2023-2024学年福建省福州市八县一中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市八县一中高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a，b∈R，a−2i=(b−i)i，若复数z=a+bi，则z的实部是( )
A. 1B. −2C. 2D. i
2.如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“九”在正方体中的对面是( )
A. 县
B. 市
C. 联
D. 考
3.下列说法正确的是( )
A. 圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等
B. 直四棱柱是长方体
C. 将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
4.在△ABC中，已知P在线段BC上，且BP=13BC，设CB=a,CA=b.则AP=( )
A. 23a+b
B. 23a+13b
C. 23a−b
D. 13a+13b
5.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为8m，则树的高度为( )
A. (4+4 3)m
B. (4+2 3)m
C. (32+4 3)m
D. (32+2 3)m
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. φ=π6
B. 函数y=f(x)的图象关于点(−π3,0)对称
C. 函数y=f(x)在[−π3,−π6]最小值为−3
D. 函数y=f(x)在[−π3,−π6]单调递增
7.三个数a=sin32，b=213，c=ln3−ln2的大小顺序是( )
A. a8.已知向量a、b满足：|a|=|b|=2，且a⋅b=2，向量a−c与向量b−c的夹角为π6，则|a−c|的最大值为( )
A. 3B. 2C. 4 33D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如果平面向量a=(2,0)，b=(1,1)，那么下列结论中正确的是( )
A. a//bB. a⊥b
C. a在b上的投影向量为(1,1)D. |a|= 2|b|
10.已知函数f(x)=(a−1)x+1,x≤0xa,x>0，则以下说法正确的是( )
A. 若a=−1，则f(x)是R上的减函数
B. 若a=0，则f(x)有最小值
C. 若a=12，则f(x)的值域为(0,+∞)
D. 若a=3，则存在x0∈(1,+∞)，使得f(x0)=f(2−x0)
11.如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为线段AB，AD上的动点，则以下说法正确的是( )
A. 当P、Q分别为线段AB，CD中点时，cs∠PCQ的值为45
B. 当AP+AQ=1时，tan∠PCQ的最小值为34
C. 当△APQ的周长为2时，∠PCQ=π3
D. 当∠BCP+∠DCQ=π3时，CP⋅CQ的取值范围为[2 33, 3)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，△A′B′C′是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，D′是B′C′的中点，且A′D′//y′轴，B′C′/​/x′轴，A′D′=1，B′C′=2，则△ABC的面积为______．
13.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=mAM，AC=nAN，则4m+1n的最小值为______．
14.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的一个问题.当△ABC的三个内角均小于120°时，若其内部的点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则称P为△ABC的费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=acsC，设P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，则实数t的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设复数z1=1−ai(a∈R)，z2=3−4i．
(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；
(2)若z1z2是纯虚数，求z1．
16.(本小题15分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=3π4，BC=2 2，∠BAC=∠DAC，CD=2AB=4．
(1)求线段AC的长度；
(2)求sin∠ADC的值．
17.(本小题15分)
中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感.某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
设茶水温度从100℃开始，经过xmin后的温度为y℃，现给出以下三种函数模型：
①y=kx+b(k<0,x≥0)；
②y=kax+b(k>0,0③y=lga(x+k)+b(a>1,k>0,x≥0)．
(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表格中的前三列数据，求出相应的解析式；
(2)根据(1)中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到0.01).(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477.)
