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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案，共20页。
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x2-x12+y2-y12.
(2)两点间距离的特殊情况
①原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝x2+y2.
②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|．
③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|．
两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝x1-x22+y1-y22的形式？
提示：可以，原因是x2-x12+y2-y12＝x1-x22+y1-y22，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．
已知点P1(4，2)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________．
25 [|P1P2|＝4-22+2+22＝20＝25．]
类型1 求两点间的距离
【例1】 (源自北师大版教材)如图所示，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)．
(1)试判断△ABC的形状；
(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．
[解] (1)根据两点间的距离公式，得
|AB|＝1-42+2-32＝10，
|BC|＝3-12+-4-22＝210，
|CA|＝4-32+3--42＝52.
因为(10)2＋(210)2＝(52)2，
即|AB|2＋|BC|2＝|CA|2，
所以△ABC是直角三角形．
(2)因为BC的中点D的横坐标x＝1+32＝2，纵坐标y＝2+-42＝－1，
所以BC边上中线的长|AD|＝2-42+-1-32＝25.
计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝x2-x12+y2-y12.
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
[跟进训练]
1．(1)已知点A(－3，4)，B(2，3)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
(2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．
[解] (1)设点P的坐标为(x，0)，则有
|PA|＝x+32+0-42＝x2+6x+25，
|PB|＝x-22+0-32＝x2-4x+7.
由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，
解得x＝－95.
故所求点P的坐标为-95，0.
|PA|＝-95+32+0-42＝21095.
(2)法一：∵|AB|＝3+32+-3-12＝213，
|AC|＝1+32+7-12＝213，
又|BC|＝1-32+7+32＝226，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：∵kAC＝7-11--3＝32，
kAB＝-3-13--3＝－23，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB．
又|AC|＝1+32+7-12＝213，
|AB|＝3+32+-3-12＝213，
∴|AC|＝|AB|.
∴△ABC是等腰直角三角形．
类型2 坐标法的应用
【例2】 如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝AD2＋|BD|·|DC|.
[思路导引] 建立适当的坐标系→写出相关点的坐标→利用两点间的距离公式求距离→证明．
[证明] 如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
设A(0，a)，B(－b，0)，
C(b，0)，D(m，0)(－b则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，
|AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2，
|BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)·(b－m)＝b2－m2，∴|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2，
∴|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.
坐标法及其应用
(1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：
①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；
②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．
(2)利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
①建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
②用坐标表示有关的量；
③将几何关系转化为坐标运算；
④把代数运算结果“翻译”成几何关系．
[跟进训练]
2．已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．
求证：|AC|＝|BD|.
[证明] 如图所示，建立直角坐标系，
设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．
∴|AC|＝b-02+c-02＝b2+c2，
|BD|＝a-b-a2+c-02＝b2+c2.
故|AC|＝|BD|.
类型3 对称问题
光的反射问题
【例3】 一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．
[解] 如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，
由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
ba·-43=-1， 8×a2+6×b2=25，解得a=4，b=3，
∴A的坐标为(4，3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4，3)，
又由反射光线过P(－4，3)，A，P两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线的方程为y＝3.
联立y=3， 8x+6y=25，解得x=78，y=3，即交点Q78，3，
由于反射光线为射线，
故反射光线的方程为y＝3x≤78.
由光的性质可知，
光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，
由A(4，3)，P(－4，3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
即光线从O点到达P点所走过的路程为8.
1．对称问题的解决方法
(1)点关于点对称：点关于点的对称问题是最基本的对称问题，用中点坐标公式求解．点M(a，b)关于点(x0，y0)的对称点为M′(2x0－a，2y0－b)；
(2)直线关于点对称：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再用两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用直线平行，由点斜式得所求直线方程；
(3)点关于直线对称：点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由
y2-y1x2-x1·-AB=-1B≠0，A·x1+x22+B·y1+y22+C=0求出；
(4)直线关于直线对称：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的求法：转化为点关于直线对称，在直线l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点式求出直线l2的方程．
2．根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解．
[跟进训练]
3．(2022·潍坊市期末)如图所示，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是( )
A．210 B．6 C．33 D．25
A [由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.
