高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第1课时导学案及答案

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通过椭圆的定义及图形认识了椭圆的一些简单性质(如对称性)，得到椭圆的标准方程之后，类比圆的研究方法，就有了一个新的途径——通过方程来探索和验证椭圆的几何性质，由椭圆的标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，可以获得椭圆的哪些几何性质呢？
知识点1 椭圆的简单几何性质
(1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是多少？
(2)在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？
提示：(1)最大值a＋c，最小值a－c.
(2)与位置无关的，如长轴长、短轴长、焦距；与位置有关的，如顶点坐标、焦点坐标等．
知识点2 椭圆的离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比．
(2)记法：e＝ca．
(3)范围：0(4)e与椭圆形状的关系：e越接近1，椭圆越扁平，e越接近0，椭圆越接近于圆．
1．已知椭圆x29＋y216＝1，则其顶点坐标分别为________________，焦点坐标为________________，长轴长等于____，短轴长等于____，焦距等于________．若点P(m，n)为该椭圆上任意一点，则m的取值范围是________．
[答案] (0，4)，(0，－4)，(3，0)，(－3，0) (0，7)，(0，－7) 8 6 27 [－3，3]
2．已知椭圆x216＋y29＝1，则椭圆的离心率e＝________．
74 [由题意知a2＝16，b2＝9，则c2＝7，
从而e＝ca＝74．]
3．已知椭圆的长轴长为8，离心率为14，则椭圆的标准方程为________．
x216＋y215＝1或y216＋x215＝1 [由题意知2a＝8，ca＝14，则c＝1，从而b2＝42－1＝15，
所以椭圆的标准方程为x216＋y215＝1或y216＋x215＝1．]
类型1 由椭圆方程研究几何性质
【例1】 (源自北师大版教材)求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
[解] 将已知方程化为椭圆的标准方程x225＋y29＝1.
则a＝5，b＝3，c＝a2-b2＝4.
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10，2b＝6.
离心率e＝ca＝45.
两个焦点分别是F1(－4，0)，F2(4，0)．
椭圆的四个顶点分别是 A1(－5，0)，A2(5，0)，
B1(0，－3)，B2(0，3)．
将方程变形为y＝±3525-x2，
由y＝3525-x2，在0≤x≤5的范围内计算出一些点的坐标(x，y)，如下表(y的值精确到0.1)．
先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆(如图所示)．
试总结根据椭圆方程研究其几何性质的步骤．
提示：(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
[跟进训练]
1．(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与椭圆x2a2＋y2b2＝λ(λ＞0且λ≠1)有( )
A．相同的焦点 B．相同的顶点
C．相同的离心率 D．相同的长、短轴
(2)已知椭圆mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
(1)C [在两个方程的比较中，端点a，b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C．]
(2)[解] 椭圆方程可化为x24＋y2m＝1.
①当0∴e＝ca＝4-m2＝12，
∴m＝3，∴b＝3，c＝1，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4，23，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－3)，B2(0，3)．
②当m>4时，a＝m，b＝2，
∴c＝m-4，
∴e＝ca＝m-4m＝12，解得m＝163，
∴a＝433，c＝233，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F10，-233，F20，233，顶点坐标为A10，-433，A20，433，B1(－2，0)，B2(2，0)．
类型2 由椭圆的几何性质求标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝63；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)经过点M(1，2)，且与椭圆x212＋y26＝1有相同的离心率．
[解] (1)若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝ca＝63，∴c＝6，
∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝ca＝1-b2a2＝1-9a2＝63，
解得a2＝27.
∴椭圆的方程为y227＋x29＝1.
∴所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.
(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的标准方程为x232＋y216＝1.
(3)法一：由题意知e2＝1－b2a2＝12，
所以b2a2＝12，即a2＝2b2，
设所求椭圆的方程为x22b2＋y2b2＝1或y22b2＋x2b2＝1.将点M(1，2)代入椭圆方程，得
12b2＋4b2＝1或42b2＋1b2＝1，解得b2＝92或b2＝3.
故所求椭圆的标准方程为x29＋y292＝1或y26＋x23＝1.