18.(本小题17分)
(1)在平面直角坐标系中，已知a=(3,1),b=(2,4)，求a与b的夹角；
(2)如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是x轴与y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为OP=(x,y).在斜坐标系xOy中，
①已知a=(x,y)，求|a|；
②已知a=(sinθ,3)，b=(csθ,1)，(π4≤θ≤π2)，求|a−b|的最大值．
19.(本小题17分)
从①(a+b+c)⋅(sinA+sinB−sinC)=asinB+2bsinA；②2asinAcsB+bsin2A=2 3acsC这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：_____.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，且b=2，求△ABC面积的取值范围；
(3)若c=2 3，△ABC的内心为I，求△ABI周长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为a−2i=(b−i)i=bi+1，即(a−1)−(2+b)i=0，
所以a−1=02+b=0，解得a=1b=−2，
所以复数z=1−2i，z的实部是1．
故选：A．
根据复数的代数形式运算法则，列方程组求出a、b的值，即可得出结论．
本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：把正方体表面展开图还原成正方体，得：
上底面是九，下底面是市，前面是考，背面是区，左面是县，右面是联，
∴图中“九”在正方体中的对面是市．
故选：B．
把正方体表面展开图还原成正方体，能求出结果．
本题考查正方体的展开图等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径可以相等，A错误；
对于B，直四棱柱的底面不一定是矩形，不一定是长方体，B错误；
对于C，一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个组合体，两端是圆锥，中间是圆柱，C错误；
对于D，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，D正确．
故选：D．
根据题意，由圆柱的结构特征分析A，由直棱柱的定义分析B，由旋转体的定义分析C，由正棱锥的结构特征分析D，综合可得答案．
本题考查旋转体的定义，注意常见的几何体，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由BP=13BC，得CP=CB+BP=CB−13CB=23CB，
所以AP=CP−CA=23CB−CA，结合CB=a,CA=b，可得AP=23a−b．
故选：C．
根据题意，可得AP=CP−CA，将CP=23CB代入化简，即可得到本题的答案．
本题主要考查向量的加减法则及其应用，考查了概念的理解能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意在△ABP中，∠APB=45°−30°=15°，∠A=30°，AB=8，∠ABP=180°−45°=135°，
由正弦定理可得ABsin∠APB=APsin∠ABP，可得AP=sin135°sin15∘⋅8，
而sin15°=sin(60°−45°)=sin60°cs45°−cs60°sin45°= 22( 32−12)= 6− 24，
sin135°= 22，
所以AP=( 3+1)×8，
所以树的高度为：APsinA=( 3+1)×8×12=(4+4 3)m．
故选：A．
由题意可得∠APB，∠ABP的大小，由正弦定理可得AP的值，进而求出树的高度．
本题考查正弦定理的应用，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：由图象可知，A=3，T=4(7π12−π3)=π，
所以ω=2，f(x)=3sin(2x+φ)，
因为2×π3+φ=π+2kπ，k∈Z且|φ|<π2，
所以φ=π3，f(x)=3sin(2x+π3)，A错误；
因为f(−π3)=3sin(−π3)≠0，B错误；
当−π3≤x≤−π6时，−π3≤2x+π3≤0，
则当2x+π3=0时，函数取得最大值0，C错误；
当−π3≤x≤−π6时，−π3≤2x+π3≤0，此时f(x)显然单调递增，D正确．
故选：D．
由最值求A，由周期求ω，由特点点求φ，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了由部分函数的性质求解y=Asin(ωx+φ)的解析式，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：∵π3<32<π2，∴ 32∴23< 32∵213>20=1，∴b>1，
∵c=ln3−ln2=ln32，而0=ln1∴0∴c故选：B．
利用正弦函数、指数函数和对数函数的单调性求解．
本题主要考查了正弦函数、指数函数和对数函数的性质，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：因为|a|=|b|=2，且a⋅b=2，
