广东省深圳市深圳第二外国语学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省深圳市深圳第二外国语学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共12页。
考试时长：120分钟 满分：150分
第I卷
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 已知集合，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集知识来求得正确答案.
【详解】依题意，.
故选：C
2. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据根式和分式性质，列不等式即可求解.
【详解】的定义域需满足，解得且，
故定义域为，
故选：C
3. 若幂函数的图象经过点，则的值是（ ）
A. B. C. D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】设，由已知条件可得，求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.
【详解】设，则，可得，故，因此，.
故选：A.
4. 已知函数，则的值等于（ ）
A. 2B. 5C. 11D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，求出的值，代入解析式中可得结果．
【详解】令，求出，则.
故选：B
5. 已知函数，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，进而可得出答案.
【详解】由，得，
所以.
故选：A.
6. 下列四个命题中为真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的知识对选项进行分析，从而确定正确答案
【详解】A选项，由得，不是整数，所以A选项错误.
B选项，由得，不是整数，所以A选项错误.
C选项，或时，，所以C选项错误.
D选项，由于，所以D选项正确.
故选：D
7. 已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据以及可求出结果.
【详解】因为函数为R上的奇函数，当时，，
所以．
而，∴．
故选：C．
8. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系，得出与的关系式，再利用基本不等式求的最小值．
【详解】因为是不等式的解集，
所以是方程的两个实数根且，
所以，，
所以，且，；
所以，
当且仅当时“”成立；
所以的最小值为．
故选：A．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用特殊值以及不等式的性质来确定正确答案.
【详解】A选项，，所以A选项错误.
B选项，若，则，则，所以B选项正确.
C选项，若，则，所以C选项正确.
D选项，若，则，所以，所以D选项正确.
故选：BCD
10. 若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值9B. 的最小值是
C. ab有最大值D. 最小值是
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据基本不等式求最值后判断．
【详解】，当且仅当时等号成立，A对；
，当且仅当即时等号成立，B对；
，则，当且仅当即时等号成立，C对；
由，则，而，
所以，当且仅当时等号成立，D错.
故选：ABC
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 在上是减函数
C. 是偶函数D. 的值域是
【答案】AD
【解析】
【分析】利用奇偶性的定义判断可选项A，C，由函数单调性的结论可判断选项B，由函数单调性求出的取值范围，结合定义可得的值域可判断选项D．
【详解】对于选项A：因为函数，，
可得，
所以函数为奇函数，故A正确；
对于选项B：因为、在R上是增函数，
所以在R上是增函数，故B错误；
对于选项C：因为，
则，，
即，所以函数不是偶函数，故C错误；
对于选项D：因为，则，
可得，所以的值域为，故D正确．
故选：AD．
第II卷
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数且，则函数的图象恒过定点的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数型函数的定点的求法求得正确答案.
【详解】由于，所以定点坐标为.
故答案为：
13. 求值：__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用指数幕的运算性质直接求解即可．
【详解】.
故答案为：##.
14. 已知函数，若，则__________，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是__________.
【答案】 ①. 7 ②.
【解析】
【分析】根据条件可得，两边平方整理可得，即.利用换元法，结合分离参数，问题转化成在能成立，求实数的取值范围.
【详解】，故，所以.，即，
设在上单调递减，在上单调递增，
故，故，故，
不等式在区间上有解，即在区间上有解，
函数在上单调递减，在上单调递增，，故.
故答案为：7；.
【点睛】关键点点睛：应用换元法解决问题时，一定要注意新元的取值范围.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，全集.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入再由集合的交、补运算即可求解；
（2）由“”是“”的充分条件，得，再利用集合的包含关系即可求解.
小问1详解】
当时，集合
或，或 ；
【小问2详解】
由“”是“”的充分条件，得，
因为，所以
则由，得且，解得，
所以实数的取值范围是.
16. 已知函数，满足
（1）求函数的解析式；
（2）求不等式的解集；
（3）对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）将已知条件代入求出即可求解；
（2）由（1）可知，则解不等式即可求解；
（3）将不等式转化为恒成立，因为开口向上，根据即可求解.
【小问1详解】
由函数，满足，
，解得，
故函数的解析式为：.
【小问2详解】
由（1）知，即不等式转化为，
则，
所以不等式的解集或.
【小问3详解】
不等式转化为恒成立，
因为开口向上，
可得，解之可得，
所以实数的取值范围是.
17. 某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元.公司拟投入万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.
【答案】（1）40元 （2）10.2万件，30元
【解析】
【分析】（1）设每件定价为元，求出原销售收入和新销售收入后列不等式求解；
（2）列出不等关系，分离参数得，从而利用基本不等式即可得解.
【小问1详解】
依题意，设每件定价为元，得，
整理得，解得.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.
【小问2详解】
依题意知当时，不等式有解，
等价于时，有解，
由于，当且仅当，即时等号成立，
所以，
当该商品改革后销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，
此时该商品的每件定价为30元.
18. 已知函数，．
（1）若过点，求解析式；
（2）若．
（ⅰ）当函数不单调，求a的取值范围；
（ⅱ）当函数的最小值是关于a的函数，求表达式
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）根据题意，将点代入函数的解析式，求得，即可求解；
（2）（ⅰ）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解；
（ⅱ）由（ⅰ）知，对称轴为，结合二次函数性质，分，和，三种情况讨论，即可求解.
【小问1详解】
因为函数过点，
将点代入函数的解析式，可得，解得，
所以函数解析式为.
【小问2详解】
（ⅰ）由函数，
可得其图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为，
要使得函数不单调，可得，解得，
所以实数a的取值范围；
（ⅱ）由（ⅰ）知，函数的图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为，
当时，即时，在单调递增，所以；
当时，即时，在单调递减，在单调递增，
所以；
当时，即时，在单调递减，所以，
所以表达式为
19. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；
（3），使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）2 （2）增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用“奇函数在原点上有定义，则”即可求解.
（2）根据单调性定义即可证明.
（3）先将不等式化为，再利用换元法结合函数单调性求出的最小值即可得解.
【小问1详解】
因为，,定义域关于原点对称，
令，所以，故，
则，，
所以为定义在上的奇函数，故.
【小问2详解】
是上的增函数.
证明：任取，且，
，
所以，所以，，，
所以， ，
所以，即，
所以是上的增函数.
【小问3详解】
当时，不等式即，
故，
则令，由题意可知，，
因为函数，为上的增函数，
故在上单调递增，
故，
所以.