苏科版八年级数学上册同步精品讲义 第2章 轴对称图形综合测试卷（学生版+教师版）

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第2章 轴对称图形综合测试卷 考试时间：120分钟 姓名： 得分： 一、选择题（在给出的四个选项里只有一项是正确的；本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．2．如图是2×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出且与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（       ）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解：如图所示：与△ABC成轴对称的格点三角形一共4个，故选D．3．如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的边，则这个三角形是（       ）．A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不能确定【答案】B【解析】解：如图，CD平分∠ACE，且，∴∠ACD＝∠DCE，∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE，∴∠B＝∠A，∴△ABC为等腰三角形，故选B．4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，下列判断错误的是（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由作图知，直线是线段的垂直平分线，所以、、，故C、D正确，不符合题意，∵，，故B正确，不符合题意， 故选：．5．如图，在中，，，平分交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则的周长为（       ）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】D【解析】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=4，∴AD⊥BC，CD=BD=BC=2，∵点E为AC的中点，∴DE=CE=AC=2.5，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=2+2.5+2.5=7．故选：D．6．在中，斜边上的中线的长为，则斜边的长为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵在中，斜边上的中线的长为，∴cm．故选：C.7．如图，的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5【答案】C【解析】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为点，由角平分线的性质定理得：，的三边长分别是20，30，40，，故选：C．8．如图，中，，，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：①BD平分；②；③的周长等于；④D是AC中点．其中正确的是（       ）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】B【解析】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠CBD=∠ABD=36°，即BD平分∠ABC；故①正确；∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°∴∠BDC=∠C=72°，∴BC=BD，∴BC=BD=AD，故②正确；∴△BDC的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=AC+BC=AB+BC；故③正确；∵CD＜BD，∴CD＜AD，∴D不是AC中点．故④错误．故选：A．9．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面四个说法中，其中正确的是（       ）①的面积等于的面积；       ②；③；             ④A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③【答案】B【解析】解：是的AC边上的中线，，与等底同高，，则说法①正确；CF是的角平分线，，，是高，，，由对顶角相等得：，，则说法②正确；，是高，，，又，即，，则结论③正确；根据已知条件不能推出，不能推出，则说法④错误；综上，说法正确的是①②③，故选：B．10．如图，点在一条直线上，分别以，为边作等边三角形、，连接、，分别交、于点，相交于点．则下列说法：①；；③；④；⑤连接，则平分．其中正确的说法个数为（       ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【解析】解：∵△ABC与△DCE是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，DC=EC，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∴(SAS)∴AD=BE，故①正确；∵，∴∠DAC=∠EBC，又∵∠ACB=∠BCD=60°，AC=BC，∴，故②正确；∵，∴AM=BN，∴AD-AM=BE-BN即DM=EN故③正确；∵∠DAC=∠EBC，∠AMC=∠BMD∴∠BOM=∠ACB=60°∴∠AOE=120°故④正确；如图，连接OC，过点C作CH⊥AB于点H，作CF⊥BE于点F，∵，∴CH=CF，∴平分，故⑤正确；故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）11．如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数是______．【答案】35°【解析】解：，是的中线，，，∴∠BAC=40°，，是的角平分线，，故答案为：．12．如图是用平行四边形纸条沿对边AB，CD上的点E，F所在的直线折成的V字形图案，已知∠2＝60°，则∠1的度数是______．【答案】60°【解析】解：如图，由折叠知，∠1=∠3，∵∠2=60°，∴∠1=∠3=（180°-60°）÷2=60°，故答案为：60°．13．如图，ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠A＝30°，若BD＝2，则AD＝____．【答案】6【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°，AB=2BC， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC=90°， ∴∠BCD=90°-60°=30°， ∴BC=2BD， ∴AB=4BD， ∵BD=2， ∴AB=2×4=8， ∴AD=AB-BD=8-2=6， 故答案为6．