如图所示，点P关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，连接MD，NC，
易知|PM|＝|MD|，
|PN|＝|NC|，所以|PM|＋|MN|＋|NP|＝|MD|＋|MN|＋|NC|＝|CD|，
故光线所经过的路程为|CD|＝210．]
利用对称解决有关最值问题
【例4】 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：
(1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大；
(2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小．
[解] (1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，
即b-4a×1＝－1，
∴a＋b－4＝0，①
∵BB′的中点a2，b+42在直线l上，
∴a2－b+42－1＝0，即a－b－6＝0.②
由①②得a=5，b=-1，∴点B′的坐标为(5，－1)．
于是AB′所在直线的方程为y-1-1-1＝x-45-4，
即2x＋y－9＝0.
易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大．
∴联立直线l与AB′的方程，解得x＝103，y＝73，
即l与AB′的交点坐标为103，73.
故点P的坐标为103，73.
(2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1，2)，
∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0.
易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，
当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小．
∴联立直线AC′与l的方程，解得x＝52，y＝32，
即AC′与l的交点坐标为52，32.
故点Q的坐标为52，32.
利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
[跟进训练]
4．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3，4)，则|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是( )
A．10 B．11 C．12 D．13
A [如图，设点M(3，4)关于y轴的对称点为P(－3，4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)，
则|MB|＝|PB|，|MA|＝|AQ|.
当A与B重合于坐标原点O时，
|MA|＋|AB|＋|BM|＝|PO|＋|OQ|＝|PQ|＝3--32+-4-42＝10；
当A与B不重合时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|AQ|＋|AB|＋|PB|>|PQ|＝10.
综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|取得最小值，最小值为10．]
1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5
C．1或－5 D．－1或5
C [∵|AB|＝a+22+3+12＝5，
∴a2＋4a－5＝0，
解得a＝1或－5，故选C．]
2．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为( )
A．26 B．65
C．29 D．13
A [AB的中点D的坐标为D(－1，－1)，
∴|CD|＝-1-42+-1+22＝26．]
3．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则ACCB的值为( )
A．13 B．12 C．3 D．2
D [由两点间的距离公式，得
|AC|＝3--12+4-02＝42，
|CB|＝3-52+4-62＝22，
故ACCB＝4222＝2．]
4．已知点A(4，12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为________．
(－1，0)或(9，0) [设点P的坐标为(a，0)，
则|PA|＝a-42+122＝13，
即a2－8a－9＝0，解得a＝－1或9，
∴点P的坐标为(－1，0)或(9，0)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出两点间的距离公式．
提示：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式|P1P2|＝x2-x12+y2-y12.
2．试写出利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤．
提示：(1)建立坐标系，用坐标表示有关的量．
(2)进行有关代数运算．
(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
3．常见的对称问题有哪些？
提示：(1)点关于点对称；
(2)直线关于点对称；
(3)点关于直线对称；
(4)直线关于直线对称．
课时分层作业(十七) 两点间的距离公式
一、选择题
1．已知三角形的三个顶点A(2，4)，B(3，－6)，C(5，2)，则过点A的中线长为( )
A．10 B．210
C．112 D．310
B [设BC的中点为D，
由B(3，－6)，C(5，2)，得D的坐标为(4，－2)，
则|AD|＝4-22+-2-42＝210.
故选B．]
2．在直线2x－3y＋5＝0上求一点P，使点P到点A(2，3)的距离为13，则点P的坐标是( )
A．(5，5) B．(－1，1)
C．(5，5)或(－1，1) D．(5，5)或(1，－1)
C [设点P(x，y)，则y＝2x+53.由|PA|＝13，得(x－2)2＋2x+53-32＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5.当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，∴P(－1，1)或(5，5)，故选C．]
3．(多选)对于x2+2x+5，下列说法正确的是( )
A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离
B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离
C．可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离
D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离
BCD [由题意，可得x2+2x+5＝x+12+4＝x+12+0±22＝x+12+-1-12，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故选项A不正确，故选BCD．]
4．光线从点A(－4，－2)射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)，则BC所在的直线方程为( )
A．3x－10y＋8＝0 B．10x－3y＋8＝0
C．3x＋10y－8＝0 D．10x＋3y－8＝0
B [设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1，6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与点C．故BC所在的直线方程为y-6-4-6＝x-1-2-1，
即10x－3y＋8＝0.故选B．]
5．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是( )
A．23 B．3＋23
C．6＋32 D．6＋10
C [由两点间的距离公式及题意得
|AB|＝2+12+3-02＝32，
|BC|＝-1-22+0-02＝3，
|CA|＝2-22+3-02＝3.
