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陕西省西安中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）
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这是一份陕西省西安中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 集合的真子集的个数是（ ）
A. 3B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合真子集的个数的计算方法，即可求解.
【详解】由集合，所以集合的真子集的个数为.
故选：C.
2. 设，则“”是“”的（ ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数的运算性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】由且且，
故选：A．
3. 已知集合，，且，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，再根据条件，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又，，所以，得到，
故选：A.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由对数公式把化简，然后代入即可求解.
【详解】由题意可得，，
所以，
所以.
故选：B.
5. 三个数，，大小的顺序是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数、幂函数的单调性即可求解.
【详解】由为增函数，则，
由为增函数，，
所以.
故选：A
6. 已知，则（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先取倒数，再应用对数运算律计算即可.
【详解】因为,所以，
.
故选:B.
7. 已知存在；对任意，若或为假，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，是真命题的的范围，由于或为假命题，得到，应该全假，即，的否定为真，列出方程组，求出的范围．
【详解】解：若真则；
若真，即恒成立，
所以△，
解得．
因为或为假命题，所以，全假．
所以有，
所以．
故选：B．
【点睛】复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系是解决复合命题真假的依据：且的真假，当，全真则真，有假则假；或的真假，，中有真则真，全假则假；非的真假与的真假相反．
8. 一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
【详解】一元二次不等式的解集为，
∴，且2，3是方程的两个实数根，
∴，解得，其中；
∴不等式化为，即，
解得或，因此所求不等式的解集为．
故选：D．
二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.）
9. 若函数 的图像经过点 ， 则（ ）
A. B. 在 上单调递减
C. 的最大值为 81D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用函数经过点,可求出,再应用函数性质每个选项分别判断即可.
【详解】对于:由题意得 ， 得 ,故正确;
对于:令函数 ， 则该函数在上单调递减，在 上单调递增．
因为 是减函数， 所以在上单调递增， 在 上单调递减， 故错误;
对于:因为在上单调递增， 在 上单调递减,
所以 ,无最小值．故正确, 错误;
故选:.
10. 若，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用不等式的性质即可讨论即可求解.
【详解】对于A,若则,故A不一定成立;
对于B,因为,所以,所以,
所以,所以B一定成立;
对于C,当,所以C不一定成立;
对于D, 因为,所以,所以D一定成立.
故选:BD.
11. 下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A. 的定义域为B. 的值域为
C. 在定义域上单调递减D. 点是图象的对称中心
【答案】AD
【解析】
【分析】由，可知由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，根据的性质得到的性质，即可判断；
【详解】解：
由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
因为关于对称，所以关于对称，故D正确；
函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误；
函数在和上单调递减，故C错误；
故选：AD
12. 已知正数满足，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式的性质，逐个选项进行判断即可，注意等号成立的条件.
【详解】对于A，，所以，，当且仅当时等号成立，但此时，，与题意不符，故A错误；
对于B，，解得，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D，由，可得，所以，，
当时，此时，，所以，的最小值为，故D正确.
故选：BCD
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡上的相应位置.）
13. 若，则的值为__________.
【答案】14
【解析】
【分析】两边平方求出答案.
【详解】，两边平方得，
即，解得.
故答案为：14
14. 某城市出粗车按如下方法收费：起步价6元，可行（含），后到（含）每多走（不足按计）加价0.5元，后每多走加价0.8元，某人坐出租车走了，他应交费____________元．
【答案】11.9
【解析】
【分析】结合已知条件，利用分段函数的概念直接计算即可.
【详解】结合已知条件可知，某人坐出租车走了所交费为（元）.
故答案为：11.9.
15. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据高斯函数的定义，可得函数的图象，即可的解.
【详解】由高斯函数的定义可得：
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，
由图象知的值域为.
故答案为：
16. 已知关于的不等式有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围为__________. （结果用区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分，以及讨论，结合条件列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】当时，即，此时不等式为，解得，则不等式有无数个整数解，不符合题意；
当时，即，则函数的开口向下，则不等式的整数解有无数个，不符合题意；
当时，即，使得不等式有且仅有两个不同的整数解，则，且函数，，所以0是其中的一个整数解，则另一个整数解为或，而，所以不是另一个整数解，所以另一个整数解是，则，解得；
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （1）计算：；
（2）已知，，用a，b表示
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解；
（2）根据对数的运算法和换底公式，准确运算，即可求解.
【详解】解：（1）由指数幂运算性质，可得：
原式
（2）由对数的运算性质，可得：.
18. 已知集合，，.
（1）若使幂函数在上为减函数，求集合；
（2）已知是的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的性质，求得，再由不等式的解法，求得集合，结合集合的运算法则，即可求解；
（2）根据题意，求得集合，结合题意，转化为是的真子集，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：由幂函数，可得，
即，解得或，
当时，可得，此时函数在上为减函数，符合题意；
当时，可得，此时函数在上为增函数，不符合题意，
所以，
可得集合，
则或，
又因为，所以或.
