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四川省眉山市彭山区第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题1
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这是一份四川省眉山市彭山区第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题1，共11页。试卷主要包含了请将所有答案正确填写在答题卡上，已知直线过点和点Q，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
考试时间120分钟；考试总分：150分钟；命题人：高二数学组
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将所有答案正确填写在答题卡上。
第I卷 选择题（60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．向量，，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．
3．圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ）
A．B．C．D．1
4．已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线过点和点Q（2，2，0），则点到的距离为（ ）
A．3B．
C．D．
7．已知椭圆C：，O为椭圆的对称中心，F为椭圆的一个焦点，P为椭圆上一点，轴，PF与椭圆的另一个交点为点Q，为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，若金字塔的高为3，，点E满足，则点D到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知甲罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3；乙罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和小于5”，事件“抽取的两个小球标号之积为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件发生的概率为B．事件发生的概率为
C．事件发生的概率为D．事件发生的概率为
10．直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是（ ）
A．B．C．D．
11．已知A，B两点的距离为定值4，平面内一动点，记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，下面说法正确的是（）
A．若，则最大值为2
B．若，则最大值为
C．若，则最大值为
D．若，则最大值为1
12．已知正方体的棱长为2，，点在底面上运动．则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若//平面时，长度的最小值是
C．若与平面所成角为时，点的轨迹长度为
D．当点为底面的中心时，三棱锥的外接球的表面积为
第II卷 非选择题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 ．
已知双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为 ．
设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为A，离心率为，经过的直线与该椭圆相交于P，Q两点（其中点在P第一象限），且，若的周长为，则该椭圆的标准方程为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.
18．在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值.
19．已知椭圆的离心率为，且短轴长为．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程．
20．已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，平面.
(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.
21．己知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为．
(1)求双曲线的方程；
(2)记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程．
22．已知椭圆的方程为，点为长轴的右端点．为椭圆的短轴的端点．直线与直线的斜率满足：．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，求证：以线段为直径的圆恒过原点．
彭山一中高2025届高二上学期12月月考
数学参考答案：
1．C 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．A
【详解】由题意可知椭圆的焦点在轴，不妨设，，
因为点在椭圆上，
所以，解得，所以，
又为等腰直角三角形，所以，
即，即，所以，
解得或（舍．
8．D
【详解】如图，
连接，设与相交于点O，连接，
因为金字塔可视为一个正四棱锥，
故以点O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
又由题意可得，，
所以，
所以，，，，，，
不妨设，又因为，所以，
即，解得，即，
，，，
设平面AEC的法向量为，则，，
即，取，得，
所以点D到平面AEC的距离．
9．AC
【详解】从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有12个基本事件，如下：
，
抽取的两个小球标号之和小于5的有：，共6个
抽出的两个小球标号之积为奇数的有：，共4个，
所以，故A正确；
事件包含的基本事件有：，共7个，
所以，故B错误,
事件包含的基本事件有：，共3个，
所以，故C正确，D错误；
10．ACD
【详解】圆的圆心坐标为，半径，
依题意直线的斜率存在，
若直线过坐标原点，设直线为，即，则，解得，
所以直线的方程为或；
若直线不过坐标原点，设直线为（），即，
则，解得（舍去）或，
所以直线的方程为，
综上可得直线的方程为或或.
11．BC
【详解】如图，以线段的中点为原点建立空间直角坐标系，
则，设，
对于A，，即，
化简可得点C的轨迹方程，故，
所以三角形ABC的面积，
即C点为时，三角形ABC面积最大，故A错误；
对于B，由题意可得，
化简可得点C的轨迹方程，
故，
所以，即C点为时，
三角形ABC面积最大，故B正确；
对于C，由知，
动点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆（除去长轴上的两个顶点），
则，故
椭圆方程为，故，
三角形ABC的面积，
即当C运动到短轴端点时，三角形面积最大，故C正确；
对于D，由题意，
化简可得C的轨迹方程，故，
三角形ABC的面积，
即当C运动到短轴端点时，三角形ABC的面积的最大值为，故D错误.