所以|a||b|cs=2×2×cs=2，
解得cs=12，所以a、b的夹角为π3，
设OA=a，OB=b，OC=c，则∠AOB=π3；
向量a−c=OA−OC=CA，向量b−c=OB−OC=CB，且∠ACB=π6，
所以点C在以AB为弦，圆周角为π6的圆弧上，如图所示：
则a−c=OA−OC=CA，当CA为圆弧所在圆的直径时，CA最大，
△ABC中，由正弦定理知，AC=2R=ABsin∠ACB=2sinπ6=4，
所以|a−c|的最大值为4．
故选：D．
由题意得出a与b的夹角为π3，设OA=a，OB=b，OC=c，得∠AOB=π3，∠ACB=π6，点C在以AB为弦，圆周角为π6的圆弧上，当CA为圆弧所在圆的直径时，|a−c|最大，利用正弦定理求解即可．
本题考查了平面向量的数量积与夹角、模长计算问题，是中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：a=(2,0)，b=(1,1)，
2×1≠0×1，故a，b不平行，故A错误；
a⋅b=2≠0，故B错误；
a在b上的投影向量为：a⋅b|b|×b|b|=b=(1,1)，故C正确；
|a|=2，|b|= 2，
故|a|= 2b，故D正确．
故选：CD．
结合投影向量、向量模公式，以及向量垂直、共线的性质，即可求解．
本题主要考查投影向量、向量模公式，以及向量垂直、共线的性质，是基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，若a=−1，f(x)=−2x+1,x≤0x−1,x>0，f(x)在(0,+∞)上不单调，故A错误；
对于B，若a=0，f(x)=−2x+1,x≤01,x>0，当x≤0时，f(x)=−2x+1，f(x)在区间(−∞,0]上单调递减，f(x)≥f(0)=1，则f(x)有最小值1，故B正确；
对于C，若a=12，f(x)=−32x+1,x≤0x12,x>0，当x≤0时，f(x)=−32x+1，f(x)在区间(−∞,0]上单调递减，f(x)≥f(0)=1；
当x>0时，f(x)=x12，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，f(x)>f(0)=0，则f(x)的值域为(0,+∞)，故C正确；
对于D，若a=3，f(x)=x+1,x≤0x3,x>0，当x0∈(1,+∞)时，f(x0)=x03>1；
当2−x0∈(0,1)时，f(2−x0)=(2−x0)3∈(0,1)；
当2−x0∈(−∞,0]时，f(2−x0)=3−x0∈(−∞,1]，即当2−x0∈(−∞,0]时，f(2−x0)∈(−∞,1]，所以不存在x0∈(1,+∞)，使得f(x0)=f(2−x0)，故D错误．
故选：BC．
把选项中的a值分别代入函数f(x)，利用此分段函数的单调性判断各选项．
本题主要考查分段函数的性质，中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：对于A，当P、Q分别为线段AB、CD中点时，PC=QC= 12+(12)2= 52,PQ= 22，
所以在△PCQ中，由余弦定理有：cs∠PCQ=PC2+QC2−PQ22PC×QC=52−122×54=45，故A正确；
对于B，当AP+AQ=1时，设AP=t，所以AQ=1−t，t∈[0,1]，连接AC，
则tan∠DCQ=DQDC=t,tan∠BCP=PBBC=1−t，tan∠ACQ=tan(π4−∠DCQ)=1−t1+t，tan∠ACP=tan(π4−∠BCP)=t2−t，
所以tan∠PCQ=tan(∠ACQ+∠ACP)=1−t1+t+t2−t1−1−t1+t⋅t2−t=2−2t+2t22=1−t+t2=(t−12)2+34，
所以当t=12时，tan∠PCQ取得最小值34，故B正确；
对于C，当△APQ的周长为2时，由于△APQ为直角三角形，不妨取AP=AQ=2− 2PQ= 2(2− 2)=2( 2−1)，
则PB=DQ= 2−1，PC=QC= 1+( 2−1)2= 4−2 2，此时PC=QC≠PQ，则∠PCQ≠π3，
否则△APQ为正三角形，与PC=QC≠PQ矛盾，故C错误；
对于D，当∠BCP+∠DCQ=π3时，∠PCQ=π6，
设∠PCB=α，因为P，Q分别为线段AB，AD上的动点，所以∠PCB和∠QCD最大值均为π4，
当P在A处时，α=π4，当Q在A处时，∠QCD=π4，则α=π3−π4=π12，所以α∈[π12,π4]，
则CP=1csα，CQ=1cs(π3−α)，
所以CP⋅CQ=1csα×1cs(π3−α)×csπ6= 32csαcs(π3−α)，
又2csαcs(π3−α)=cs2α+ 3csαsinα= 32sin2α+12cs2α+12=sin(2α+π6)+12，
因为α∈[π12,π4]，所以2α+π6∈[π3,2π3]，所以sin(2α+π6)∈[ 32,1]，则sin(2α+π6)+12∈[ 3+12,32]，
即当2csαcs(π3−α)=32时，CP⋅CQ= 32csαcs(π3−α)=2 33；
当2csαcs(π3−α)= 3+12时，CP⋅CQ= 32csαcs(π3−α)= 3( 3−1)=3− 3，
所以CP⋅CQ= 32csαcs(π3−α)∈[2 33,3− 3]，故D错误．
故选：AB．