【小问2详解】
解：由集合，，
因为是的必要不充分条件，可得集合是的真子集，
则满足且等号不能同时成立，解得，
即实数的取值范围为.
19. 已知是定义在R上的奇函数，且时，
（1）求函数的解析式.
（2）画出函数的图象，并写出函数单调区间及值域.
【答案】（1）（2） 单调增区间为（－∞，0），（0，＋∞）；值域为{y|1【解析】
【分析】试题分析：（1）由函数为奇函数可得，将 转化为，代入函数式，结合奇偶性可求得函数解析式；（2）利用函数图像可得到单调区间及值域
试题解析：（1）因为y＝f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－0）＝－f（0），所以f（0）＝0，
因为x<0时，f（x）＝1＋2x，所以x>0时，f（x）＝－f（－x）＝－（1＋2－x）＝－1－，
所以f（x）＝
（2）函数f （x）的图象为
根据f（x）的图象知：
f（x）的单调增区间为（－∞，0），（0，＋∞）；
值域为{y|1考点：函数求解析式及函数单调性最值
【详解】
20. 已知是二次函数，且满足，，
（1）求的解析式
（2）当，其中，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，利用待定系数法可求函数的解析式；
（2）分类讨论二次函数的对称轴在区间的左侧，中间，右侧，结合二次函数的的性质求解函数的最值即可．
【小问1详解】
设 ，因为，所以
又，
∴，即，
∴，解得，
∴
【小问2详解】
∵，对称轴，开口向上，
故函数在区间单调递减，在区间单调递增，故
当时，即，此时函数在区间上单调递减，；
当时，此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，；
当时，此时函数在区间上单调递增，；
所以最小值为
21. 已知函数是定义在区间上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明.
（3）求满足不等式的实数t的取值范围.
【答案】（1）；
（2）单调递增，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由奇函数性质及求得参数即可；
（2）设，结合因式分解证；
（3）由求得定义域，由奇函数及增函数性质可得，求解即可
【小问1详解】
由奇函数性质得，，
又，∴；
【小问2详解】
函数在区间上单调递增. 证明如下：
设，则，
由得，
故函数在区间上单调递增；
小问3详解】
由，
由奇函数性质得，
由增函数性质得.
综上，实数t的取值范围为
（时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 集合的真子集的个数是（ ）
A. 3B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合真子集的个数的计算方法，即可求解.
【详解】由集合，所以集合的真子集的个数为.
故选：C.
2. 设，则“”是“”的（ ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数的运算性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】由且且，
故选：A．
3. 已知集合，，且，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，再根据条件，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又，，所以，得到，
故选：A.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由对数公式把化简，然后代入即可求解.
【详解】由题意可得，，
所以，
所以.
故选：B.
5. 三个数，，大小的顺序是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数、幂函数的单调性即可求解.
【详解】由为增函数，则，
由为增函数，，
所以.
故选：A
6. 已知，则（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先取倒数，再应用对数运算律计算即可.
【详解】因为,所以，
.
故选:B.
7. 已知存在；对任意，若或为假，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，是真命题的的范围，由于或为假命题，得到，应该全假，即，的否定为真，列出方程组，求出的范围．
【详解】解：若真则；
若真，即恒成立，
所以△，
解得．
因为或为假命题，所以，全假．
所以有，
所以．
故选：B．
【点睛】复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系是解决复合命题真假的依据：且的真假，当，全真则真，有假则假；或的真假，，中有真则真，全假则假；非的真假与的真假相反．
8. 一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
【详解】一元二次不等式的解集为，
∴，且2，3是方程的两个实数根，
∴，解得，其中；
∴不等式化为，即，
解得或，因此所求不等式的解集为．
故选：D．
二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.）
9. 若函数 的图像经过点 ， 则（ ）
A. B. 在 上单调递减
C. 的最大值为 81D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用函数经过点,可求出,再应用函数性质每个选项分别判断即可.
【详解】对于:由题意得 ， 得 ,故正确;
对于:令函数 ， 则该函数在上单调递减，在 上单调递增．
因为 是减函数， 所以在上单调递增， 在 上单调递减， 故错误;
对于:因为在上单调递增， 在 上单调递减,
所以 ,无最小值．故正确, 错误;
故选:.
10. 若，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用不等式的性质即可讨论即可求解.
【详解】对于A,若则,故A不一定成立;
对于B,因为,所以,所以,
所以,所以B一定成立;
对于C,当,所以C不一定成立;
对于D, 因为,所以,所以D一定成立.
故选:BD.
