2023-2024学年福建省福州市台江区高二上学期期中数学模拟试题 选择性必修一（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市台江区高二上学期期中数学模拟试题 选择性必修一（含解析），共19页。试卷主要包含了直线的一个方向向量是，双曲线的渐近线方程是，若直线，方程，化简的结果是，下列说法正确的是，已知直线等内容，欢迎下载使用。

一.单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．直线的一个方向向量是（ ）
A．B．C．D．
2．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
3．若直线：与：互相垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．方程，化简的结果是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，四面体中，点为中点，为中点，为中点，设，，，若可用，，表示为（ ）

A．B．
C．D．
7．若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（ ）
A．B．tC．2tD．4t
8．已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二､多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．设是两个空间向量，则一定共面
B．设是三个空间向量，则一定不共面
C．设是两个空间向量，则
D．设是三个空间向量，则
10．已知直线：，圆：，下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为，半径
B．直线与圆相交且平分圆的面积与周长
C．若直线在两坐标轴上的截距相等，则
D．若直线的倾斜角为，则
11．如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）
A．当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值
B．存在这样的点，使得
C．当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为
D．当时，点的轨迹长度为
12．如图所示，已知几何体由两个棱长为1的正方体堆叠而成，G为的中点，则下述选项正确的是（ ）
A．平面平面
B．三棱锥的体积为
C．平面与平面夹角的正弦值为
D．若P为空间一动点，且，则P点运动轨迹与该几何体表交的长度为
三､填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知平面上三点，，，则在上的投影向量的坐标为 .
14．若方程表示椭圆，则的取值范围是 .
15．若直线与连接的线段总有公共点，则的取值范围是 .
16．已知双曲线的左，右焦点分别为，过作直线与及其渐近线分别交于两点．且为的中点．若等腰三角形的底边的长等于的半焦距，则该双曲线的离心率为 ．
四､解答题（共6小题）
17．已知点A（5，1）关于x轴的对称点为B（x1，y1），关于原点的对称点为C（x2，y2）.
(1)求△ABC中过AB，BC边上中点的直线方程；
(2)求△ABC的面积.
18．已知椭圆：的短轴长等于，右焦点距最远处的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过的直线与交于、两点，若直线倾斜角为，求线段长度．
19．已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点．
(1)求的最小值；
(2)当的面积最大时，求直线l的方程．
20．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
21．已知是椭圆的左焦点，上顶点B的坐标是，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)O为坐标原点，直线l过点且与椭圆相交于P，Q两点，过点作，与直线相交于点E，连接OE，与线段PQ相交于点M，求证：点M为线段PQ的中点.
22．如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点A(2，4).
（1）设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得求实数t的取值范围.