法二：设所求椭圆方程为x212＋y26＝k1(k1>0)或y212＋x26＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入，可得112＋46＝k1或412＋16＝k2，
解得k1＝34，k2＝12，
故x212＋y26＝34或y212＋x26＝12，即所求椭圆的标准方程为x29＋y292＝1或y26＋x23＝1.
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ca等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
提醒：与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．
[跟进训练]
2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为________．
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cs ∠OFA＝23，则椭圆的标准方程是________．
(1)x225＋y216＝1 (2)x29＋y25＝1或y29＋x25＝1 [(1)由题意，得2a+2b=18，c=3， a2=b2+c2，
解得a=5，b=4. 因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为x225＋y216＝1.
(2)因为椭圆的长轴长是6，cs ∠OFA＝23，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以c3＝23，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的标准方程是x29＋y25＝1或x25＋y29＝1．]
类型3 椭圆的离心率问题
【例3】 (1)(2022·全国甲卷)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为( )
A．32 B．22 C．12 D．13
(2)设椭圆上存在一点P，它与椭圆中心O的连线和它与长轴一个端点的连线互相垂直，则椭圆离心率的取值范围为________．
(1)A (2)22，1 [(1)已知A(－a，0)，设P(x0，y0)，则Q(－x0，y0)，kAP＝y0x0+a，kAQ＝y0a-x0，
故kAP·kAQ＝y02a2-x02＝14，①
∵x02a2＋y02b2＝1，即y02＝b2a2-x02a2，②
将②代入①整理得b2a2＝14.
∴e＝ca＝1-b2a2＝32.故选A．
(2)由椭圆的对称性，不妨设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A(a，0)为右顶点，P(x0，y0)(0因为PO⊥PA，所以y0x0·y0x0-a＝－1，即y02＝ax0-x02.
又x02a2＋y02b2＝1，所以a2-b2x02－a3x0＋a2b2＝0，
即(x0－a)[(a2－b2)x0－ab2]＝0.
因为0而b2＝a2－c2，所以0[母题探究]
本例(1)中，“若直线AP，AQ的斜率之积为14”改为“若直线AP，AQ的斜率之积不小于14”，求C的离心率的取值范围．
[解] 已知A(－a，0)，设P(x0，y0)，则Q(－x0，y0)，显然，|x0|≠a，
kAP＝y0a+x0，kAQ＝y0a-x0，故kAP·kAQ＝y02a2-x02≥14.
∵|x0|0， ①
∵x02a2＋y02b2＝1，∴y02＝b2a2-x02a2， ②
由①②知b2a2≥14，
∴e＝ca＝1-b2a2≤32.
又e>0，∴离心率的取值范围为0，32.
求椭圆离心率及取值范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ca求解．
(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
[跟进训练]
3．(1)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个端点，且cs ∠F1AF2＝34，则椭圆的离心率e＝( )
A．12 B．22 C．14 D．24
(2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A．22，1 B．12，1 C．0，22 D．0，12
(1)D (2)C [(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为2c(c>0)，则左焦点F1的坐标为(－c，0)，右焦点F2的坐标为(c，0)，依题意，不妨设点A的坐标为(0，b)，
在△F1AF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cs ∠F1AF2，因为cs ∠F1AF2＝34，所以4c2＝a2＋a2－2a2×34＝12a2，所以e2＝c2a2＝18，解得e＝24或e＝-24(舍)．故选D．
(2)依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，x02a2＋y02b2＝1，可得x02＝a2－a2b2y02，则|PB|2＝x02＋(y0－b)2＝x02+y02－2by0＋b2＝－c2b2y02－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－b3c2≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝ca≤22，又e>0，所以01．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5，3，45 B．10，6，45
C．5，3，35 D．10，6，35
B [椭圆方程可变形为x29＋y225＝1，∴a＝5，b＝3，∴长轴长为10，短轴长为6，e＝ca＝45.故选B．]
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率为12，则C的方程是( )
A．x23＋y24＝1 B．x24＋y23＝1
C．x24＋y23＝1 D．x24＋y2＝1
C [依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
且c＝1，e＝ca＝12，则a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆的方程是x24＋y23＝1．]
3．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②x29＋y25＝1的形状，则________更扁．(填序号)
① [x2＋9y2＝36化为标准方程得x236＋y24＝1，故离心率e1＝426＝223；椭圆x29＋y25＝1的离心率e2＝23.因为e1>e2，故①更扁．]
4．已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________．
22，1 [依题意可得2c≥2b，即c≥b.