从而△ABC的周长为32＋3＋3＝32＋6.故选C．]
二、填空题
6．点P在直线2x－y＝0上，若M(4，－2)且|PM|＝5，则点P的坐标为________．
(1，2)或(－1，－2) [设P(x，2x)，由两点间距离公式得x-42+2x+22＝5，解得x＝1或－1，
故P(1，2)或(－1，－2)．]
7．点P在直线l：x－y＋4＝0上，且到点M(－2，－4)，N(4，6)的距离相等，则点P的坐标为________；经过点P且垂直于l的直线方程为________．
-32，52 x＋y－1＝0 [设P点的坐标是(a，a＋4)，
由题意可知|PM|＝|PN|，
即a+22+a+4+42
＝a-42+a+4-62，
解得a＝－32，
故P点的坐标是-32，52.
所以经过点P且垂直于l的直线方程为y－52＝－(x+32)，即x＋y－1＝0．]
8．f (x)＝x2+2x+2＋x2-4x+8的最小值为________．
32 [x2+2x+2＝x+12+1
＝x--12+0-12，
x2-4x+8＝x-22+4
＝x-22+0+22，
如图所示，设点A(x，0)，B(－1，1)，C(2，－2)，要求f (x)的最小值，即求|AB|＋|AC|的最小值．
由于|AB|＋|AC|≥|BC|，当A，B，C三点共线时，等号成立，且|BC|＝-1-22+1+22＝32，
故f (x)的最小值为32．]
三、解答题
9．已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程．
[解] (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即y'+52=3×x'+42+3，y'-5x'-4×3=-1，
解得x'=-2，y'=7. ∴P′点坐标为(－2，7)．
(2)解方程组y=3x+3，y=x-2，
得x=-52，y=-92，
则点-52，-92在所求直线上．
在直线y＝x－2上任取一点M(2，0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
则y02=3×x0+22+3，y0x0-2×3=-1， 解得x0=-175 ，y0=95.
点M′-175，95也在所求直线上．
由两点式得直线方程为y+9295+92＝x+52-175+52，
化简得7x＋y＋22＝0，
即为所求直线方程．
(3)在直线l上取两点E(0，3)，F(－1，0)，
则E，F关于点A(3，2)的对称点分别为
E′(6，1)，F′(7，4)．
因为点E′，F′在所求直线上，
所以由两点式得所求直线方程为y-14-1＝x-67-6，
即3x－y－17＝0.
10．一束光线从点A(1，0)处射到y轴上一点B(0，2)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是( )
A．x＋2y－2＝0 B．2x－y＋2＝0
C．x－2y＋2＝0 D．2x＋y－2＝0
B [点A(1，0)关于y轴的对称点A′(－1，0)在反射光线所在的直线上，因此反射光线所在直线的截距式方程为x-1＋y2＝1，即2x－y＋2＝0，故选B．]
11．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于2的点的坐标是( )
A．(－4，5) B．(－3，4)
C．(－1，2) D．(0，1)
BC [设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，
且x0+22+y0-32＝2，
两式联立解得x0=-3，y0=4 或x0=-1，y0=2. ]
12．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x-a2+y-b2可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f (x)＝x2+4x+20＋x2+2x+10的最小值为( )
A．25 B．52 C．4 D．8
B [∵f (x)＝x2+4x+20＋x2+2x+10
＝x+22+0-42＋x+12+0-32，
∴f (x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和，
设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A′，
则A′(－2，－4)．要求f (x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值，
利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝-1+22+3+42＝52，当且仅当A′，M，B三点共线时等号成立，
即f (x)＝x2+4x+20＋x2+2x+10的最小值为52．]
13．若函数y＝xx2+1的图象上存在两点P，Q关于点(1，0)对称，则直线PQ的方程是________．
x－4y－1＝0 [根据题意，设Pp，pp2+1，Qq，qq2+1，
又线段PQ的中点是(1，0)，
所以p+q2=1， pp2+1+qq2+1=0，整理得p+q=2，p·q=-1，
所以p，q为方程x2－2x－1＝0的根，
解得x＝1±2，
所以P1+2，24，Q1-2，-24
或P1-2，-24，Q1+2，24.