1．A
根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.
【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，
又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，
故选：A.
2．A
【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可.
【详解】双曲线的渐近线方程是：
故选：A
3．C
【分析】由两直线垂直直接列方程求解即可
【详解】解：因为直线：与：互相垂直，
所以，得，
解得，
故选：C
4．B
【分析】利用截距式的几何意义得到，，从而求得该圆的圆心与半径，进而得解.
【详解】因为直线在x，y轴上的截距分别为4，2，则，，
所以AB的中点坐标为，且，
故以线段AB为直径的圆的方程为，即
故选：B.
5．B
【分析】由所给方程,可知动点到定点和 距离和是定值,根据椭圆的定义可知其轨迹是椭圆,即可求出椭圆的,进而得到答案.
【详解】根据两点间的距离公式可得: 表示点与点的距离,
表示点与点的距离.
所以原等式化简为
因为
所以由椭圆的定义可得:点的轨迹是椭圆:
根据椭圆中:,得:
所以椭圆的方程为: .
故选:B.
本题考查了由椭圆的几何意义来求椭圆方程,能理解椭圆定义是解本题关键.
6．B
【分析】根据空间向量的线性运算计算即可.
【详解】由题意可得，
而
.
故选：B
7．B
【分析】设，，再根据椭圆与双曲线的定义列式，化简可得，可得是直角三角形，再根据可得面积.
【详解】设，，不妨设交点P在第一象限，分别为左右焦点，
则①，②，，
可得①②2：，
∴是直角三角形，
①②：，．
故选：B
8．A
【分析】首先根据题意得到，根据得到，再计算离心率即可.
【详解】由题知：，因为，
所以，整理得，
所以，得，.
故选：A
9．AD
【分析】由空间向量的相关知识逐一判断各选项即可.
【详解】对于A，因为空间向量可以平移，所以任意两个空间向量都是共面的，故A正确；
对于B，因为空间向量可以平移，所以空间中三个向量可能共面，故B错误；
对于C，设的夹角为，则，故C错误；
对于D，因为向量的数量积满足分配律，所以，故D正确.
故选：AD.
10．BD
【分析】根据圆的标准方程，结合直线所过的定点逐一判断即可.
【详解】
，直线过定点.
A：由可知，圆的圆心为，半径为，所以本选项不正确；
B：因为直线过定点恰好是圆的圆心，
所以直线与圆相交且平分圆的面积与周长，因此本选项正确；
C：当时， 直线的方程为，直线在两坐标轴上的截距都是零，显然相等，所以本选项不正确；
D：因为直线的倾斜角为，
所以，因此本选项正确，
故选：BD
11．ACD
【分析】对于选项A，由点P到侧面的距离为定值即可判断；
对于选项B，结合空间向量的线性运算即可判断；
对于选项C，分当点P在侧面，侧面上时以及当点P在上底面上时，和点P在侧面，上时三种情况分类讨论即可判断；
对于选项D，分当P在底面ABCD上时和点在侧面上时分类讨论即可判断.
【详解】对于选项A，由点P到侧面的距离相等，故四棱锥的体积为定值，故A选项正确；
对于选项B，因为，而，，因此点P是的中点，所以这样的点P不在正方体的表面上，故B选项错误；
对于选项C，①当点P在侧面，侧面上时（不包括正方形的边界），过点P作平面的垂线，垂足为H，连AH，在中，由，可得；
②当点P在上底面上时，过点P作平面的垂线，垂足为M，若，必有，又由，有，，此时点P的轨迹是以为圆心，2为半径的四分之一圆，点P的轨迹长度为；
③当点P在侧面，上时，点P在线段，上符合题意，此时点P的轨迹长为；由上知点P的轨迹长度为，故C选项正确；
对于选项D，①当P在底面ABCD上时，点P的轨迹为以A为圆心，为半径的圆与底面ABCD的交线，记圆与相交于点，与交于点，有，可得，，
则点的轨迹与底面的交线长为；
②当点在侧面上时，，可得点的轨迹与侧面的交线为以点为圆心，为半径的四分之一圆，交线长为．由对称性可知，点的轨迹长度为，
故D选项正确．
故选：ACD.
12．AD
【分析】对于A，由面面垂直的判定定理判断，对于B，根据题意由求解，对于C，如图建立空间直角坐标系求解，对于D，如图可知轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的圆.
【详解】对于A，连接，因为平面，平面，所以，因为，∥，所以，因为，平面，所以平面，则A正确；
对于B，，所以B错误；
对于C，如图以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，
所以,
设平面的法向量为，则
，令，则
设平面的法向量为，则
，令，则，
设平面与平面夹角为，由图可知为锐角，
所以，
所以，所以平面与平面夹角的正弦值为，所以C错误；
对于D，由如图可知轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的圆，则长度为，所以D正确.
故选：AD.
13．
【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为
所以在上的投影向量的坐标为：
，
故
14．
根据方程的形式可得关于的不等式组，从而可得的取值范围.
【详解】由题设可得，解得.
故答案为.
15．
【分析】画出图形，由图可得，要使直线与线段总有公共点，需满足或，从而可求得答案
【详解】得直线的斜率为，且过定点，
则由图可得，要使直线与线段总有公共点，需满足或，
，或，
或.
故
16．
【分析】连结，由双曲线定义知，在中，，转化为方程，即可求解.
【详解】连结，因为等腰三角形的底边的长等于的半焦距，为的中点．
所以，且.
由双曲线定义知，
在中，，即，
即，因为，解得，
即双曲线的离心率为.
故答案为.
17．(1)x﹣5y﹣5＝0
(2)10
【分析】（1）先求出点的对称点的坐标，再用两点式求出直线的方程．
（2）先判断求出AB和BC的值，判断AB⊥BC，从而求出△ABC的面积．
【详解】（1）∵点A（5，1）关于x轴的对称点为B（x1，y1），∴B（5，﹣1），
又∵点A（5，1）关于原点的对称点为C（x2，y2），∴C（﹣5，﹣1），
∴AB的中点坐标是（5，0），BC的中点坐标是（0，﹣1）．
过（5，0），（0，﹣1）的直线方程是，
整理得x﹣5y﹣5＝0．
（2）由题意知|AB|＝|﹣1﹣1|＝2，|BC|＝|﹣5﹣5|＝10，AB⊥BC，
∴△ABC的面积．
18．（1）；（2）.
【分析】（1）根据已知条件，求得方程，则椭圆方程可解；
（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式即可求得结果.
【详解】（1）由已知得，故可得，，
又，，
故可得，
所求椭圆的方程为．
（2）∵过的直线与交于、两点，
设方程为
联立椭圆方程联立，
可得，
设两点坐标为，
故可得，，
故
可得.
本题考查椭圆方程的求解，以及弦长公式的利用，属综合基础题.
19．(1)4；
(2)或.
【分析】(1)过定点D(4，2)，当CD⊥l时，|PQ|最小；
(2)，当时，△CPQ面积最大，此时△CPQ为等腰直角三角形，圆心到直线l的距离，据此即可求出m.
【详解】（1）由，得，
由，
∴直线l过定点D(4，2)，
∵，
∴在圆C内部，∴直线和l与圆C相交，
当CD⊥l时，|PQ|最小，
；
（2）∵，∴当时，△CPQ面积最大，
此时△CPQ为等腰直角三角形，故圆心到直线l的距离，
∴，解得，
∴此时l的方程为：或.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，
解得，
所以点A到平面的距离为；
（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，所以，，所以，
则,所以的中点，
则，,
设平面的一个法向量，则，
可取，
设平面的一个法向量，则，
可取，
则，
所以二面角的正弦值为.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程，求得直线的方程、直线的方程，求得点坐标，联立直线的方程与椭圆方程，化简写出根与系数关系，求得中点坐标，进而判断出是的中点.
【详解】（1）因椭圆的上顶点，则，令椭圆半焦距为c，
由离心率得，即，解得，
∴椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，，，显然直线l不垂直于y轴，设直线，
显然，直线l不垂直于y轴，因直线过点，且，则直线的方程可设为，
由得点，直线OE的方程为：，
由解得：，因此点，
由消去x并整理得：，设，，
则，所以，，
即线段PQ中点坐标为，∴点M为线段PQ的中点.
22．(1)；(2)2x−y+5=0或2x−y−15=0.(3).
【详解】试题分析：（1）根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.
试题解析：解：圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，.
（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，
所以，于是圆N的半径为，从而，解得.
因此，圆N的标准方程为.
（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
（3）设
因为，所以……①
因为点Q在圆M上，所以…….②
将①代入②，得.
于是点既在圆M上，又在圆上，
从而圆与圆有公共点，
所以解得.
因此，实数t的取值范围是.
【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算
【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.