2023-2024学年福建省福州市台江区高二上学期期中数学模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市台江区高二上学期期中数学模拟试题（含解析），共15页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第一册第一章至第三章3.1
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．数列的通项公式可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为（ ）
A．B．C．4D．8
3．圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知直线恒过点，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线与圆交于两点，则（ ）
A．B．C．4D．8
6．在等比数列中，的前项之积为，则的公比（ ）
A．B．C．2D．
7．某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（ ）
A．B．32C．D．48
8．已知椭圆，过点的直线与交于两点，且为的中点，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．若直线，则（ ）
A．与两条坐标轴所围成的三角形的面积为4
B．的交点坐标为
C．
D．之间的距离为
10．已知曲线，则（ ）
A．当时，是圆
B．当时，是焦距为4的椭圆
C．当是焦点在轴上的椭圆时，
D．当是焦点在轴上的椭圆时，
11．已知直线，圆，若圆上恰有三个点到的距离为，则的值可能为（ ）
A．B．2C．D．8
12．已知数列满足，则（ ）
A．
B．是等差数列
C．是等差数列
D．数列的前100项和为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．直线的倾斜角为 .（用弧度制表示）.
14．写出一个焦点在轴上，离心率小于的椭圆的标准方程： .
15．某教育网站本月的用户为1000人，网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加，则从本月起，使网站用户达到5000人至少需要经过 个月（结果保留整数，参考数据：）.
16．由动点向圆引两条切线，切点分别为，，则动点的轨迹方程为 .
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17．在等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和.
18．已知直线经过点和.
(1)求的一般式方程；
(2)若直线过的中点，且，求的斜截式方程.
19．已知圆的半径为2，且圆心在直线上，点在圆上，点在圆外.
(1)求圆的圆心坐标；
(2)若点在圆上，求的最大值与最小值.
20．已知椭圆的短轴长和焦距均为.
(1)求的方程；
(2)若直线与没有公共点，求的取值范围.
21．已知数列的前项和是，且.
(1)证明：是等比数列.
(2)求数列的前项和.
22．已知椭圆过点.
(1)求的离心率；
(2)若是的左焦点，分别是的左､右顶点，是上一点（不与顶点重合），直线交轴于点，且的面积是面积的倍，求直线的斜率.
1．A
【分析】结合选项中，数列的通项公式，逐项验证，即可求解.
【详解】对于A中，由，可得，符合题意，所以A正确；
对于B中，由，可得，不符合题意，所以B错误；
对于C中，由，可得，不符合题意，所以C错误；
对于D中，由，可得，不符合题意，所以D错误.
故选：A.
2．B
【分析】根据椭圆定义求解.
【详解】由椭圆定义知，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为.
故选：B
3．D
【分析】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数.
【详解】由圆，则圆心，半径为，
圆，则圆心，半径，
所以两圆圆心距，
所以圆与圆的位置关系为外离，
则圆与圆的公切线条数为4条.
故选：D.
4．C
【分析】把方程整理成关于的方程，然后由系数为0可得．
【详解】由，得，则得
所以的坐标为.
故选：C．
5．B
【分析】先求出弦心距，然后根据弦长公式求出弦长即可.
【详解】由题意得圆的半径为，圆心到的距离，
所以，
故选：B
6．D
【分析】根据题意，化简得到，进而求得数列的公比，得到答案.
【详解】由等比数列中，的前项之积为，可得，
因为，所以，可得.
故选：D.
7．A
【分析】根据两点间距离公式和点的对称性建立方程组，求解即可.
【详解】
如图，设关于直线对称的点为，
则得即，
易知，
当三点共线时，
取得最小值，
最小值为.
故选：A
8．C
【分析】设，代入椭圆方程相减得直线斜率，从而得直线方程．
【详解】，在椭圆内部，
易得直线的斜率存在，设的斜率为，
由题意得，两式相减得
，则，得.
故的方程为，即.
故选：C．
9．BCD
【分析】根据直线的方程求出截距判断A，联立直线方程求出交点可判断B，由直线方程得出平行判断C，利用平行线间距离公式判断D.
【详解】由可知在坐标轴上的截距为，
所以与两条坐标轴所围成的三角形的面积为，故错误；
由得，则的交点坐标为，故B正确；
由方程可得，，则之间的距离为，故CD正确.