由两点式得直线PQ的方程为x－4y－1＝0．]
14．如图所示，已知BD是△ABC边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－12|AC|2＝2|BD|2.
[证明] 如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系．
设B(b，c)，C(a，0)，依题意得A(－a，0)．
|AB|2＋|BC|2－12|AC|2＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－12(2a)2＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，
2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，
所以|AB|2＋|BC|2－12|AC|2＝2|BD|2.
15．(2022·江苏连云港期中)若不等式x2+y2＋x-62+y-82＋x-32+y2＋x-32+y-82≥m对任意的实数x，y恒成立，则m的最大值是__________，此时x＋y＝__________．
18 7 [设坐标原点为O，建立如图所示的平面直角坐标系．
设P(x，y)，A(6，8)，B(3，0)，C(3，8)，则四边形ACOB为平行四边形，
则x2+y2＋x-62+y-82＋x-32+y2＋x-32+y-82＝|OP|＋|PA|＋|PB|＋|PC|，而|OP|＋|PA|＋|PB|＋|PC|≥|AO|＋|BC|＝10＋8＝18，当且仅当P为平行四边形ACOB的对角线的交点E时等号成立，此时P(3，4)．
故|OP|＋|PA|＋|PB|＋|PC|的最小值为18.
因为不等式x2+y2＋x-62+y-82＋x-32+y2＋x-32+y-82≥m对任意的实数x，y恒成立，所以m≤18，即m的最大值为18，此时x＝3，y＝4，所以x＋y＝7．]
学习
任务
1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(数学抽象)
2．会用坐标法证明简单的平面几何问题．(逻辑推理)
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x2-x12+y2-y12.
(2)两点间距离的特殊情况
①原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝x2+y2.
②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|．
③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|．
两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝x1-x22+y1-y22的形式？
提示：可以，原因是x2-x12+y2-y12＝x1-x22+y1-y22，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．
已知点P1(4，2)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________．
25 [|P1P2|＝4-22+2+22＝20＝25．]
类型1 求两点间的距离
【例1】 (源自北师大版教材)如图所示，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)．
(1)试判断△ABC的形状；
(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．
[解] (1)根据两点间的距离公式，得
|AB|＝1-42+2-32＝10，
|BC|＝3-12+-4-22＝210，
|CA|＝4-32+3--42＝52.
因为(10)2＋(210)2＝(52)2，
即|AB|2＋|BC|2＝|CA|2，
所以△ABC是直角三角形．
(2)因为BC的中点D的横坐标x＝1+32＝2，纵坐标y＝2+-42＝－1，
所以BC边上中线的长|AD|＝2-42+-1-32＝25.
计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝x2-x12+y2-y12.
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
[跟进训练]
1．(1)已知点A(－3，4)，B(2，3)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
(2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．
[解] (1)设点P的坐标为(x，0)，则有
|PA|＝x+32+0-42＝x2+6x+25，
|PB|＝x-22+0-32＝x2-4x+7.
由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，
解得x＝－95.
故所求点P的坐标为-95，0.
|PA|＝-95+32+0-42＝21095.
(2)法一：∵|AB|＝3+32+-3-12＝213，
|AC|＝1+32+7-12＝213，
又|BC|＝1-32+7+32＝226，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：∵kAC＝7-11--3＝32，
kAB＝-3-13--3＝－23，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB．
又|AC|＝1+32+7-12＝213，
|AB|＝3+32+-3-12＝213，
∴|AC|＝|AB|.
∴△ABC是等腰直角三角形．
类型2 坐标法的应用
【例2】 如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝AD2＋|BD|·|DC|.