14．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，已知△BCE的周长为15cm，BC=7cm，则AC=______cm．【答案】8【解析】解：∵AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，∴AE=CE，∴AB=AE+BE=CE+BE，∵△BCE的周长=BC+BE+CE=AB+BC=15cm，BC=7cm，∴AB=8cm，∴AC=AB=8cm，故答案为：8．15．如图，等腰直角△ABC中，D为斜边AB的中点，E，F分别为腰AC，BC上（异于端点）的点，DE⊥DF，AB=10，设x=DE+DF，则x的取值范围是__________．【答案】【解析】如图所示，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，分别交AC、BC于M、N，∵△ABC是等腰三角形，点D是AB的中点，∴DM= DN，又DE⊥DF，∴∠EDM=∠FDN，在△EDM和△FDN中∴≌(ASA),∴DE=DF，在中， ∵AB=10，∴AC=BC=，当DE、DF与边垂直时和最小，即,当E或F有一个与C重合时，其和最大，即,∴．故答案为：．16．如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，BC＝5AD＝5，∠B＝45°，等腰直角三角形EMN中，含45°角的顶点E放在BC边上移动，直角边EM始终经过点A，斜边EN与CD交于点F，若△ABE为等腰三角形，则CF的长为 _____．【答案】3或2或【解析】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝5AD＝5，∴BM＝（BC﹣AD）＝，∠C＝∠B＝45°，∵∠B＝45°，∴AB＝BM×＝4，①如图1，AE＝BE时，∵∠B＝45°，∴∠BAE＝∠B＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝2，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣2＝3，又∵∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CF＝CE＝3；②如图2，AB＝BE时，∵∠B＝45°，∴∠AEB＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠CFE＝180°﹣∠C﹣∠CEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE，∵BC＝5，AB＝4，∴CF＝CE＝BC﹣BE＝5﹣4；③如图3，AB＝AE时，∠AEB＝∠B＝45°，∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝4，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝，∴CF＝CE＝×＝2；综上所述，CF的长为3或5﹣4或2．故答案为：3或5﹣4或2．三、解答题（本大题共10题，共68分）17．（6分）已知：如图，，交于点，，，，垂足分别为，．求证：是等腰三角形．【答案】见解析【解析】证明：，，，在和中，，≌，，是等腰三角形．18．（6分）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE＝4cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，∠A＝30°，求AB和CD的长.【答案】AB=16cm，CD=8cm．【解析】解：∵DE⊥AC，∠A=30°，DE=4cm，∴AD=2DE=8cm；∵D为AB中点，∴AB=2AD=16cm，∵∠ACB=90°，∴CD=AB=8cm．∴AB和CD的长分别为：16cm，8cm．19．（6分）如图，公路OA与OB相交于点O，在两条公路相交内部有两个村庄E，F，现要修建一个电站，使得该电站到两条公路OA和OB的距离相等，且到两个村庄的距离相等．请你用尺规作出该电站的位置．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）【答案】见解析【解析】解：电站应修建在∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线的交点P处，如图所示：点P即为所求．20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．求证：(1)CF＝EB；(2)AF+EB＝AE．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴DC=DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），∴CF=EB；（2）∵Rt△DCF≌Rt△DEB，∴DC=DE，∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），∴AC=AE，∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE．21．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，BD＝CD．(1)求证：DE＝DF；(2)判断△ABC的形状并证明．【答案】(1)见解析(2)△ABC是等腰三角形，理由见解析【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF；（2）解：△ABC是等腰三角形，理由如下：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴，∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．22．（6分）如图，在中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，点F在AC上，且．(1)求证：；(2)若，，求BE的长．【答案】(1)见解析；(2)6【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，∴DC＝DE，又DF＝BD，∴（HL），∴BE＝CF．（2）在和中，∵DE＝DF，AD＝AD，∴，∴AC＝AE，AB＝AE＋BE＝AC＋BE，AC＝AF＋CF，由（1）知CF＝BE，∴AB＝AF＋BE＋BE即，∴．23．（6分）已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．