所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，
即2c2≥a2，e2＝c2a2≥12，所以e≥22.
又因为0所以椭圆离心率的取值范围是22，1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的步骤．
提示：(1)化标准，把椭圆方程化成标准形式；
(2)定位置，根据标准方程中x2，y2对应分母的大小来确定焦点位置；
(3)求参数，写出a，b的值，并求出c的值；
(4)写性质，按要求写出椭圆的简单几何性质．
2．试总结根据椭圆的几何性质求其标准方程的思路.
提示：已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：
(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；
(2)确立关于a，b，c的方程(组)，求出参数a，b，c；
(3)写出标准方程．
3．试总结求椭圆离心率的方法．
提示：(1)若已知a，c的值或关系，则可直接利用e＝ca求解；
(2)若已知a，b的值或关系，则可利用e＝ca＝1-ba2求解；
(3)若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式进行求解．
课时分层作业(二十五) 椭圆的简单几何性质
一、选择题
1．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)过点P22，32，离心率为22，则椭圆E的焦距为( )
A．1 B．2 C．2 D．22
B [因为椭圆E的离心率为22，
所以ca＝22.
因为椭圆过点P22，32，所以12a2＋34b2＝1.
又a2＝b2＋c2，解得c＝1，所以焦距2c＝2.故选B．]
2．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，离心率相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为( )
A．30 cm B．20 cm
C．10 cm D．103 cm
B [设大椭圆的长轴长、短轴长、离心率分别为2a1，2b1，e1，则a1＝20 cm，b1＝10 cm，e1＝1-b1a12＝32，
设小椭圆的长轴长、短轴长、离心率分别为2a2，2b2，e2，则b2＝5 cm，e2＝32，
由e22＝1－b2a22得34＝1－25a22，解得a2＝10 cm，
故小椭圆的长轴长为20 cm，故选B．]
3．(2022·泰州中学高二期中)已知椭圆C：x2＋y2n＝1(n>0且n≠1)的离心率为32，则n的值为( )
A．14或4 B．14
C．12或2 D．12
A [当椭圆C的焦点在x轴上时，01，则a2＝n，b2＝1，c2＝a2－b2＝n－1，此时，椭圆C的离心率e＝ca＝n-1n＝32，解得n＝4.综上，n＝14或4．]
4．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C的面积为23π，且离心率为12，则椭圆C的标准方程为( )
A．x24＋y23＝1 B．x212＋y2＝1
C．y24＋x23＝1 D．x216＋y23＝1
A [设椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，
易得ab=23ππ，ca=12，a2=b2+c2，解得a=2，b=3，c=1，因此椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1．故选A．]
5．(2022·河北九师联盟高二上期中)设P是椭圆C：x2a2＋y26＝1(a>6)上任意一点，F为C的焦点，|PF|的最小值为2，则椭圆C的离心率为( )
A．12 B．22 C．32 D．23
A [由题意可得a－c＝2，b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝2(a＋c)＝6，所以a＋c＝32，所以a＝22，c＝2，所以离心率e＝222＝12.故选A．]
二、填空题
6．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝________．
4 [将椭圆方程化为标准形式为x2＋y21m＝1，
所以长轴长为2，短轴长为21m，
由题意得2＝2×21m，解得m＝4．]
7．(2022·江苏苏州高二期末)如图所示，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角(母线与竖直方向所成角)后，液面呈椭圆形，当α＝30°时，该椭圆的离心率为________．
12 [设圆柱形杯子的底面半径为b，示意图如图，则OC是椭圆的长半轴长，OB是椭圆的短半轴长，
则BC＝OC2-OB2＝a2-b2＝c.又∠COB＝α＝30°，则e＝ca＝sin α＝12．]
8．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦点在x轴上，过点P1，12作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________．
x25＋y24＝1 [因为直线x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线，所以椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1.
