河南省洛阳市强基联盟2023-2024学年高一上学期10月联考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省洛阳市强基联盟2023-2024学年高一上学期10月联考数学试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 不等式的解集为， 若，则函数的最小值为， 定义集合运算等内容，欢迎下载使用。

数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第二章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合 则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式，再利用集合的交集运算即可求解.
【详解】因为 所以
故选: C.
2. 命题“有实数解”的否定是（ ）
A. 无实数解B. 有实数解
C. 有实数解D. 无实数解
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.
【详解】因为全称量词命题否定是存在量词命题，所以“有实数解”的否定是“无实数解”．
故选:D．
3. 下列表示错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合间的关系逐项判断即可﹒
【详解】A：集合之间应该是包含或被包含的关系，∈是元素与集合的关系，故A错误；
B：集合里面元素具有无序性，一个集合是它本身的子集，故B正确；
C：里面的元素都在里面，故，故C正确；
D：空集是任何集合的子集，故D正确﹒
故选：A﹒
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】利用充分条件，必要条件的定义即得.
【详解】因为或，
又时，不能得出；
时，不能得出；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选: D.
5. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接解一元二次不等式可得答案.
【详解】原不等式即为，解得，
故原不等式的解集为.
故选：B.
6. 已知集合A={x∈N|0≤xA. {m|2C. {m|2≤m≤3}D. {m|2【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，集合元素的个数与子集的关系确定集合A的元素个数，再求m的取值范围.
【详解】因为A有8个子集，所以集合A中含有3个元素，则2故选: A.
7. 若，则函数的最小值为（ ）
A. B. C. 4D. 2.5
【答案】D
【解析】
【分析】由，则，又，从而利用均值不等式即可求解.
【详解】解：因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为，
故选：D.
8. 定义集合运算：．若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求解集合，令或3，或3，计算的值，求解，即可计算结果.
【详解】∵，∴，令 或3，或3，则或或，则，因为，故．
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分.
9. 已知aA. |a|>|b|B.
C. ab【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，结合不等式的性质逐项分析判断作答.
【详解】因，则，即，A正确；
因，即有，则，即，B不正确；
因，则，C不正确；
由选项A知，，则，又，于是得，即，D正确.
故选：AD
10. （多选）如图所示，是全集，、是的两个子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，分析元素与集合、、的关系，可得出结果.
【详解】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，则且，或且
故阴影部分区域所表示的集合为或.
故选：AD.
11. “”的一个充分不必要条件可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】求出不等式恒成立时k的取值范围，再利用充分不必要条件的意义判断得解.
【详解】由知，当时，恒成立，则，
当时，，解得，则，因此，
显然，，，ABC正确；
而，D错误.
故选：ABC
12. 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则（ ）
A. a2＋b2B. ab≤
C. ≤4D. ≤
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：因为，故可得，
当且仅当时取得最小值，故A正确；
对B：因为，当且仅当时，取得最大值，故B正确；
对C：，又，
当且仅当时取得最小值，故C错误；
对D：，又，
故可得，当且仅当时取得最大值，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则“”是“”的________条件．
【答案】充分
【解析】
【分析】利用充分条件的定义和子集的定义求解.
【详解】解：因为，
所以当时，则，
所以“”是“”的充分条件．
故答案为：充分
14. 若，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用不等式的性质计算即可.
【详解】，①，
又，②，
①+②可得
即的取值范围是
故答案为：
15. 深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动．已知高一（1）班有名同学，其中名同学参加了数学活动，名同学参加了物理活动，名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是__________________．
【答案】
【解析】
【分析】以集合、分别表示该班参加数学、物理活动的同学组成的集合，表示这个班所有的同学构成的集合，利用韦恩图法可求得结果.
【详解】以集合、分别表示该班参加数学、物理活动的同学组成的集合，表示这个班所有的同学构成的集合，
如下图所示：
由图可知，这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为.
故答案为：.
16. 已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是________________.
【答案】或
【解析】
【分析】
根据命题为假命题，转化为，恒成立，即可求解.
【详解】因为命题“，”且命题p是假命题，
可得命题“，”为真命题，
即，恒成立，
可得，即，解得或，
即实数a的取值范围是或.
故答案为：或.
【点睛】本题主要考查了利用命题的真假求解参数的取值范围，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及恒成立问题的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，
（1）分别求
（2）已知，若，求实数a的取值范围
【答案】（1）或，或；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据集合交并补集的概念即可求出结果；
（2）根据集合的包含关系得到，解不等式组即可求出结果.
【详解】解：（1）因为，所以或，
因为或，，所以或.
（2）因为，所以，解之得，所以．
18. （1）比较与的大小；
（2）已知，求证：
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过做差来比较大小即可；
（2）通过做差来证明即可.
【详解】（1）,
；
（2），
，
，
，
即，证毕.
19. 已知集合，，R.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.
【小问1详解】
若，则，解得，即实数的取值范围
【小问2详解】
由题知，，，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集，
即，解得.
即实数a的取值范围是.
20. 设集合，，.
（1）若，求实数的值；
（2）若且，求实数的值.
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】（1）首先求出集合，依题意可得，从而得到，是方程的两个根，利用韦达定理计算可得；
（2）首先求出集合，依题意可得，又，所以，即可求出的值，再检验即可.
【小问1详解】
由题可得，由，得.
从而，是方程的两个根，即，解得.
【小问2详解】
因为，.
因为，所以，又，所以，
即，，解得或.
当时，，则，不符合题意；
当时，，则且，故符合题意，
综上，实数的值为.
21. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.
（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】（1）900cm
（2）选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少
【解析】
【分析】（1）根据宣传栏面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；
（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.
【小问1详解】
设阴影部分直角三角形的高为cm，
所以阴影部分面积，所以，
又，故，
由图可知cm，cm.
海报纸的周长为cm.
故海报纸的周长为900 cm.
【小问2详解】
由（1）知，，，
，
当且仅当，即cm，cm时等号成立，
此时，cm，cm.
故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少.
22. 已知集合
（1）求的最小值；
（2）对任意，证明．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式可求得的最小值；
（2）分析可知，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得原不等式成立.
【小问1详解】
解：因为，且，
所以，，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为.
【小问2详解】
解：由题意可知，且，所以，，
故
，
当且仅当时，等号成立，故原不等式得证.