故选：BCD
10．AB
【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于选项A，当时，曲线为，此时曲线表示圆，所以选项A正确；
对于选项B，当时，曲线为，此时曲线为椭圆且椭圆的焦距为，所以选项B正确；
对于选项C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项C错误；
对于选项D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项D错误，
故选：AB.
11．BC
【分析】由题可得圆心到直线的距离为，然后根据点到直线的距离公式即得.
【详解】由题意得圆心，圆的半径为，
因为圆上恰有三个点到的距离为，
所以点到的距离为，即，得或.
故选：BC
12．ACD
【分析】选项A，由递推公式直接计算即可；选项B，由条件可得，从而可判断；选项C，由选项B的判断过程可进一步得出的通项公式，从而得出，可判断；选项D，由上面的过程可得，由裂项相消可得答案.
【详解】当时，，当时，，A正确.
由2，得，即.
因为，所以是首项为1，公比为的等比数列，B错误.
从而可得，则，所以，
因为，所以是等差数列，C正确.
，
所以数列的前100项和为，D正确.
故选：ACD
13．##
【分析】先得斜率，进而可得倾斜角.
【详解】直线的倾斜角为
由已知得的斜率为-1，
则，则倾斜角为.
故答案为.
14．（答案不唯一，符合，即可）
【分析】根据已知求出，写出一个即可.
【详解】设椭圆的标准方程为，
由，得，
则.
故答案为.
15．7
【分析】依题意每月的用户构成一个等比数列，且，，要使当月网站用户达到人以上，即，根据等比数列通项公式以及指数的运算计算可得.
【详解】易知每个月的用户数成等比数列，设第个月的用户数为，该数列为，
则首项，公比，则，
设第月网站用户达到5000人以上，
则，得，
因为，
所以，即，故的最小值为，
即第个月网站用户达到人以上，
所以使网站用户达到5000人至少需要经过个月.
故答案为.
16．
【分析】根据题意，由圆的切线的性质，求得，设，列出方程，即可求解.
【详解】如图所示，因为，可得，
又因为，所以，
设，则，即.
故答案为.
17．(1)
(2)
【分析】根据等差数列的通项公式，前项的和公式可对（1），（2）求解.
【详解】（1）设的公差为，
由：，得：，
所以：，
故：数列的通项公式.
（2）由等差数列前项公式：，
得：，
故：数列的前项的和.
18．(1)
(2).
【分析】（1）根据两点式方程可得；
（2）先求中点的坐标，再根据得的斜率，进而可得的斜截式方程.
【详解】（1）由题意得的两点式方程为，
化为一般式方程为.
（2）设，的斜率分别为，.
由题意得中点的坐标为，
由，得，则.
因为，所以，得.
故的斜截式方程为.
19．(1)
(2)最大值为，最小值为.
【分析】（1）设出圆的标准方程：，然后利用题中相关点及几何条件从而求解；
（2）先求圆外点到圆心的距离，则可知.
【详解】（1）设圆的标准方程为：，
由题意得：，得：，
即：圆的圆心坐标.
（2）由题意得:，
所以：，
所以：最大值为：：，最小值为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件求出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，由可解得实数的取值范围.
【详解】（1）解：由题意得，得，则，
所以的方程为.
（2）解：联立得，
因为与没有公共点，所以，
得或，即的取值范围为.
21．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）先对进行化简构造出，并结合等比数列定义可求解；
（2）根据（1）求出，然后构造关于的方程组并利用错位相减法可求解.
【详解】（1）证明：当时，，得：；
当时，得：，
将两式相减得：，得：，
所以得：当时，是等比数列，通项公式为：，
当，也符合，
故可证：数列为等比数列.
（2）由（1）得：，则得：，
则：①
②
①-②得：，
化简得.
所以：数列的前项和.
22．(1)
(2)±1.
【分析】（1）根据椭圆过，求出椭圆方程，然后求出离心率；
（2）设出直线的方程，然后与椭圆方程式联立，再根据题中几何条件结合根与系数关系，从而求解.
【详解】（1）由题意得：，解得：，
又因为：，所以离心率.
（2）由（1）知：，如图，设，
易得直线的斜率不等于0，设直线的方程为：，
令：，得：，
由，得：，
由根与系数关系得：，所以得：，
由题意得：，则：，
所以：，又因为：，
所以：，则：，
由：，得：，
易知同号，则：，得：，
故直线的斜率为.
（2）问中，主要根据面积关系，再结合直线与椭圆联立后运用根与系数关系从而建立等式，求解出斜率.