11. 下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A. 的定义域为B. 的值域为
C. 在定义域上单调递减D. 点是图象的对称中心
【答案】AD
【解析】
【分析】由，可知由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，根据的性质得到的性质，即可判断；
【详解】解：
由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
因为关于对称，所以关于对称，故D正确；
函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误；
函数在和上单调递减，故C错误；
故选：AD
12. 已知正数满足，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式的性质，逐个选项进行判断即可，注意等号成立的条件.
【详解】对于A，，所以，，当且仅当时等号成立，但此时，，与题意不符，故A错误；
对于B，，解得，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D，由，可得，所以，，
当时，此时，，所以，的最小值为，故D正确.
故选：BCD
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡上的相应位置.）
13. 若，则的值为__________.
【答案】14
【解析】
【分析】两边平方求出答案.
【详解】，两边平方得，
即，解得.
故答案为：14
14. 某城市出粗车按如下方法收费：起步价6元，可行（含），后到（含）每多走（不足按计）加价0.5元，后每多走加价0.8元，某人坐出租车走了，他应交费____________元．
【答案】11.9
【解析】
【分析】结合已知条件，利用分段函数的概念直接计算即可.
【详解】结合已知条件可知，某人坐出租车走了所交费为（元）.
故答案为：11.9.
15. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据高斯函数的定义，可得函数的图象，即可的解.
【详解】由高斯函数的定义可得：
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，
由图象知的值域为.
故答案为：
16. 已知关于的不等式有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围为__________. （结果用区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分，以及讨论，结合条件列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】当时，即，此时不等式为，解得，则不等式有无数个整数解，不符合题意；
当时，即，则函数的开口向下，则不等式的整数解有无数个，不符合题意；
当时，即，使得不等式有且仅有两个不同的整数解，则，且函数，，所以0是其中的一个整数解，则另一个整数解为或，而，所以不是另一个整数解，所以另一个整数解是，则，解得；
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （1）计算：；
（2）已知，，用a，b表示
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解；
（2）根据对数的运算法和换底公式，准确运算，即可求解.
【详解】解：（1）由指数幂运算性质，可得：
原式
（2）由对数的运算性质，可得：.
18. 已知集合，，.
（1）若使幂函数在上为减函数，求集合；
（2）已知是的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的性质，求得，再由不等式的解法，求得集合，结合集合的运算法则，即可求解；
（2）根据题意，求得集合，结合题意，转化为是的真子集，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：由幂函数，可得，
即，解得或，
当时，可得，此时函数在上为减函数，符合题意；
当时，可得，此时函数在上为增函数，不符合题意，
所以，
可得集合，
则或，
又因为，所以或.
【小问2详解】
解：由集合，，
因为是的必要不充分条件，可得集合是的真子集，
则满足且等号不能同时成立，解得，
即实数的取值范围为.
19. 已知是定义在R上的奇函数，且时，
（1）求函数的解析式.
（2）画出函数的图象，并写出函数单调区间及值域.
【答案】（1）（2） 单调增区间为（－∞，0），（0，＋∞）；值域为{y|1
【分析】试题分析：（1）由函数为奇函数可得，将 转化为，代入函数式，结合奇偶性可求得函数解析式；（2）利用函数图像可得到单调区间及值域
试题解析：（1）因为y＝f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－0）＝－f（0），所以f（0）＝0，
因为x<0时，f（x）＝1＋2x，所以x>0时，f（x）＝－f（－x）＝－（1＋2－x）＝－1－，
所以f（x）＝
（2）函数f （x）的图象为
根据f（x）的图象知：
f（x）的单调增区间为（－∞，0），（0，＋∞）；
值域为{y|1
【详解】
20. 已知是二次函数，且满足，，
（1）求的解析式
（2）当，其中，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，利用待定系数法可求函数的解析式；
（2）分类讨论二次函数的对称轴在区间的左侧，中间，右侧，结合二次函数的的性质求解函数的最值即可．
【小问1详解】
设 ，因为，所以
又，
∴，即，
∴，解得，
∴
【小问2详解】
∵，对称轴，开口向上，
故函数在区间单调递减，在区间单调递增，故
当时，即，此时函数在区间上单调递减，；
当时，此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，；
当时，此时函数在区间上单调递增，；
所以最小值为
21. 已知函数是定义在区间上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明.
（3）求满足不等式的实数t的取值范围.
【答案】（1）；
（2）单调递增，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由奇函数性质及求得参数即可；
（2）设，结合因式分解证；
（3）由求得定义域，由奇函数及增函数性质可得，求解即可
【小问1详解】
由奇函数性质得，，
又，∴；
【小问2详解】
函数在区间上单调递增. 证明如下：
设，则，
由得，
故函数在区间上单调递增；
小问3详解】
由，
由奇函数性质得，
由增函数性质得.
综上，实数t的取值范围为
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