广东省深圳市人大附中深圳学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省深圳市人大附中深圳学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷，共8页。
命题人：牛麟 审题人：唐庚
说明：本试卷有4道大题22道小题，共2页，考试用时120分钟，满分150分，请在答题卡上作答，选择题用2B铅笔填涂，要求把选项填黑填满，主观题用0.5黑色签字笔答题，主观题要答写在对应题框内，不在框内答题无效。
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若函数，则（ ）
A．1 B．4 C．0 D．
3．已知，，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在同一个坐标系中，函数与（且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设函数是单调减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．更多课件教案等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 7．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．某传染病在流行初期，由于大部分人未感染且无防护措施，所以总感染人数以指数形式增长．假设在该传染病流行初期的感染人数为，且每位已感染者平均一天会传染给r位未感染者的前提下，n天后感染此疾病的总人数可以表示为，其中且．已知某种传染病初期符合上述数学模型，且每隔16天感染此病的人数会增加为原来的64倍，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
二、多选题（每小题4分，共20分）
9．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
10．已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（ ）
A． B． C． D．
11．下列图象可以作为函数的图象的有（ ）
A． B．
C． D．
12．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，若在内关于x的方程恰有3个不同的实数根则a的可能取值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
三、填空题（每小题4分，共20分）
13．已知，，则的最小值是________．
14．已知函数，则的解集是________．
15．已知函数，，则________．
16．已知函数的定义域为，，若此函数同时满足：
①当时有；
②当时有，
则称函数为函数．
在下列函数中：
①；②；③
是函数的为________．（填出所有符合要求的函数序号）
四、解答题（共6个大题，共70分）
17．（本小题满分10分）
已知集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数m的取值范围．
18．（本小题满分12分）
设函数．
（1）若对任意的，均有成立，求实数m的取值范围；
（2）若，解关于x的不等式．
19．（本小题满分12分）
已知定义域为的奇函数，对任意，总有，且当时，，．
（1）求证：是上的减函数；
（2）若，求实数x的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知函数是定义域为的奇函数．
（1）求实数a的值，并判断函数的单调性（不用证明）；
（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
21．（本小题满分12分）
随着科技的发展，手机上各种APP层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，抖音是一个帮助用户表达自我，记录美好生活的视频平台，在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，抖音上商品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：，其中（单位：元）表示开始卖时的服装价格，J（单位：元）表示经过一定时间t（单位：天）后的价格，（单位：元）表示波动价格，h（单位：天）表示波动周期．
某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的价格为每件120元，波动价格为每件20元，服装价格降到70元每件时需要10天时间．
（1）求h的值；
（2）求服装价格降到60元每件时需要的天数．（结果精确到整数）
参考数据：
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，画出的图象并写出其单调增区间；
（2）是否存在实数a，使函数为偶函数？若存在求出a的值，若不存在请说明理由；
（3）当时，若，使，求实数a的取值范围．
人大附中深圳学校2023-2024学年第一学期期中考试
参考答案
一、单选题
1-8 AACABADC
二、多选题
9．BC 10．AD 11．BCD 12．BC
三、填空题
13．9 14． 15． 16．①②
四、解答题
17．（1）由，得或，所以，所以；
（2）若，
当时，得；
当时，得；
则需，解得，
故实数m的取值范围为．
18．（1）由题意得，对任意的成立，
即对任意的成立，
①当时，，显然不符合题意；
②当时，只需，即，
化简得，解得，
综上所述，．
（2）由得，
即，
①当时，，解集为；
②当时，，解集为；
③当时，，解集为．
19．（1）证明：在上任意取，，且，则，
．
∵，∴，又∵时，，∴
即，有定义可知函数在上为单调递减函数．
（2）由于
∵，可得
∴，所以，故实数x的取值范围为．
20．（1）∵函数是定义域为的奇函数，
∴，解得． 2分
经检验，当时，函数为奇函数，即所求实数a的值为． 1分
，所以是上的减函数． 4分
（2）由，可得．
∵是上的奇函数，∴，
又是上的减函数，
所以对恒成立， 8分
令，∵，∴，
∴对恒成立， 10分
思路一：（转化为二次函数区间上的最大值）
令，，该函数开口朝上，故或取得最大值
∴，解得，所以实数m的取值范围为 12分
思路二：（分离变量）即对恒成立，
设，则在区间上单减，在区间上单增
所以
所以，故实数m的取值范围为．
21．（1）在中，，，，，
则有，整理得，即，解得，
所以h的值为10． 4分
（2）由（1）知，，
当时，，即有，
取常用对数得：， 8分
解得，而，则．
所以服装价格降到60元每件时需要14天． 12分
22．（1）图略，
当时，
所以的单调递增区间为和 4分
（2）不存在
若函数是偶函数，则有
即，又即，
化简为，方程无实数解．
所以，不存在实数a使得函数是偶函数． 6分
（2），使
所以
即 8分
当时，，对称轴
（ⅰ）当即时，
所以
所以或
因为，所以 10分
（ⅱ）当即时，
所以，解得
因为，所以
综上所述：a的取值范围是 12分