故选：BC
12．ABD
【详解】对于A选项，作关于平面的对称点，
则，且，
当点与点A重合时，则，
所以存在满足题意，故A选项正确；
对于B选项，在上取，在上取，连接，
则可得平面∥平面，即当在上运动时，∥平面，
长度的最小值是即为点到直线的距离，
根据平行的性质可知：点到直线的距离即为点到直线的距离，
所以 ，故B选项正确；
对于C选项：因为平面，所以与平面所成角为，
则，解得，
所以点的轨迹是以A为圆心，半径的圆弧，长度为，故C选项错误；
对D选项，以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可知的外接圆圆心的为（利用中垂线可得），
所以球心为，，，，
所以，解得，
可得，
所以，D选项正确，
13．15
14．9
15．
16．
【详解】由椭圆的离心率为，可得
因为，所以，
又因为，因此的周长与的周长之比为，
因为的周长为，所以的周长为10，
由椭圆的定义，可得，
结合，解得，于是，
故椭圆的标准方程为．
故答案为：．
17．【详解】
解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件.
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P()＋P()＋P()＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
18．【详解】（1）因为，的中点为，且直线的斜率，
则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程，解得，
即圆心，，
所以，圆的方程为.
（2）因为直线被曲线截得弦长为，
则圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，解得.
19．【详解】（1）由题意可得椭圆中，
又因为，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，，则，
两式相减，得，
又根据题意带入可得，
所以的斜率，
故的方程为，即．
20．【详解】（1）∵平面，平面，
∴，
过点作，由为等腰梯形，，
故，
所以，即，即，
平面，
∴平面，平面，
故.
（2）方法一:，
∵,
，
∴.
如图，建立空间直角坐标系，
，，，，
,
设平面法向量为，
则，，
取，得
同理，设面法向量为，则
，，
取，得，
由题意，.
设平面与平面的夹角为，则，
21．【详解】（1）解：由题意可得，可得，
因此，双曲线的方程为.
（2）解：若直线与轴重合，则直线与双曲线没有交点，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
则，
，解得，合乎题意，
所以，直线的方程为或.
22．【详解】解：（1）,,
由，即得，
所以
即椭圆的标准方程为：
（2）设
由得：
又与圆C相切，所以即
所以
所以，，即
所以，以线段为直径的圆经过原点.
【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法
（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
考试时间120分钟；考试总分：150分钟；命题人：高二数学组
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将所有答案正确填写在答题卡上。
第I卷 选择题（60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．向量，，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．
3．圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ）
A．B．C．D．1
4．已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线过点和点Q（2，2，0），则点到的距离为（ ）
A．3B．
C．D．
7．已知椭圆C：，O为椭圆的对称中心，F为椭圆的一个焦点，P为椭圆上一点，轴，PF与椭圆的另一个交点为点Q，为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，若金字塔的高为3，，点E满足，则点D到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知甲罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3；乙罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和小于5”，事件“抽取的两个小球标号之积为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件发生的概率为B．事件发生的概率为
C．事件发生的概率为D．事件发生的概率为
10．直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是（ ）
A．B．C．D．
11．已知A，B两点的距离为定值4，平面内一动点，记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，下面说法正确的是（）
A．若，则最大值为2
B．若，则最大值为
C．若，则最大值为
D．若，则最大值为1
12．已知正方体的棱长为2，，点在底面上运动．则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若//平面时，长度的最小值是
C．若与平面所成角为时，点的轨迹长度为
D．当点为底面的中心时，三棱锥的外接球的表面积为
第II卷 非选择题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 ．
已知双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为 ．
设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为A，离心率为，经过的直线与该椭圆相交于P，Q两点（其中点在P第一象限），且，若的周长为，则该椭圆的标准方程为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.
18．在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值.
19．已知椭圆的离心率为，且短轴长为．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程．
20．已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，平面.
(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.