[思路导引] 建立适当的坐标系→写出相关点的坐标→利用两点间的距离公式求距离→证明．
[证明] 如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
设A(0，a)，B(－b，0)，
C(b，0)，D(m，0)(－b
|AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2，
|BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)·(b－m)＝b2－m2，∴|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2，
∴|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.
坐标法及其应用
(1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：
①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；
②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．
(2)利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
①建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
②用坐标表示有关的量；
③将几何关系转化为坐标运算；
④把代数运算结果“翻译”成几何关系．
[跟进训练]
2．已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．
求证：|AC|＝|BD|.
[证明] 如图所示，建立直角坐标系，
设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．
∴|AC|＝b-02+c-02＝b2+c2，
|BD|＝a-b-a2+c-02＝b2+c2.
故|AC|＝|BD|.
类型3 对称问题
光的反射问题
【例3】 一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．
[解] 如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，
由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
ba·-43=-1， 8×a2+6×b2=25，解得a=4，b=3，
∴A的坐标为(4，3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4，3)，
又由反射光线过P(－4，3)，A，P两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线的方程为y＝3.
联立y=3， 8x+6y=25，解得x=78，y=3，即交点Q78，3，
由于反射光线为射线，
故反射光线的方程为y＝3x≤78.
由光的性质可知，
光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，
由A(4，3)，P(－4，3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
即光线从O点到达P点所走过的路程为8.
1．对称问题的解决方法
(1)点关于点对称：点关于点的对称问题是最基本的对称问题，用中点坐标公式求解．点M(a，b)关于点(x0，y0)的对称点为M′(2x0－a，2y0－b)；
(2)直线关于点对称：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再用两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用直线平行，由点斜式得所求直线方程；
(3)点关于直线对称：点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由
y2-y1x2-x1·-AB=-1B≠0，A·x1+x22+B·y1+y22+C=0求出；
(4)直线关于直线对称：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的求法：转化为点关于直线对称，在直线l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点式求出直线l2的方程．
2．根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解．
[跟进训练]
3．(2022·潍坊市期末)如图所示，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是( )
A．210 B．6 C．33 D．25
A [由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.
如图所示，点P关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，连接MD，NC，
易知|PM|＝|MD|，
|PN|＝|NC|，所以|PM|＋|MN|＋|NP|＝|MD|＋|MN|＋|NC|＝|CD|，
故光线所经过的路程为|CD|＝210．]
利用对称解决有关最值问题
【例4】 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：
(1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大；
(2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小．
[解] (1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，
即b-4a×1＝－1，
∴a＋b－4＝0，①
∵BB′的中点a2，b+42在直线l上，
∴a2－b+42－1＝0，即a－b－6＝0.②
由①②得a=5，b=-1，∴点B′的坐标为(5，－1)．
于是AB′所在直线的方程为y-1-1-1＝x-45-4，
即2x＋y－9＝0.
易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大．
∴联立直线l与AB′的方程，解得x＝103，y＝73，
即l与AB′的交点坐标为103，73.
故点P的坐标为103，73.
(2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1，2)，
∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0.
易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，
当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小．
∴联立直线AC′与l的方程，解得x＝52，y＝32，
即AC′与l的交点坐标为52，32.
故点Q的坐标为52，32.
利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
[跟进训练]
4．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3，4)，则|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是( )
A．10 B．11 C．12 D．13
A [如图，设点M(3，4)关于y轴的对称点为P(－3，4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)，
则|MB|＝|PB|，|MA|＝|AQ|.
当A与B重合于坐标原点O时，
|MA|＋|AB|＋|BM|＝|PO|＋|OQ|＝|PQ|＝3--32+-4-42＝10；
当A与B不重合时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|AQ|＋|AB|＋|PB|>|PQ|＝10.
