数学选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案设计

这是一份数学选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案设计，共16页。


在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.
(1)若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？
(2)如果利用一个向量在另一个向量上的投影，如何求点到直线的距离？
知识点1 点到直线的距离
(1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝Ax0+By0+CA2+B2．
在应用点到直线的距离公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式．
知识点2 两条平行直线间的距离
(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．
(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝C1-C2A2+B2.
两直线方程中x，y的系数对应相等，若不相等，则先将系数化为相等，再代入公式．
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝________．
5 [d＝-512+22＝5．]
2．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为2，则m的值为________．
－4 [∵m+1+12＝2，
∴m＝0或－4.
∵点P(m，1)在第二象限内，
∴m＝－4．]
3．两条平行直线5x＋12y－1＝0，5x＋12y－10＝0之间的距离为________．
913 [由两条平行直线的距离公式得：
d＝-1--1052+122＝913．]
4．已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的距离为2，则a＝________．
1或－3 [由a+112+12＝2得a＋1＝±2，
解得a＝1或－3．]
类型1 点到直线的距离
【例1】 (源自北师大版教材)求点P(－2，1)到下列直线的距离：
(1)3x＋4y－1＝0；
(2)y＝2x＋3；
(3)2x＋5＝0.
[解] (1)根据点到直线的距离公式，得d＝3×-2+4×1-132+42＝35.
即点P(－2，1)到直线3x＋4y－1＝0的距离为35.
(2)直线方程y＝2x＋3可化为一般式2x－y＋3＝0.
根据点到直线的距离公式，得d＝2×-2-1+322+-12＝25＝255.
即点P(－2，1)到直线y＝2x＋3的距离为255.
(3)直线方程2x＋5＝0可化为x＝－52，这条直线垂直于x轴，
所以d＝-2--52＝12.
即点P(－2，1)到直线2x＋5＝0的距离为12.
点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可．
(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可．
[跟进训练]
1．(1)点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离的最小值为( )
A．4 B．23 C．42 D．32
(2)垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是3105的直线l的方程为________．
(1)D (2)3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0 [(1)点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离d＝m2+2m+72＝m+12+62≥62＝32，
∴d有最小值32，故选D．
(2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，
d＝3×-1-0+m32+-12＝m-310＝3105.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0．]
类型2 两条平行线间的距离
【例2】 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
(2)求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程．
(1)104 [由题意，得63＝m1，∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，由两平行线间的距离公式，
得-1+662+22＝540＝104．]
(2)[解] 设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，
由两平行线间的距离公式得m-132+-42＝3，
解得m＝16或m＝－14.
故所求的直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.
[母题探究]
把本例(2)改为“直线l与直线3x－4y＋1＝0平行且点P(2，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程”．
[解] 由直线l平行于直线3x－4y＋1＝0，
可设l的方程为3x－4y＋c＝0，
又点P到l的距离为3，
所以3×2-4×3+c32+-42＝3.
解得c＝21或c＝－9，
故所求直线方程为3x－4y＋21＝0或3x－4y－9＝0.
求两条平行直线间的距离的两种思路
(1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．
(2)利用两条平行直线间的距离公式求解．
[跟进训练]
2．(1)已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B．21313 C．51326 D．71326
(2)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是5，则m＋n＝( )
A．0 B．1 C．－2 D．－1
(1)D (2)C [(1)由题意，直线3x＋2y－3＝0和直线6x＋my＋1＝0平行，则36＝2m，即m＝4.
所以对应直线方程为6x＋4y＋1＝0.
又直线3x＋2y－3＝0可化为6x＋4y－6＝0，
所以两平行直线间的距离为d＝-6-162+42＝752＝71326.
(2)因为l1∥l2，所以21＝n-2，解得n＝－4，即直线l2：x－2y－3＝0，所以两平行直线间的距离d＝m--312+-22＝5，解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2．]
类型3 利用距离公式解决最值问题
【例3】 两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的取值范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
[解] (1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝6+32+2+12＝310；
当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0(2)当d取最大值310时，两条平行线都垂直于AB，它们的斜率k＝－1kA＝－12--16--3＝－3.
