四川省眉山市彭山区第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

这是一份四川省眉山市彭山区第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知向量，.若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，则包含的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．已知且，则“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．函数，若对任意、（），都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在上的函数(为实数)为偶函数，记，，，则､､的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．2B．C．D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．（多选）为了更好地支持中小型企业的发展，某市决定对部分中小型企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业的年收入情况，并根据所得数据作出了如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．样本在区间[500,700]内的频数为18
B．如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税收政策，估计当地有30％的中小型企业能享受到减免税收政策
C．样本的中位数小于350万元
D．可估计当地的中小型企业年收入的平均数不超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
10．已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A．。B．的图像关于点成中心对称。
C．。D．。
11．如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值。
B．平面。
C．的最小值为。
D．当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为。
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知为虚数单位，，若，则a-b=
13．已知为椭圆的右焦点，为坐标原点，为上一点，若为等边三角形，则的离心率为 .
14．已知正数a，b，c满足，，则的最小值为 .
四、解答题
15．（13分）的内角的对边分别为，已知.
(1)求； (2)若，求的面积.
16．（15分）某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下：
(1)计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高）
(2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数）
参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，.
参考数据：，，.
（15分）如图，在四棱锥中，，，
平面，，、分别是棱、的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值．
18．（17分）已知函数，定义域为.
(1)讨论的单调性； (2)求当函数有且只有一个零点时，的取值范围.
19．（17分）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点.
（i）证明：共线；
（ii）判断是否为定值，若是定值求出定值；若不是定值，说明理由.
姓名： 彭山一中2025届9月入学数学测试参考答案
5．C由对任意、（），都有成立，可知在上单调递减，
所以，解得，即实数a的取值范围为. 故选：C.
6．A因为，所以，，故.故选：A.
7．D【详解】因为为偶函数，所以，故，
即对任意的恒成立，故，所以，，
则，
当时，，在上为增函数，
因为，故，所以.故选：D.
8．由题意知直线是曲线与曲线的公切线，
设是图象上的切点，，
所以在点处的切线方程为，即①
令，解得，
即直线与曲线的切点为，
所以，即，解得或，
当时，①为，不符合题意，舍去，
所以，此时①可化为，所以，故选：A
9．解，即可判断A，求出年收入在300万元以内的企业的频率，即可判断B，利用频率分布直方图中位数的求解方法，求出中位数，即可判断C，利用频率分布直方图中平均数的求解方法，求出平均数，即可判断D．
【详解】由频率分布直方图可得，，解得，
所以样本在区间,内的频数为，故A正确；
年收入在300万元以内的企业的频率为，故B正确；
，故中位数再,之间，设中位数为，
则有，解得，故C错误；
收入的平均数为，故D正确．
故选：ABD．
10．对A：令，则有，即，故A正确；
对B：令，则有，又f1=0，故，
令，，则有，故，故B错误；
对C：令，则有，即，
则
，故C正确；
对D：令，则有，即，
则，即，
又，故，
则，故D正确.故选：ACD.
11．对于A，因为不在平面内，平面，
所以平面，又，所以点到平面的距离为，
又为定值， 故定值，A正确；
对于B，因为，平面，平面，所以平面，
同理可知平面，又，平面，
所以平面平面，
由于平面，故平面，B正确.
对于C，展开两线段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形，
连接，交于点，此时最小，最小值即为的长，
过点作⊥，交的延长线于点，
其中，
故，又勾股定理得，C正确；
对于D，点P在点B处，，C，，P四点共面，
四面体的外接球即正方体的外接球，
故外接球的半径为，所以该球的体积为，D正确. 故选：ABD
12．4
13、取椭圆的左焦点，连结，由为等边三角形，则，
可知为直角三角形，且，设，则，，
可得，则，
所以椭圆的离心率是．故答案为：.
14．由题意知，当时取等号，
故
，当时取等号，
综上，当时，的最小值为2. 故答案为：2
15（1）因为，由正弦定理可得.
可化为. 又由余弦定理，有. 又，所以.
（2）因为，由（1）有. 可化为.
又由，有. 所以.
16．（1）由表中数据可知，，，
，，，
则， 故相关程度较高；
（2），， 则，，
故， 令，解得， 故研发投入至少9.3亿元.
17、（1）如图所示，连接．
因为，分别是棱，的中点， 所以，
因为，， 所以，，
所以四边形是平行四边形， 则．
因为平面，平面， 所以平面．
（2）因为平面，平面,所以，
又因为，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题中数据可得，，，．
设平面的法向量为，
则
令，得．
因为，, 所以平面
平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为，
则． 故，
即平面与平面的夹角的正弦值为．
18．（1）因为，
（ⅰ）当，即时，则f'x≥0在0,+∞内恒成立， 可知在0,+∞内单调递增；
（ⅱ）当，即或时，可知有两个不相等的根，
不妨令，可知，
①若，因为，可知，
令f'x>0，解得；令f'x<0，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增；
②若，因为，可知，
令f'x>0，解得或；令f'x<0，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增；
综上所述：当时，在0,+∞内单调递增；
当时，在内单调递减，在内单调递增；
当时，在内单调递减，在内单调递增.
（2）若，可知在0,+∞内无零点，不合题意，可知
令，整理得，
构建，原题意等价于y=gx与的图象有且仅有一个交点，
因为，
构建，则，
令h'x>0，解得；令h'x<0，解得；
可知hx在0,2内单调递增，在内单调递减，则，即在0,+∞恒成立，
可知在0,+∞内单调递减，且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0且；
的大致图象如图所示，可得，即，所以的取值范围为0,+∞.
19．（1）由题意得解得所以双曲线的标准方程为；
（2）（i）设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，其中，
联立方程，消去可得，
该方程有两个正根，解得，
根据韦达定理：，
直线的方程为，而，即，
直线的方程为，而，即，
联立方程两式相加得，
代回方程组得，
根据，易得，
即都在直线上，所以共线；
（ii）为定值，定值为，理由如下：
由（i）得：设坐标为，直线方程为，
即（i）中，根据①中的计算，
，
，
，所以.
研发投入（亿元）
1
2
3
4
5
产品收益（亿元）
3
7
9
10
11
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
C
A
D
A
ABD
ACD
题号
11
12
13
14
答案
ABD
4
2