数学人教A版 (2019)第三章 函数的概念与性质3.2 函数的基本性质精品同步测试题

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1．函数的单调性
(1)单调递增、单调递减：
(2)函数的单调性及单调区间：
①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.
②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单
调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
(3)常见函数的单调性：
(4)单调函数的运算性质：
若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的
单调性.
③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与 SKIPIF 1 < 0 具有相反的单调性；当a<0时，
f(x)与 SKIPIF 1 < 0 具有相同的单调性.
④若f(x)≥0，则f(x)与 SKIPIF 1 < 0 具有相同的单调性.
⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：
⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x) g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x) g(x)在区间D上单调递减(增).
(5)复合函数的单调性判定：
对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.
2．函数的最大（小）值
(1)函数的最大（小）值：

(2)利用函数单调性求最值的常用结论：
①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；
②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.
3．函数的奇偶性
(1)定义：

(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）
①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.
(3)函数图象的对称性：
①图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.
②图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
【方法点拨】
(1)定义法：利用函数单调性的定义讨论函数的单调性或求单调区间.
(2)图象法：根据函数解析式画出函数图象，通过函数图象研究单调性.
注：①复合函数单调性的判断方法：根据复合函数的单调性满足“同增异减”，可判断复合函数的单调性；
②抽象函数单调性的判断方法：一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.
【例1】（2021秋•邗江区期中）下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（ ）
A．B．y＝2x+1C．y＝x2D．y＝x0
【变式1-1】（2022春•天津期末）下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．f（x）＝3﹣xB．f（x）＝x2﹣3xC．D．f（x）＝﹣|x|
【变式1-2】（2020秋•福田区校级期末）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣3]
【变式1-3】（2021•白山开学）函数的单调增区间为（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0），（0，+∞）
【题型2 利用函数的单调性求参数】
【方法点拨】
(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.
(2)借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解.
需注意，若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.
【例2】（2021•河北区学业考试）已知函数f（x）＝x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，10]∪[40，+∞）B．（﹣∞，﹣40]∪[﹣10，+∞）
C．[10，+∞）D．[40，+∞）
【变式2-1】（2021秋•怀仁市校级月考）若函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]
【变式2-2】（2021秋•河北期中）若函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|在区间[﹣3，0]上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣3，0）∪（0，9）B．（﹣9，0）∪（0，3）
C．（﹣9，3）D．（﹣3，9）
【变式2-3】（2022•湖南模拟）定义在R的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2]B．[2，+∞）
C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【题型3 利用函数的单调性比较大小、解不等式】
【方法点拨】
(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上.
(2)解关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式时，可利用函数的单调性脱去“f”，转化不等式，进行求解即可.
【例3】（2021秋•福田区校级期末）已知函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），则实数a的取值范围是（ ）
A．B．[2，6）
C．D．（0，6）
【变式3-1】（2020秋•泸县校级月考）已知定义在[0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（2a﹣1）＞f（），则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2021秋•金凤区校级月考）已知函数f（x）是区间（0，+∞）内的减函数，则f（a2﹣a+1）与的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．不确定
【变式3-3】（2021秋•滨海新区期中）定义在R上函数y＝f（x）满足以下条件：①函数y＝f（x）图像关于x＝1轴对称，②对任意x1，x2∈（﹣∞，1]，当x1≠x2时都有0，则f（0），，f（3）的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【题型4 求函数的最值】
【方法点拨】
(1)配方法，主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；
(2)换元法，用换元法时一定要注意新元的取值范围；
(3)数形结合法，对于图象较容易画出的函数的最值问题，可借助图象直观求出；
(4)利用函数的单调性，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值.
【例4】（2021•白山开学）函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（ ）
A．B．2，5C．1，2D．
【变式4-1】（2022春•铜鼓县校级期末）若函数，则函数g（x）＝f（x）﹣4x的最小值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
【变式4-2】（2022春•阎良区期末）设函数在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m＝（ ）
A．4B．6C．10D．24
【变式4-3】（2021秋•杭州期末）已知，设f（x）＝min{x﹣2，﹣x2+4x﹣2}，则函数f（x）的最大值是（ ）
A．﹣2B．1C．2D．3
【题型5 由函数的最值求参数】
【方法点拨】
在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解.
若对于区间D上的任意x，a>f(x)恒成立，则a> SKIPIF 1 < 0 ；若对于区间D上的任意x，a SKIPIF 1 < 0 ；若在区间D上存在x使a>f(x)成立，则a> SKIPIF 1 < 0 ；若在区间D上存在x使a【例5】（2022春•爱民区校级期末）若函数在区间[0，1]上的最大值为，则实数m＝（ ）
A．3B．C．2D．或3
【变式5-1】（2021秋•香坊区校级期中）已知函数f（x）＝|x2﹣2x+a|+a在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-2】（2021秋•浉河区校级期末）函数f（x）＝x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值为，最大值为2，则n﹣m的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
【变式5-3】（2021秋•松山区校级月考）若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且M+N＝4，则实数a的值为（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．1
【题型6 函数奇偶性的判断】
【方法点拨】
(1)定义法：先求函数的定义域，再进行函数奇偶性的判断.
(2)图象法：根据解析式画出函数图象，根据函数的对称性进行函数奇偶性的判断.
(3)性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性判断.
【例6】（2021秋•海安市校级月考）设函数f（x），则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f（x﹣2）﹣1B．f（x﹣2）+1C．f（x+2）﹣1D．f（x+2）+1
【变式6-1】（2022春•杨陵区校级期末）若函数f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函数，则g（x）＝2ax3+bx2+9x是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
【变式6-2】（2022春•祁东县期末）设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A．f（x+1）B．f（x）+1C．f（x﹣1）D．f（x）﹣1
【变式6-3】（2022春•云浮期末）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）+g（x）为R上的奇函数
B．f（x）﹣g（x）为R上的奇函数
C．为R上的偶函数
D．|f（x）g（x）|为R上的偶函数
【题型7 函数奇偶性的应用】
【方法点拨】
(1)求函数值、函数解析式：利用函数的奇偶性，进行转化求解.
(2)求参数值：①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.
②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.
【例7】（2022春•北京期末）f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）﹣f（x）＝0，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（2022•成都开学）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当1≤x≤2时，f（x）＝x﹣1，则f（）的值等于（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2022春•长春期末）设函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，则（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】（2022春•辽宁期末）设f（x）的定义域为R，f（x﹣2）是奇函数，f（x﹣1）是偶函数，则f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝（ ）
A．﹣4B．0C．4D．不确定
【题型8 函数图象的识别、判断】
【方法点拨】
①排除法：利用特殊点的值来排除；
②利用函数的奇偶性、单调性来判断.
【例8】下列四个函数图象中，当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-1】根据下列函数图象，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-2】已知f（x）则关于图中的函数图象正确的是（ ）
A．是f（x﹣1）的图象B．是f（﹣x）的图象
C．是f（|x|）或|f（x）|的图象D．以上答案都不对
【变式8-3】反比例函数f（x）的图象，如图，则（ ）
A．常数k＜﹣1
B．函数f（x）在定义域范围内，y随x的增大而减小
C．若点A（﹣1，m），B（2，n）在f（x）上，则m＜n
D．函数f（x）图象对称轴的直线方程y＝x