利用余弦定理可判断A；设AP=t，求出tan∠DCQ=t，tan∠BCP=1−t，利用两角和差的正切公式，即可判断B；举反例可判断C；设∠PCB=α，α∈[π12,π4]，用α表示出CP⋅CQ，利用数量积的定义结合三角恒等变换化简，即可判断D．
本题考查平面向量的综合应用，涉及余弦定理的应用，三角函数的值域，属于中档题．
12.【答案】2
【解析】解：根据题意，在直观图中，A′D′//y′轴，B′C′/​/x′轴，A′D′=1，B′C′=2，
则S△A′B′C′=2S△A′D′C′=2×(12A′D′×D′C′×sin45°)= 22，
故△ABC的面积S=2 2S△A′B′C′=2 2× 22=2．
故答案为：2．
根据题意，求出直观图的面积，由直观图面积与原图面积的关系，计算可得答案．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
13.【答案】92
【解析】解：因为点O是BC的中点，AB=mAM，AC=nAN，
所以AO=12(AB+AC)=12(mAM+nAN)，
因为M，O，N共线，
所以12(m+n)=1，即m+n=2，
则4m+1n=12(4m+1n)(m+n)=12(5+4nm+mn)≥12(5+2 4nm⋅mn)=92，
当且仅当m=2n，即n=23，m=43时取等号．
故答案为：92．
由已知结合向量的线性运算可得AO=12(mAM+nAN)，然后结合向量共线定理可得m+n=2，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了向量的线性运算及平面向量基本定理，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
14.【答案】2+2 3
【解析】解：b=acsC，
则sinB=sin(A+C)=sinAcsC，
故sinAcsC+csAsinC=sinAcsC，即csAsinC=0，
A，C∈(0,π)，
则sinC>0，csA=0，解得A=π2，
P为△ABC的费马点，
则∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，
设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，m>0，n>0，x>0，
|PB|+|PC|=t|PA|，
则m+n=t，
由余弦定理可知，|AB|2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2，
|AC|2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2，
|BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2，
A=π2，
则由勾股定理可知，|AC|2+|AB|2=|BC|2，即(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2，
化简整理可得，m+n+2=mn，
m>0，n>0，
故m+n+2=mn≤(m+n)24，当且仅当m=n=1+ 3时，等号成立，
解得m+n≥2+2 3，
故实数t的最小值为2+2 3．
故答案为：2+2 3．
结合正弦定理，先求出A=π2，再结合余弦定理，以及勾股定理，即可求解．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由z1=1−ai，z2=3−4i，得z1+z2=4−(4+a)i，而z1+z2是实数，
于是4+a=0，解得a=−4，
所以z1⋅z2=(1+4i)(3−4i)=19+8i．
(2)依题意，z1z2=1−ai3−4i=(1−ai)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=3+4a+(4−3a)i25是纯虚数，
因此3+4a=04−3a≠0，解得a=−34，
所以z1=1+34i．
【解析】(1)利用复数的加法及复数的分类求出a，再利用复数乘法求解即得．
(2)利用复数除法及复数的分类求出a即得．
本题考查复数的运算，属于基础题．
16.【答案】解：(1)因为∠ABC=3π4，BC=2 2，AB=2，
所以在△ABC中，由余弦定理可得：
AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cs∠ABC=4+8−2×2×2 2×(− 22)=20，
∴AC=2 5．
故线段AC的长度2 5．
(2)由(1)知BC=2 2，AC=2 5，
在△ABC中，由正弦定理可得：BCsin∠BAC=ACsin∠ABC，
即2 2sin∠BAC=2 5sin3π4，得sin∠BAC= 55，
又∠BAC=∠DAC，所以sin∠DAC=sin∠BAC= 55，
在△ACD中，由正弦定理可得：CDsin∠DAC=ACsin∠ADC，
即4 55=2 5sin∠ADC，所以sin∠ADC=12．
所以sin∠ADC的值为12．
【解析】(1)直接由余弦定理求解；
(2)在△ABC中，由正弦定理求出sin∠BAC，即求得sin∠DAC的值，再在△ACD中，由正弦定理即可求得sin∠ADC的值．
本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．