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
应用数形结合思想求最值
(1)解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决；
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．
[跟进训练]
3．已知△ABC的顶点坐标为A(1，1)，B(m，m)，C(4，2)，1[解] |AC|＝4-12+2-12＝10，
直线AC的方程为y-12-1＝x-14-1，
即x－3y＋2＝0.
因为点B(m，m)到直线AC的距离
d＝m-3m+212+-32，
所以△ABC的面积S＝12|AC|·d＝12|m－3m＋2|＝12m-322-14 .
因为1所以0所以当m＝32，即m＝94时，△ABC的面积S最大．
1．(多选)已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值可能为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
CD [由题意知a-1+112+-12＝1，
即|a|＝2，∴a＝±2．]
2．已知两条平行直线l1：3x－4y＋6＝0与l2：3x－4y＋C＝0间的距离为3，则C＝( )
A．9或21 B．－9或21
C．9或－9 D．9或3
B [已知两条平行直线l1：3x－4y＋6＝0与l2：3x－4y＋C＝0间的距离为3，
则两平行线间的距离为C-632+-42＝3，解得C＝21或C＝－9.故选B．]
3．已知点M(1，2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( )
A．10 B．355 C．6 D．35
B [点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为2+2-122+12＝355．]
4．直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是________．
(5，－3) [由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则|MP|最小，直线MP的方程为y－1＝－43(x－2)，解方程组3x-4y-27=0，y-1=-43x-2，得x=5，y=-3，∴所求点的坐标为(5，－3)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出点到直线的距离公式．
提示：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝Ax0+By0+CA2+B2.
2．试写出两条平行直线间的距离公式．
提示：两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝C1-C2A2+B2.
3．如何解决与距离有关的最值问题？
提示：(1)利用对称转化为两点之间的距离问题．
(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．
(3)利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题．
课时分层作业(十八) 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离
一、选择题
1．已知点P是x轴上的点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为( )
A．(－6，0) B．(－12，0)
C．(－12，0)或(8，0) D．(－6，0)或(6，0)
C [设P(x，0)．
由点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，
得3x-4×0+632+-42＝6，即|3x＋6|＝30，
解得x＝8或x＝－12.
所以点P的坐标为(8，0)或(－12，0)．
故选C．]
2．已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是( )
A．1 B．2 C．12 D．4
A [由两条直线平行可得510＝12m，解得m＝24.即5x＋12y＋10＝0，由两条平行直线间的距离公式得d＝-3-1052+122＝1．]
3．(2022·山东邹城高二期中)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与直线6x＋8y＋1＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A．32 B．135 C．2310 D．52
D [因为36＝48≠－121，所以两直线平行．直线的方程3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即-24-162+82＝2510＝52.故选D．]
4．(多选)已知A(1＋t，1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为55，则点A的坐标可以是( )
A．(0，－2) B．(2，4)
C．(0，2) D．(1，1)
AB [直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得21+t-1+3t-14+1＝55，整理得|t|＝1，所以t＝1或t＝－1.当t＝1时，点A的坐标为(2，4)；当t＝－1时，点A的坐标为(0，－2)．
综上，点A的坐标为(0，－2)或(2，4)，故选AB．]
5．已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )
A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3
D [由题意得-2a-4+1a2+1＝a+5+1a2+1，解得a＝－3或3．]
二、填空题
6．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离d是________．
5 [两条直线的方程分别为x＝－2，x＝3，所以这两条直线间的距离d＝|3－(－2)|＝5．]
7．(2022·河南省洛阳市期末)若点(2，1)到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的方程为________．
x＝0或3x＋4y＝0 [因为点(2，1)到直线l：ax＋by＝0的距离为2，
所以2a+ba2+b2＝2，化简得4ab－3b2＝0，所以b＝0或4a＝3b，所以直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0．]
8．(2022·上海市虹口区段考)已知直线l：kx＋y＋2－k＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x－y＋1＝0上，则|MP|的最小值是________．
5 [由kx＋y＋2－k＝0得y＋2＝k(1－x)，所以直线l过定点M(1，－2)，依题意可知|MP|的最小值就是点M到直线2x－y＋1＝0的距离，由点到直线的距离公式可得|MP|min＝2+2+14+1＝5．]
三、解答题
9．求过点P(0，2)且与点A(1，1)，B(－3，1)等距离的直线l的方程．
[解] 法一：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，不合题意，因此直线l的斜率存在，设为k.