综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|取得最小值，最小值为10．]
1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5
C．1或－5 D．－1或5
C [∵|AB|＝a+22+3+12＝5，
∴a2＋4a－5＝0，
解得a＝1或－5，故选C．]
2．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为( )
A．26 B．65
C．29 D．13
A [AB的中点D的坐标为D(－1，－1)，
∴|CD|＝-1-42+-1+22＝26．]
3．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则ACCB的值为( )
A．13 B．12 C．3 D．2
D [由两点间的距离公式，得
|AC|＝3--12+4-02＝42，
|CB|＝3-52+4-62＝22，
故ACCB＝4222＝2．]
4．已知点A(4，12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为________．
(－1，0)或(9，0) [设点P的坐标为(a，0)，
则|PA|＝a-42+122＝13，
即a2－8a－9＝0，解得a＝－1或9，
∴点P的坐标为(－1，0)或(9，0)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出两点间的距离公式．
提示：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式|P1P2|＝x2-x12+y2-y12.
2．试写出利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤．
提示：(1)建立坐标系，用坐标表示有关的量．
(2)进行有关代数运算．
(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
3．常见的对称问题有哪些？
提示：(1)点关于点对称；
(2)直线关于点对称；
(3)点关于直线对称；
(4)直线关于直线对称．
课时分层作业(十七) 两点间的距离公式
一、选择题
1．已知三角形的三个顶点A(2，4)，B(3，－6)，C(5，2)，则过点A的中线长为( )
A．10 B．210
C．112 D．310
B [设BC的中点为D，
由B(3，－6)，C(5，2)，得D的坐标为(4，－2)，
则|AD|＝4-22+-2-42＝210.
故选B．]
2．在直线2x－3y＋5＝0上求一点P，使点P到点A(2，3)的距离为13，则点P的坐标是( )
A．(5，5) B．(－1，1)
C．(5，5)或(－1，1) D．(5，5)或(1，－1)
C [设点P(x，y)，则y＝2x+53.由|PA|＝13，得(x－2)2＋2x+53-32＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5.当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，∴P(－1，1)或(5，5)，故选C．]
3．(多选)对于x2+2x+5，下列说法正确的是( )
A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离
B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离
C．可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离
D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离
BCD [由题意，可得x2+2x+5＝x+12+4＝x+12+0±22＝x+12+-1-12，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故选项A不正确，故选BCD．]
4．光线从点A(－4，－2)射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)，则BC所在的直线方程为( )
A．3x－10y＋8＝0 B．10x－3y＋8＝0
C．3x＋10y－8＝0 D．10x＋3y－8＝0
B [设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1，6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与点C．故BC所在的直线方程为y-6-4-6＝x-1-2-1，
即10x－3y＋8＝0.故选B．]
5．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是( )
A．23 B．3＋23
C．6＋32 D．6＋10
C [由两点间的距离公式及题意得
|AB|＝2+12+3-02＝32，
|BC|＝-1-22+0-02＝3，
|CA|＝2-22+3-02＝3.
从而△ABC的周长为32＋3＋3＝32＋6.故选C．]
二、填空题
6．点P在直线2x－y＝0上，若M(4，－2)且|PM|＝5，则点P的坐标为________．
(1，2)或(－1，－2) [设P(x，2x)，由两点间距离公式得x-42+2x+22＝5，解得x＝1或－1，
故P(1，2)或(－1，－2)．]
7．点P在直线l：x－y＋4＝0上，且到点M(－2，－4)，N(4，6)的距离相等，则点P的坐标为________；经过点P且垂直于l的直线方程为________．
-32，52 x＋y－1＝0 [设P点的坐标是(a，a＋4)，
由题意可知|PM|＝|PN|，
即a+22+a+4+42
＝a-42+a+4-62，
解得a＝－32，
故P点的坐标是-32，52.
所以经过点P且垂直于l的直线方程为y－52＝－(x+32)，即x＋y－1＝0．]
8．f (x)＝x2+2x+2＋x2-4x+8的最小值为________．
32 [x2+2x+2＝x+12+1
＝x--12+0-12，
x2-4x+8＝x-22+4
＝x-22+0+22，
如图所示，设点A(x，0)，B(－1，1)，C(2，－2)，要求f (x)的最小值，即求|AB|＋|AC|的最小值．
由于|AB|＋|AC|≥|BC|，当A，B，C三点共线时，等号成立，且|BC|＝-1-22+1+22＝32，
故f (x)的最小值为32．]
三、解答题
9．已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程．
[解] (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即y'+52=3×x'+42+3，y'-5x'-4×3=-1，
解得x'=-2，y'=7. ∴P′点坐标为(－2，7)．
(2)解方程组y=3x+3，y=x-2，
得x=-52，y=-92，
则点-52，-92在所求直线上．
在直线y＝x－2上任取一点M(2，0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
则y02=3×x0+22+3，y0x0-2×3=-1， 解得x0=-175 ，y0=95.