17.【答案】解：(1)选择②y=kax+b(k>0,0由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③；
当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，不应该选择一次函数模型①．
所以应选择②y=kax+b(k>0,0将表中前2min的数据代入，得 100=k+b91=ka+b82.9=ka2+b，
解得k=90a=0.9b=10，
所以函数模型的解析式为：(1)y=90×0.9x+10．
(2)由(1)中函数模型，有(1)90×0.9x+10=60，
即0.9x=59，
所以x=lg0.9(59)，即x=lg59lg0.9=lg5−lg9lg9−lg10=(1−lg2)−2lg32lg3−1=1−lg2−2lg32lg3−1≈1−0.301−−1=5.54；
所以刚泡好的乌龙茶大约放置5.54min能达到最佳饮用口感．
【解析】(1)分析表格中的数据，根据对应数据变化规律，即可得出应该选择的函数模型，再代入数据求解即可．
(2)由(1)中函数模型，代入数据计算求解即可．
本题考查了函数模型应用问题，也考查了数学建模核心素养，是中档题．
18.【答案】解：(1)依题意得a⋅b=3×2+1×4=10，
|a|= 32+12= 10，|b|= 22+42=2 5，
∴cs=a⋅b|a||b|= 22，
∴a，b的夹角为π4；
(2)①由题意可知|e1|=|e2|=1，e1⋅e2=|e1||e2|cs60°=12，
∴|a|2=(xe1+ye2)2=x2e12+2xye1⋅e2+y2e22=x2+xy+y2，
∴|a|= x2+xy+y2；
②由题意可知，a−b=(sinθe1+3e2)−(csθe1+e2)，
∴a−b=(sinθ−csθ)e1+2e2=(sinθ−csθ,2)，
由①可得：|a−b|= (sinθ−csθ)2+2(sinθ−csθ)+4，
令t=sinθ−csθ，又t=sinθ−csθ= 2sin(θ−π4)，且π4≤θ≤π2，
∴0≤θ−π4≤π4，0≤sin(θ−π4)≤ 22，∴0≤t≤1，
∴|a−b|= t2+2t+4，
又∵y=t2+2t+4在[0,1]单调递增，∴当t=1时，函数y=t2+t+1取到最大值7，
故当sin(θ−π4)= 22，即θ=π2时，|a−b|的最大值为 7．
【解析】(1)利用夹角公式即可求解；
(2)①利用|a|2=(xe1+ye2)2求解即可；
②利用换元法转化为二次函数求最值．
本题考查向量的夹角公式以及平面向量的坐标表示，属于中档题．
19.【答案】解：(1)选择条件①，(a+b+c)(sinA+sinB−sinC)=asinB+2bsinA，
在△ABC中，由正弦定理得(a+b+c)(a+b−c)=ab+2ba，
整理得a2+b2−c2=ab，
则由余弦定理，a2+b2−c2=2abcsC，
所以csC=12，又C∈(0,π)，所以C=π3；
选择条件②，2asinAcsB+bsin2A=2 3acsC，
于是asinAcsB+bsinAcsA= 3acsC，
在△ABC中，由正弦定理得，sin2AcsB+sinAsinBcsA= 3sinAcsC，
因为sinA≠0，则sinAcsB+sinBcsA= 3csC，即sin(A+B)= 3csC，
因为A+B+C=π，因此sinC= 3csC，即tanC= 3，
又C∈(0,π)，所以C=π3；
(2)b=2，由三角形面积公式可得S=12absinC=12×2× 32a= 32a，
由正弦定理可得asinA=bsinB，可得a=2⋅sinAsin(2π3−A)=2sinA 32csA+12sinA=4 3tanA+1，
在锐角三角形中，0所以tanA> 33，所以1< 3tanA+1<4，
所以a∈(1,4)，
所以S∈( 32,2 3).
(3)如图，由(1)知，C=π3，有∠ABC+∠BAC=2π3，
因为△ABC的内心为I，所以∠ABI+∠BAI=π3，于是∠AIB=2π3，
设∠ABI=θ，则∠BAI=π3−θ，且0<θ<π3，
在△ABI中，由正弦定理得，BIsin(π3−θ)=AIsinθ=ABsin∠AIB=2 3sin2π3=4，
所以BI=4sin(2π3−θ),AI=4sinθ，
所以△ABI的周长为2 3+4sin(2π3−θ)+4sinθ=4sin(θ+π3)+2 3，
由0<θ<π3，得π3<θ+π3<2π3，
所以sin(θ+π3)∈( 32,1],
所以△ABI周长的取值范围为(4 3,4+2 3]．
【解析】(1)若选条件①，由正弦定理得a2+b2−c2=ab，再由余弦定理可得a2+b2−c2=2abcsC，进而求出csC的值，由角C的范围，可得角C的大小；若选条件②，由二倍角公式，正弦定理及三角形中角之间的关系，可得tanC的值，再由角C的范围，可得角C的大小；
(2)由三角形的面积公式可得三角形面积S的表达式，再由正弦定理及锐角三角形中角的范围，可得a边的范围，进而求出面积的取值范围；
(3)∠ABI=θ，则∠BAI=π3−θ，且0<θ<π3，由正弦定理可得BI，AI的表达式，进而求出△ABI的周长的表达式，再由角θ的范围，可得周长的取值范围．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题．时间/min
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