设O(0，0)，则kOP＝12，因为OP⊥AB，
所以kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，所以直线AB与y轴的交点为(0，2)，所以b＝2，所以a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为x25＋y24＝1．]
三、解答题
9．如图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝2F2B，求椭圆的标准方程．
[解] (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝2c，e＝ca＝22.
(2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，
设B(x，y)，由AF2＝2F2B，
解得x＝32，y＝－b2.
代入x2a2＋y2b2＝1，
得94a2＋b24b2＝1，即94a2＋14＝1，
解得a2＝3，
又c2＝1，所以b2＝2，
所以椭圆的标准方程为x23＋y22＝1.
10．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F(－3，0)，且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形的面积最大值为32，则椭圆C的方程为( )
A．x23＋y2＝1 B．x24＋y2＝1
C．x26＋y23＝1 D．x29＋y26＝1
C [因为椭圆C的左焦点为F(－3，0)，所以c＝3.椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形的面积最大值为32，即12×2a×b＝ab＝32. ①
又a2＝b2＋c2，即a2＝b2＋3， ②
由①②可得a＝6，b＝3，故椭圆C的方程为x26＋y23＝1.故选C．]
11．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A．0，23 B．0，23
C．23，1 D．23，1
C [由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，
|PF1|＝5|PF2|，则|PF1|＝5a3，|PF2|＝a3，
∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，
∴4a3≤2c，e≥23.
又e<1，
∴椭圆离心率的取值范围是23，1．]
12．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则( )
A．a－c＝m＋R
B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n
D．b＝m+Rn+R
ABD [∵地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可得m=a-c-R，n=a+c-R，
∴a-c=m+R，a+c=n+R，(*)
故A，B正确；
由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.
∵a2－c2＝b2，
∴b2＝(m＋R)(n＋R)，
∴b＝m+Rn+R，故D正确．]
13．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝12，则椭圆的标准方程是________．若点P为椭圆上任意一点，则AP·FP的取值范围是________．
x24＋y23＝1 [0，12] [因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2.
因为离心率e＝12，
所以c＝1，b＝a2-c2＝3，
则椭圆的标准方程为x24＋y23＝1，
所以点A的坐标为(－2，0)，点F的坐标为(－1，0)．
设P(x，y)，则AP·FP＝(x＋2，y)·(x＋1，y)＝x2＋3x＋2＋y2.
由椭圆的方程，得y2＝3－34x2，
所以AP·FP＝x2＋3x－34x2＋5＝14(x＋6)2－4.
因为x∈[－2，2]，
所以AP·FP∈[0，12]．]
14．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上有一点P，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q在线段PF2的延长线上，且QF1⊥QP，sin ∠F1PQ＝513，求椭圆离心率的取值范围．
[解] ∵QF1⊥QP，∴点Q在以线段F1F2为直径，原点为圆心的圆上，∵点Q在椭圆的内部，
∴以线段F1F2为直径的圆在椭圆内，
∴c∴c2∵sin ∠F1PQ＝513，∴cs ∠F1PQ＝1213.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝2a，
在△PF1F2中，由余弦定理得
4c2＝m2＋n2－2mn·1213.
∴4c2＝(m＋n)2－2mn－2mn·1213，
即4c2＝4a2－5013mn，
∴mn＝2625(a2－c2)．
由基本不等式得mn≤m+n22＝a2，
当且仅当m＝n时取等号，
由题意知QF1⊥QP，∴m≠n，
∴mn∴2625(a2－c2)故e2>126，∴e>2626.
综上可得，262615．设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cs ∠AF2B＝35，求椭圆E的离心率．
[解] (1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，
|AB|＝4k.
由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cs ∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)·(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝22a，
所以椭圆E的离心率e＝ca＝22.
学习
任务
1．掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．(数学抽象)
2．能利用椭圆的简单几何性质求标准方程．(数学运算)
3．能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题．(逻辑推理)
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)
_y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a
且－b≤y≤b
－b≤x≤b
且－a≤y≤a
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ca∈(0，1)
x
0
1
2
3
4
5
y
3.0
2.9
2.7
2.4
1.8
0