云南省牟定县第一高级中学2022届高三上学期期末教育学业质量监测数学（文）试题

这是一份云南省牟定县第一高级中学2022届高三上学期期末教育学业质量监测数学（文）试题，共11页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，本试卷主要考试内容，已知，，，则，已知函数，现给出下列四个说法等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知曲线，则“”是“曲线是椭圆”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．若，满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A．B．6C．8D．9
5．若样本数据，，…，的方差为32，则数据，，…，的方差为（ ）
A．16B．8C．13D．5
6．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用表示解下（，）个圆环所需的最少移动次数，若，且则解下6个环所需的最少移动次数为（ ）
A．13B．15C．16D．29
7．已知两个变量与的五组数据如表所示，且关于的线性回归方程为，则（ ）
A．52B．53C．54D．55
8．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离（键长）均相等，任意两个键之间的夹角（键角）均相等且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，现给出下列四个说法：
①是周期函数；②有无数个零点；③是奇函数；④．
其中所有正确说法的序号为（ ）
A．②③B．①②③C．②③④D．①②③④
11．已知是自然对数的底数，函数的定义域为，是的导函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
12．已知是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ）
A．16B．12C．5D．4
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．在等比数列中，，则的公比__________．
14．已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，若该圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为__________．
15．已知奇函数在上的最大值为，则__________．
16．已知双曲线（，）的左焦点为，直线与的左、右两支分别交于，两点，与轴交于点，是坐标原点．若，则的离心率为__________．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，求外接圆面积的最小值．
18．（12分）
某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组代表参加表彰会．
（1）求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；
（2）记选出的2人参加志愿者活动次数之和为，求不小于6的概率．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，是等边三角形．
（1）证明：平面平面．
（2）求点到平面的距离．
20．（12分）
已知是抛物线的焦点，是抛物线的焦点，点在上，且．
（1）求的方程；
（2）若是坐标原点，直线与交于，两点，求的面积．
21．（12分）
已知函数，．
（1）求的极值．
（2）若，证明：当时，．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，长轴长为4，离心率为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）写出椭圆的一个参数方程和直线的直角坐标方程；
（2）已知是椭圆上一点，是直线上一点，求的最小值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）画出的图象；
（2）求不等式的解集．
2021～2022学年上学期期末教育学业质量监测
高中三年级 数学试卷参考答案（文科）
1．B ，故在复平面内所对应的点位于第二象限．
2．A 因为，，所以．
3．C 若曲线是椭圆，则解得，且，
所以“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件．
4．D 画出可行域（图略）知，当经过点时，取得最大值，且最大值为9．
5．B 因为样本数据，，…，的方差为32，所以数据，，…，的方差为．
6．B 由题可知，，，，．
7．D 因为，所以，
则．
8．C 因为，，所以．
又，所以，则，则．故．
9．A 设，则由余弦定理知，，解得，
故该四面体的棱长均为．该四面体底面外接圆的半径，
高．故该四面体的体积为．
10．A 易知不是周期函数，故①不正确．由于，故②正确．
，故③正确．，故④不正确．
11．A 令函数，则，在上单调递增．
又，所以，，即，的大小不确定．故选A．
12．C 如图，延长到，使得．
因为，所以点在直线上．
取线段的中点为，连接，则．
显然当时，取得最小值，且最小值为3，所以．
13．或6 由题可知，，解得或6．
14． 设该圆锥的底面半径为，则它的高为，母线长为，
则它的体积，解得，故它的侧面积．
15．2或 因为是奇函数，所以，
解得，即．
当时，函数在上单调递增，则，解得．
当时，函数在上单调递减，则，解得．
16． 由题可知，，则．设，
则，
解得，故是的中点，则．
设的右焦点为，在中，由余弦定理知，，
解得．由双曲线定义知，，
则的离心率．
17．解：（1）因为，所以，
解得或（舍去）．
又为锐角三角形，所以．
（2）因为，
当且仅当时，等号成立，所以．
外接圆的半径，故外接圆面积的最小值为．
18．解：（1）记参加了2次志愿者活动的人为，参加了3次志愿者活动的人为，，，参加了4次志愿者活动的人为，．
从这6人中随机选出2人，共有，，，，，，，，，，，，，，这15种选法；
其中这2人参加志愿者活动次数相同的有，，，这4种选法．
故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为．
（2）由（1）可知，小于6有，，这3种选法，故不小于6的概率为．
19．（1）证明：设，因为是等边三角形，且，
所以是的中点，则．
又，所以，所以，即．
又平面，平面，所以．
又，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）解：因为，所以．
在中，，所以，
则．
又平面，所以．
如图，连接，则，，所以．
设点到平面的距离为，因为，所以，
解得，即点到平面的距离为．
20．解：（1）由题可知，，．
因为，，所以，解得，故的方程为．
（2）根据对称性，不妨令，即，直线的方程为，
设，，联立方程组整理得，
则，，则．
点到直线的距离，故的面积为．
21．（1）解：因为，所以．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
故当时，取得极大值，且极大值为，无极小值．
（2）证明：因为，所以．
令，则．
令，则恒成立，
所以在上单调递减．
又，，所以，．
当时，，则，单调递增；
当时，，则，单调递减．
，
故当时，．
22．解：（1）由题可知，椭圆的普通方程为，
故椭圆的一个参数方程为（为参数）．
由，得的直角坐标方程为．
（2）设，显然当时，取得最小值．
因为点到直线的距离，
所以的最小值为．
23．解：（1）因为，
所以的图象如图所示：
（2）由（1）所画图象可知，当或时，，
故不等式的解集为．
6.3
7.2
7.8
8.2
9.5
42
46
50
57