2024届广东省深圳市人大附中深圳学校高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届广东省深圳市人大附中深圳学校高三上学期10月月考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据并集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，则.
故选：B.
2．已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据已知列式解出，即可根据复数的运算得出答案.
【详解】复数是纯虚数，
，且，故，
.
故复数在复平面内对应的点在第一象限，
故选：A.
3．若向量，则“”是“向量的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量的夹角为钝角求出m的范围，即可判断“”和“向量的夹角为钝角”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】向量，由向量的夹角为钝角，
即有，解得且，
即“”不能推出“且”即“向量的夹角为钝角”；
“向量的夹角为钝角”即“且”能推出“”；
故“”是“且”的必要不充分条件，
即“”是“向量的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选：B．
4．设等差数列的公差为，前项和为，若，且，则（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】A
【分析】利用等差数列的通项公式与前项和的定义，即可求出公差的值.
【详解】解：等差数列中，
，
所以；
又，所以；
所以，解得.
故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前项和的定义应用问题，是基础题.
5．已知某种垃圾的分解率为，与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：）
A．48个月B．52个月C．64个月D．120个月
【答案】B
【分析】根据已知条件，利用待定系数法求出函数关系式，然后再代入数值计算即可.
【详解】由题意可得，解得，
所以，
这种垃圾完全分解，即当时，有，即，
解得.
故选：B
6．已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数图象可知，是函数的两个零点，即可得，利用已知条件即可确定的值.
【详解】根据图象可知，函数的图象是由向右平移个单位得到的；
由图可知，利用整体代换可得，
所以，若为已知，则可求得.
故选：B
7．已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
8．已知函数，当时，恒成立，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】不等式不恒成立，确定此时，恒成立，着重考虑的情形，
不等式变形为，再变形为，因此引入函数，利用导数证明它在上是增函数，不等式又变形为，，又引入函数，由导数求得其最大值即得的范围．
【详解】由题意，若显然不是恒大于零，故.（由4个选项也是显然可得）
，则在上恒成立；
当时，等价于，
令在上单调递增.
因为，所以，即,
再设，令，
时，，时，，在上单调递增，在上单调递减，
从而，所以.
故选：D．
【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题，解题关键是问题的化简与转化，首先确定，其次确定恒成立，在时，把不等式变形，通过新函数的单调性逐步转化，最终分离参数转化为求函数的最值．
二、多选题
9．以下说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据诱导公式判断ABC，根据两角和的正切公式判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：ACD
10．设，，是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则或B．若且，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据复数的运算，共轭复数的概念，和复数模的性质逐项判断即可.
【详解】对于A：，则，则或，
即或，故A正确；
对于B：，，且，
所以，，故B正确；
对于C：设，则，
，，故C正确；
对于D，取，，则，但，，
则，故D错误．
故选：ABC
11．已知函数的部分图象如图所示，其中，且的面积为，则下列函数值恰好等于的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据题意得到，根据条件可以求出，所以，根据选项求值判断即可.
【详解】根据题意得，，因为，所以，即，所以，又的面积为2，所以，
所以，所以，所以，解得（舍去），.
所以，即.
所以，故A正确；
所以，故B不正确；
所以，故C正确；
所以，故D不正确.
故选：AC.
12．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心D．方程仅有个实数解
【答案】CD
【分析】根据和的奇偶性可推导得到，，
由可知A错误；推导可得，知C正确；作出图象，结合图象知B错误；将解的个数转化为与的交点个数，结合图象可知D正确.
【详解】为奇函数，，即，
关于点对称；
为偶函数，，即，
关于对称；
由，得：，
，即是周期为的周期函数；
对于A，，A错误；
对于C，，即，
关于点成中心对称，C正确；
对于BD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，

由图象可知：在上单调递增，B错误；
方程的解的个数，等价于与的交点个数，
，，
结合图象可知：与共有个交点，即有个实数解，D正确.
故选：CD.
三、填空题
13．已知单位向量，的夹角是，向量，若，则实数 .
【答案】
【分析】根据题设知，又单位向量，的夹角是，即可得方程求值
【详解】由向量，，知：
∴，而单位向量，的夹角是
∴，解得
故答案为：
【点睛】本题考查了利用向量垂直及向量数量积公式求参数值，注意单位向量的模为1，属于简单题
14．在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，则c= .
【答案】5
【详解】由正弦定理，
得：，
由余弦定理：
，或.
当时,
则，而，矛盾舍去 ，
故.
故答案为：5.
