（3）频率分布直方图中，用水量低于2t的频率为0.12，用水量低于6t的频率为0.7，用水量低于8t的频率为0.88，由此能求出全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得全市家庭月均用水量不低于4t的频率为：
2×（0.18+0.09+0.06）＝0.66．
（2）全市家庭月均用水量平均数的估计值为：
0.06×2×1+0.11×2×3+0.18×2×5+0.09×2×7+0.06×2×9＝4.92．
（3）频率分布直方图中，用水量低于2t的频率为0.06×2＝0.12，
用水量低于6t的频率为0.06×2+0.11×2+0.18×2＝0.7，
用水量低于8t的频率为0.06×2+0.11×2+0.18×2+0.09×2＝0.88，
∴全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值为x，则6＜x＜8，
则0.7+（x﹣6）×0.09＝0.75，解得x≈6.56，
∴全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值为6.56．
【点评】本题考查频率、平均数、分位数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21．（12分）若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．
（1）求g（x）图象的对称中心；
（2）若，求的值．
【分析】（1）由三角函数的图象变换得到，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）由，得出，即可求得的值．
【解答】解：（1）由题意将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，可得，
由，可得，
故g（x）图象的对称中心为．
（2）由，，
因为，
可得，
所以．
【点评】本题考查三角函数图象变换问题以及三角函数的性质，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+a）（a∈R）的图象过点（1，0），g（x）＝x2﹣2ef（x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）+ln（2x﹣k）在区间（1，2）上有零点，求整数k的值；
（Ⅲ）设m＞0，若对于任意，都有g（x）＜﹣ln（m﹣1），求m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）代入点的坐标，得到关于a的方程，解出即可；
（Ⅱ）令y＝0，得2x2﹣kx﹣1＝0，设h（x）＝2x2﹣kx﹣1，结合二次函数的性质以及函数零点的个数求出k的值即可；
（Ⅲ）根据函数的单调性求出g（x）的最大值，问题转化为只需g（x）max＜﹣ln（m﹣1），即m2﹣2m＜﹣ln（m﹣1），设h（m）＝m2﹣2m+ln（m﹣1）（m＞1），结合函数的单调性求出m的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝ln（x+a）（a∈R）的图象过点（1，0），
∴ln（1+a）＝0，解得a＝0，
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝lnx；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知y＝lnx+ln（2x﹣k）＝ln（2x2﹣kx），x∈（1，2），
令ln（2x2﹣kx）＝0，得2x2﹣kx﹣1＝0，
①对称轴x2即k≥8时，h（x）在（1，2）递减，
故只需，无解，
②若12即4＜k＜8时，函数在（1，2）先递减再递增，
故，解得k＜1，不符合题意，舍去，
，解得k，
无解，
③若1即k≤4时，h（x）在（1，2）递增，
∴，解得：，
综上所述：1＜k，
∵k∈Z，
∴k的取值为2，3．
（Ⅲ）∵m＞0且，∴m＞1且，
∵g（x）＝x2﹣2ef（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴g（x）的最大值可能是g（m）或，
∵，
∴，
只需g（x）max＜﹣ln（m﹣1），即m2﹣2m＜﹣ln（m﹣1），
设h（m）＝m2﹣2m+ln（m﹣1）（m＞1），h（m）在（1，+∞）上单调递增，
又h（2）＝0，∴m2﹣2m+ln（m﹣1）＜0，即h（m）＜h（2），
∴1＜m＜2，
所以m的取值范围是（1，2）．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．
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