(1)如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；(2)如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，∴△ABC、△DEF为等边三角形，∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，AB=AF∴∵BC=AC、CE=CD∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，∵AB＝AE+BE ∴AF＝AE+AD；（2）在FA上截取FM＝AE，连接DM；AF，DE相交于点G∵∠BAC＝∠EDF，∴∠AED＝∠MFD，∵AE=MF，ED=DF   ∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，∵AC=DM∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC，∴AE+BC＝FM+AM＝AF．即AF＝AE+BC．24．（6分）在△ABC中，AB=AC，在△ABC的外部作等边△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F.(1)如图1，连接BD，若∠BAC=100°，求∠BDF的度数；(2)如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN.若BN=DN，求证：MB=MN.【答案】(1)20°(2)见解析【解析】（1）解：∵△ACD是等边三角形，点E为AC的中点，∴∠ADE=∠ADC=30°，AD=AC，∵AB=AC，∴AB=AD，∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°，∴∠ADB=10°，∴∠BDF=∠ADE-∠ADB=30°-10°=20°；（2）证明：连接AN，∵CM平分∠ACB，∴∠ACM=∠BCM=a，∴∠ABC=∠ACB=2a，∵DN是AC的垂直平分线，∴AN=CN，∴∠NAC=∠NCA=a，∴∠DAN=60°+a，∵AB=AD，AN=AN，BN=DN，∴△ABN≌△ADN（SSS），∴∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60°+a，∴∠BAC=60°+2a，∴60°+2a+2a+2a=180°，∴a=20°，∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=40°-30°=10°，∴∠MNB=∠MCB+∠NBC=30°，∴∠MNB=∠BMN，\∴BM=MN．25．（10分）数学课上，老师出示了如下框中的题目：小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：________（填“＞”，“＜”或“=”）．(2)特例启发，解答题目解：题目中，与的大小关系是：________（填“＞”，“＜”或“=”）理由如下：如图2，过点作，交于点，（请你继续完成解答过程）(3)拓展结论，设计新题在等边三角形中，点在直线上上，点在直线上，且．若的边长为3，，求的长（请你直接写出结果）．【答案】(1)=(2)=，解答过程见解析(3)8或2【解析】（1）∵△ABC为等边三角形，点为的中点，∴∠ABC=∠ACB=60°，CE平分∠ACB，∴∠ECB=30°，∵∴∠D=∠ECB=30°，∴∠DEB=60°-30°=30°，∴DB=BE，∵AE=BE，∴AE=DB；故答案为：=（2）理由如下：如图2，过作交于，∵是等边三角形，，，，，即，是等边三角形，，∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF，，，，，，在和中，，，BE=CF，，即，（3）①如图：当点E在直线BC下方时，以点E为圆心，EC长为半径画弧，交直线BC于点D，过点E，作，延长AC于EF交于点F，∵，∴∠AFE=∠ACB=60°，∠BCE=∠CEF，∵∠A=60°，∠∠AFE=60°，∴△AEF为等边三角形，∵DE=CE∴∠BDE=∠BCE∴∠BDE=∠CEF∵∠ABC=60°，∴∠DBE=60°，在△BDE和△EFC中∠BDE=∠CEF， ∠DBE=∠AFE，DE=CE∴△BDE≌△EFC，∴BD=EF，∵EF=AE=5，∴BD=5，∴CD=5+3=8；②如图：当点E在直线BC上方时，以点E为圆心，EC长为半径画弧，交直线BC于点D，过点E作，延长CA，交EF于点F，∵，∴∠EFC=∠ACB，∠FEC=∠ECD∵∠ACB=∠B，∴∠EFC=∠B=60°，∵∠FAE=∠BAC=60°，∴△AEF为等边三角形，∴EF=AE=5，∵DE=CE，∴∠ECD=∠EDC，∴∠FEC=∠EDC，在△BDE和△EFC中∠BDE=∠CEF， ∠DBE=∠AFE，DE=CE∴△BDE≌△EFC，∴BD=EF=5，∴CD=BD-BC=5-3=2，综上：CD=8或2．26．（10分）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是直线BC、AC上的点．(1)如图①，当点D、E分别在线段BC、AC上时，BE与AD相交于点F，且∠AFE＝60°，求证：AD＝BE；(2)如图②，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时，CF为△ABC的高线，且BD＝CE，求证：CD＝2AF＋CE；(3)如图③，当点D、E分别在线段BC、AC上时，BE与AD相交于点F，且∠AFE＝60°，恰好CF为△ADC的高线，BF＝35，DF＝5．求EF的长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴AB＝BC∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝∠AFE＝60°∵∠AFE＝∠BAF＋∠ABF∠ABC＝∠CBE＋∠ABF∴∠BAF＋∠ABF＝∠CBE＋∠ABF∵∠ABF是公共角∴∠BAD＝∠CBE在△ABD和△BCE中∵∠BAD＝∠CBE，AB＝BC，∠ABD＝∠BCE∴△ABD≌BCE（ASA）∴AD＝BE．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝60°∵CF为△ABC的高线∴CF⊥AB∴∠AFC＝90°∴∠ACF＝90°－∠BAC＝30°∴AC＝BC＝2AF∵BD＝CE∴CD＝BC＋BD＝2AF＋CE．（3）解：如图，延长BE至H，使AF＝FH，连接AH和CH．∵∠AFE＝60°∴△AFH是等边三角形∴AF＝AH，∠BAC＝∠FAH＝60°∴∠BAC－∠CAD＝∠FAH－∠CAD又∵∠CAD为公共边∴∠BAF＝∠CAH在△BAF和△CAH中∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAH，AF＝AH∴△BAF≌△CAH（SAS）∴∠ABF＝∠ACH，BF＝CH．由（1）知∠ABC＝∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CBE∴∠BAC－∠BAF＝∠ABC－∠CBE，即∠ABF＝∠CAD＝∠ACH∴AF∥CH．∠AFC＋∠FCH＝180°∵CF为△ABC的高线∴．CF⊥AB∴∠AFC＝90°∴∠FCH＝90°又∵∠AFE＝60°∴∠CFH＝30°∴AF＝FH＝2CH=2BF=6∴AD=AF＋DF＝7由（1）知AD=BE=7∴EF=BE-BF=7-3=4．题 号一二三总 分分 数在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由．