15．若函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，若对满足的，，有的最小值为，则 ．
【答案】
【分析】先求解的解析式，根据可知一个取得最大值一个取得最小值，结合三角函数的性质和的最小值为，即可求解的值；
【详解】由函数的图像向右平移，可得
由可知一个取得最大值一个取得最小值，
不妨设取得最大值，取得最小值，
，，．
可得，
所以，
的最小值为，
，得，
故答案为：.
四、双空题
16．将正奇数按如下所示的规律排列：
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
…
则数字2023的位置为第 行，从左向右第 个数.
【答案】 32 51
【分析】运用等差数列求和公式计算及推理即可求得结果.
【详解】根据排列规律可知，第一行有1个奇数，第二行有3个奇数，第三行有5个奇数，…，第n行有个奇数，
则前n行总共有个奇数.
由1、3、5、7、9、…可知，第n个奇数为，
所以2023是第1012个奇数，
又因为，，第961个奇数为，
所以第32行的第一个数字是，
所以2023的位置为第32行，从左向右第51个数.
故答案为：32；51.
五、解答题
17．已知递增等差数列，等比数列，数列，，，、、成等比数列，，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）（）
【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及可求出，由题意利用等比数列的通项公式可求出，从而求出、的通项公式.
（2）利用分组求和以及等差数列、等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】（1）由已知，，.
解为或0（舍），
，，，解，
（2）

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前项和公式以及等比数列的通项公式、前项和公式，分组求和法，属于基础题.
18．已知函数.
（1）若与在处相切，试求的表达式；
（2）若在上是减函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出函数的导数，得到，求出a的值即可；根据g（1）=0，求出b的值，从而求出g(x)的表达式；
（2）求出φ′(x)，问题转化为则，x∈[1，+∞)，求出m的范围即可.
【详解】解：（1）由已知得.
又
（2）在上是减函数，
在，上恒成立.
即在上恒成立，则，
，．
19．已知，设函数．
(1)若，求函数f（x）的单调递增区间；
(2)试讨论函数f（x）在[－a，2a]上的值域．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题设写出的分段函数形式，结合余弦函数的性质分别求出不同分段上的递增区间.
（2）由题设可得且，由正弦函数的性质，讨论端点的位置并求出对应的值域范围.
【详解】（1）由题设，，
所以，根据余弦函数的性质：
当时，在上递增；
当时，在上递增；
（2）由题设，，则，又，即，
所以，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
20．已知为锐角三角形，且．
(1)若，求；
(2)已知点在边上，且，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等变换可得，再利用三角函数的性质结合条件即得；
（2）利用正弦定理结合条件可得，然后根据条件及三角函数的性质即可求得其范围.
【详解】（1）因为，
所以，即，
又，，
所以，
所以，即，又，，
所以，即；
（2）因为，所以，又，
可得，
在中，，
所以，
在中，，
因为为锐角三角形，
所以，得，
所以，
所以，即的取值范围为.
21．已知数列的前项和为，满足．数列满足，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)是否存在正整数使成等差数列，若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据题意，由与的关系，即可得到数列的通项公式，将
，两边同时除，即可求得数列的通项公式；
（2）根据题意，先假设存在，然后分为偶数，为奇数讨论，即可证明不存在；
【详解】（1）当时，，所以，
当时，，且，两式相减可得，
所以数列是以为首项，公比的等比数列，则；
由，两边同时除，可得，
所以数列是以为首项，公差的等差数列，即，
所以.
（2）假设存在正整数，使得成等差数列，
则，即，
若为偶数，则为奇数，而为偶数，则上式不成立；
若为奇数，设,
则，
于是，即，
当时，，此时与矛盾；
当时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立.
综上所述，满足条件的实数对不存在.
22．已知函数，，．
(1)若在上单调递增，求a的最大值；
(2)当a取（1）中所求的最大值时，讨论在R上的零点个数，并证明．
【答案】(1)1；
(2)2个，证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，转化为导函数在上恒成立，再求导求其最小值即可；
（2）利用导数分析函数在上的单调性，根据两点的存在性定理可确定出2个零点，再由导数求出函数的最小值，求出最小值的范围即可得证.
【详解】（1）由题意可知，在上恒成立，
因为，所以单调递增，
所以，解得a≤1，所以a的最大值为1.
（2）易知a=1，所以,
当x≤0时，，所以g(x)单调递减，
当x>0时，，则，所以单调递增,
因为，所以存在，使得，
在上单调递减，在上单调递增，
又，所以,
因为，所以存在，使得，
所以有两个零点，
又因为，
所以，
因为，
所以，
故成立.
【点睛】关键点点睛：求函数零点时，注意利用导数研究出函数的单调性后，根据零点存在性定理可确定出函数的隐零点，求最小值时，要注意对隐零点的使用，才能化简求值，属于难题.