21．己知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为．
(1)求双曲线的方程；
(2)记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程．
22．已知椭圆的方程为，点为长轴的右端点．为椭圆的短轴的端点．直线与直线的斜率满足：．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，求证：以线段为直径的圆恒过原点．
彭山一中高2025届高二上学期12月月考
数学参考答案：
1．C 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．A
【详解】由题意可知椭圆的焦点在轴，不妨设，，
因为点在椭圆上，
所以，解得，所以，
又为等腰直角三角形，所以，
即，即，所以，
解得或（舍．
8．D
【详解】如图，
连接，设与相交于点O，连接，
因为金字塔可视为一个正四棱锥，
故以点O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
又由题意可得，，
所以，
所以，，，，，，
不妨设，又因为，所以，
即，解得，即，
，，，
设平面AEC的法向量为，则，，
即，取，得，
所以点D到平面AEC的距离．
9．AC
【详解】从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有12个基本事件，如下：
，
抽取的两个小球标号之和小于5的有：，共6个
抽出的两个小球标号之积为奇数的有：，共4个，
所以，故A正确；
事件包含的基本事件有：，共7个，
所以，故B错误,
事件包含的基本事件有：，共3个，
所以，故C正确，D错误；
10．ACD
【详解】圆的圆心坐标为，半径，
依题意直线的斜率存在，
若直线过坐标原点，设直线为，即，则，解得，
所以直线的方程为或；
若直线不过坐标原点，设直线为（），即，
则，解得（舍去）或，
所以直线的方程为，
综上可得直线的方程为或或.
11．BC
【详解】如图，以线段的中点为原点建立空间直角坐标系，
则，设，
对于A，，即，
化简可得点C的轨迹方程，故，
所以三角形ABC的面积，
即C点为时，三角形ABC面积最大，故A错误；
对于B，由题意可得，
化简可得点C的轨迹方程，
故，
所以，即C点为时，
三角形ABC面积最大，故B正确；
对于C，由知，
动点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆（除去长轴上的两个顶点），
则，故
椭圆方程为，故，
三角形ABC的面积，
即当C运动到短轴端点时，三角形面积最大，故C正确；
对于D，由题意，
化简可得C的轨迹方程，故，
三角形ABC的面积，
即当C运动到短轴端点时，三角形ABC的面积的最大值为，故D错误.
故选：BC
12．ABD
【详解】对于A选项，作关于平面的对称点，
则，且，
当点与点A重合时，则，
所以存在满足题意，故A选项正确；
对于B选项，在上取，在上取，连接，
则可得平面∥平面，即当在上运动时，∥平面，
长度的最小值是即为点到直线的距离，
根据平行的性质可知：点到直线的距离即为点到直线的距离，
所以 ，故B选项正确；
对于C选项：因为平面，所以与平面所成角为，
则，解得，
所以点的轨迹是以A为圆心，半径的圆弧，长度为，故C选项错误；
对D选项，以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可知的外接圆圆心的为（利用中垂线可得），
所以球心为，，，，
所以，解得，
可得，
所以，D选项正确，
13．15
14．9
15．
16．
【详解】由椭圆的离心率为，可得
因为，所以，
又因为，因此的周长与的周长之比为，
因为的周长为，所以的周长为10，
由椭圆的定义，可得，
结合，解得，于是，
故椭圆的标准方程为．
故答案为：．
17．【详解】
解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件.
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P()＋P()＋P()＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
18．【详解】（1）因为，的中点为，且直线的斜率，
则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程，解得，
即圆心，，
所以，圆的方程为.
（2）因为直线被曲线截得弦长为，
则圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，解得.
19．【详解】（1）由题意可得椭圆中，
又因为，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，，则，
两式相减，得，
又根据题意带入可得，
所以的斜率，
故的方程为，即．
20．【详解】（1）∵平面，平面，
∴，
过点作，由为等腰梯形，，
故，
所以，即，即，
平面，
∴平面，平面，
故.
（2）方法一:，
∵,
，
∴.
如图，建立空间直角坐标系，
，，，，
,
设平面法向量为，
则，，
取，得
同理，设面法向量为，则
，，
取，得，
由题意，.
设平面与平面的夹角为，则，
21．【详解】（1）解：由题意可得，可得，
因此，双曲线的方程为.
（2）解：若直线与轴重合，则直线与双曲线没有交点，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
则，
，解得，合乎题意，
所以，直线的方程为或.
22．【详解】解：（1）,,
由，即得，
所以
即椭圆的标准方程为：
（2）设
由得：
又与圆C相切，所以即
所以
所以，，即
所以，以线段为直径的圆经过原点.
【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法
（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
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