点M′-175，95也在所求直线上．
由两点式得直线方程为y+9295+92＝x+52-175+52，
化简得7x＋y＋22＝0，
即为所求直线方程．
(3)在直线l上取两点E(0，3)，F(－1，0)，
则E，F关于点A(3，2)的对称点分别为
E′(6，1)，F′(7，4)．
因为点E′，F′在所求直线上，
所以由两点式得所求直线方程为y-14-1＝x-67-6，
即3x－y－17＝0.
10．一束光线从点A(1，0)处射到y轴上一点B(0，2)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是( )
A．x＋2y－2＝0 B．2x－y＋2＝0
C．x－2y＋2＝0 D．2x＋y－2＝0
B [点A(1，0)关于y轴的对称点A′(－1，0)在反射光线所在的直线上，因此反射光线所在直线的截距式方程为x-1＋y2＝1，即2x－y＋2＝0，故选B．]
11．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于2的点的坐标是( )
A．(－4，5) B．(－3，4)
C．(－1，2) D．(0，1)
BC [设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，
且x0+22+y0-32＝2，
两式联立解得x0=-3，y0=4 或x0=-1，y0=2. ]
12．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x-a2+y-b2可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f (x)＝x2+4x+20＋x2+2x+10的最小值为( )
A．25 B．52 C．4 D．8
B [∵f (x)＝x2+4x+20＋x2+2x+10
＝x+22+0-42＋x+12+0-32，
∴f (x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和，
设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A′，
则A′(－2，－4)．要求f (x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值，
利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝-1+22+3+42＝52，当且仅当A′，M，B三点共线时等号成立，
即f (x)＝x2+4x+20＋x2+2x+10的最小值为52．]
13．若函数y＝xx2+1的图象上存在两点P，Q关于点(1，0)对称，则直线PQ的方程是________．
x－4y－1＝0 [根据题意，设Pp，pp2+1，Qq，qq2+1，
又线段PQ的中点是(1，0)，
所以p+q2=1， pp2+1+qq2+1=0，整理得p+q=2，p·q=-1，
所以p，q为方程x2－2x－1＝0的根，
解得x＝1±2，
所以P1+2，24，Q1-2，-24
或P1-2，-24，Q1+2，24.
由两点式得直线PQ的方程为x－4y－1＝0．]
14．如图所示，已知BD是△ABC边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－12|AC|2＝2|BD|2.
[证明] 如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系．
设B(b，c)，C(a，0)，依题意得A(－a，0)．
|AB|2＋|BC|2－12|AC|2＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－12(2a)2＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，
2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，
所以|AB|2＋|BC|2－12|AC|2＝2|BD|2.
15．(2022·江苏连云港期中)若不等式x2+y2＋x-62+y-82＋x-32+y2＋x-32+y-82≥m对任意的实数x，y恒成立，则m的最大值是__________，此时x＋y＝__________．
18 7 [设坐标原点为O，建立如图所示的平面直角坐标系．
设P(x，y)，A(6，8)，B(3，0)，C(3，8)，则四边形ACOB为平行四边形，
则x2+y2＋x-62+y-82＋x-32+y2＋x-32+y-82＝|OP|＋|PA|＋|PB|＋|PC|，而|OP|＋|PA|＋|PB|＋|PC|≥|AO|＋|BC|＝10＋8＝18，当且仅当P为平行四边形ACOB的对角线的交点E时等号成立，此时P(3，4)．
故|OP|＋|PA|＋|PB|＋|PC|的最小值为18.
因为不等式x2+y2＋x-62+y-82＋x-32+y2＋x-32+y-82≥m对任意的实数x，y恒成立，所以m≤18，即m的最大值为18，此时x＝3，y＝4，所以x＋y＝7．]
学习
任务
1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(数学抽象)
2．会用坐标法证明简单的平面几何问题．(逻辑推理)
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