又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
由点A(1，1)与B(－3，1)到直线l的距离相等，
得k-1+2k2+1＝-3k-1+2k2+1，
解得k＝0或k＝1.
∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.
法二：当直线l过线段AB的中点时，
直线l与点A，B的距离相等．
∵AB的中点是(－1，1)，又直线l过点P(0，2)，
∴直线l的方程是x－y＋2＝0；
当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等．
∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0，
∴直线l的方程为y＝2.
综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.
10．(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．2
B [法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝k·0+-1·-1+kk2+1＝k+1k2+1＝k2+2k+1k2+1＝1+2kk2+1.
当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝1+2kk2+1＝1+2k+1k，要使d最大，需k＞0且k＋1k最小，∴当k＝1时，dmax＝2，故选B．
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝2，故选B．]
11．(多选)已知平面上一点M(5，0)，若一条直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．y＝43x D．y＝2x＋1
BC [点M(5，0)到直线y＝x＋1的距离d＝622＝32>4，故A不符合题意；点M(5，0)到直线y＝2的距离d＝2<4，故B符合题意；点M(5，0)到直线y＝43x的距离d＝43×5-12+432＝4，故C符合题意；点M(5，0)到直线y＝2x＋1的距离d＝2×5+1-12+22＝1155>4，故D不符合题意．]
12．(多选)已知平面上一点M(5，0)，若直线l上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线是点M的“相关直线”的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．4x－3y＝0 D．2x－y＋1＝0
BC [点M到直线y＝x＋1的距离d＝5-0+112+-12＝32>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4，故A中的直线不是点M的“相关直线”；点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4，故B中的直线是点M的“相关直线”；点M到直线4x－3y＝0的距离d＝4×5-3×042+-32＝4，所以直线上存在点P，使|PM|＝4，故C中的直线是点M的“相关直线”；点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝2×5-0+122+-12＝1155>4，故D中的直线不是点M的“相关直线”．故选BC．]
13．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：4x－2y－1＝0，若直线l1，l2的距离等于7510，且直线l1不经过第四象限，则a＝________．
3 [由直线l1，l2的方程可知，直线l1∥l2.依题意得，l1与l2之间的距离为2a--142+-22＝7510，整理得2a+125＝7510，解得a＝3或a＝－4.因为直线l1不经过第四象限，所以a≥0，所以a＝3．]
14．如图，射线OA所在直线的方向向量为d1＝(1，k)(k>0)，点P在∠AOx内，PM⊥OA于点M.
(1)若k＝1，P32，12，求|OM|的值；
(2)若P(2，1)，△OMP的面积是65，求k的值．
[解] (1)∵P32，12，∴|OP|＝102.若k＝1，则d1＝(1，1)，∴OA的方程为y＝x，即x－y＝0，则点P到直线OA的距离为32-122＝22，
∴|OM|＝1022-222＝2.
(2)∵直线OA的方程为kx－y＝0，
∴点P(2，1)到直线OA的距离d＝2k-1k2+1，
∴|OM|＝5-2k-12k2+1，
∴△OMP的面积为12×5-2k-12k2+1×2k-1k2+1＝65，
解得k＝112或k＝2.
15．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2间的距离是7510.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得点P同时满足下列三个条件：①点P是第一象限内的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的一半；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2∶5？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
[解] (1)l2的方程可化为2x－y－12＝0，
所以l1和l2间的距离d＝a--1222+-12＝7510，
所以a+12＝72，因为a>0，所以a＝3.
(2)设点P(x0，y0)，若点P满足条件②，则点P在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，且c-35＝12×c+125，得c＝132或c＝116.
所以2x0－y0＋132＝0或2x0－y0＋116＝0.
若点P满足条件③，则2x0-y0+35＝25·x0+y0-12，所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
若点P也满足条件①，则3x0＋2＝0不合题意．
由2x0-y0+132 =0，x0-2y0+4=0，解得x0=-3，y0=12 ，
此时点P不满足条件①，应舍去．
由2x0-y0+116 =0，x0-2y0+4=0，解得x0=19 ，y0=3718 ，此时点P也满足条件①.
所以P19，3718为同时满足三个条件的点．
学习任务
1．探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．(数学抽象)
2．会求点到直线的距离与两平行直线间的距离．(数学运算)