陕西省西安中学2022-2023学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

西安中学2022-2023学年度第一学期期中考试

高一数学试题

（时间：120分钟满分：100分） 

一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 命题“”的否定是 

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C.

考点：全称命题与存在性命题.

2. 若满足，则等于（    ）

A. 3 B. 1 C. 5 D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】令，求出所对应的，再代入计算可得.

【详解】解：因为，

令，解得，

所以；

故选：B

3. 已知集合，若，则实数值为（    ）

A. -1 B. -3 C. -3或-1 D. 无解

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可得或解方程，再利用集合元素的互异性即可求解.

【详解】若，可得

当时，解得，此时，

不满足集合的互异性，故（舍去），

当，解得（舍去）或，此时，

满足题意，故实数的值为-3.

故选：B

【点睛】本题考查了由集合中的元素求参数值、集合的特征，属于基础题.

4. 设，，，则，，的大小关系为（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】将化为，利用指数函数的单调性得，，即可得.

【详解】由指数函数的单调性可得，，

，所以.

故选：D

5. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据作差法以及二次函数的性质即可求出.

【详解】因为,,所以,即.

故选：A.

6. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数解析式，分析函数在时的单调性及值域即可得解.

【详解】由可知，当时，单调递减，且，

故选：C

7. 已知为定义在上的奇函数，且对任意实数，有，若，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由可得函数在定义域内单调递减，用奇偶性可将关系式变形为，根据单调性就可以求出.

【详解】对任意实数，有,所以函数在上单调递减，

又因为函数为定义在上的奇函数，且，则，所以得.

故选：D

8. 已知函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意列出不等式组，从而可求得的取值范围．

【详解】∵函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，

∴，解得.

故选：A

二、选择题（本题共4小题，每小题4分共16分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.）

9. 已知，则下列不等式正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】取特殊值说明A、C、D选项错误；再由不等式的性质说明B正确即可.

详解】取，则，A错误；，C错误；，D错误；由可得，则，B正确.

故选：B.

10. 下列函数中，在其定义域上为单调递减的函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据函数的解析式，直接判断函数的单调性.

【详解】A.在上单调递减，故A正确；

B.在单调递减，在单调递增，故B错误；

C.在定义域单调递增，故C错误；

D.在定义域上单调递增，故D正确.

故选：AD

11. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 的解集为

【答案】ACD

【解析】

【分析】首先根据解集的特征得到，判断出A选项；

将不等式解集转化为是方程的两根，利用韦达定理得到，从而判断出，得到BC选项；

解不等式得到D选项正确.

【详解】因为的解集为或，

所以不等式对应的二次函数开口向下，所以，A正确；

且是方程的两根，

所以，即，B错误；

，C正确；

即为，不等式两边同除以得：

，解得：，

所以的解集为，D正确.

故选：ACD

12. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则下列结论一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】由条件判断函数的对称性，即可判断选项.

【详解】由条件可知，，函数关于对称，，所以函数关于点对称，因为函数的定义域为，所以，因为函数关于直线对称，所以，所以AB正确.

故选：AB

三、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡上的相应位置.）

13. 已知幂函数的图象过点，则_____________．

【答案】##

【解析】

【分析】设出幂函数解析式，代入已知点坐标求解．

【详解】设，由已知得，所以，．

故答案为：．

14. 函数的定义域是______________.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数的解析式，直接列不等式求解.

【详解】函数的定义域需满足，解得：且，

所以函数定义域是.

故答案为：

15. 设为正实数，且，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

【详解】∵，为正实数，且，

∴．

当且仅当，时取等号．

∴的最小值为，故答案为．

【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属基础题．

16. 关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______________.

【答案】

【解析】

【分析】讨论和两种情况，根据不等式的解集为空集，求实数的取值范围.

【详解】当时，解得：或，

当时，，解集不是空集，所以舍去，

当时，，恒不成立，满足条件，

当，解得：，

综上可知的取值范围是.

故答案为：

四、解答题：（本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 求值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据指数幂的运算性质即可求出.

(2)根据对数的运算性质即可求得.

【小问1详解】

【小问2详解】

18. 已知集合，.

（1）当时，求，；

（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）当时，求出，再根据集合的并集，交集的运算求解即可．

（2）根据题意可得，再求得，列出方程组求出的取值范围即可得答案．

【小问1详解】

解：当时，，，

，．

【小问2详解】

解：是成立的充分不必要条件，

，

，，，

则，，

经检验知，当时，，不合题意，

实数的取值范围．

19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

（1）求函数在上的解析式，并在图中画出在上的图象；

（2）求不等式的解集.

【答案】（1），作图见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数是奇函数，求解的解析式，再根据函数在上的解析式，画出函数的图像；

（2）根据函数的解析式，分和两种情况求解函数的解集.

【小问1详解】

设，则，所以

则时，，

故

画出的图象，如图所示.

【小问2详解】

原不等式可化为或

∴或.

由图可知.

20. 为响应国家创新驱动发展战略，武汉市某高科技产业公司通过自主研发，将某一款高科技产品投入市场．已知2022年，生产此款产品预计全年需投入固定成本260万元，生产千件产品，需另投入资金万元，且.现每台产品售价为0.9万元时，当年内生产的产品当年能全部销售完.

（1）求2022年该企业年利润（万元）关于年产量（千件）的函数关系式；

（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大?最大年利润为多少?

（注：利润=销售额-成本）

【答案】（1）   

（2）2022年产量为100千台时，该企业所获年利润最大，最大年利润为8990万元.

【解析】

【分析】（1）利润销售额投入资金成本，故，进而列出分段函数即可.

（2）利用二次函数和对勾函数的性质，分类讨论和时，即可求出的最大值.

小问1详解】

当时，

当时，

所以.

【小问2详解】

当时，，所以当时，；

当时，，

当且仅当时，

综上，2022年产量为100千台时，该企业所获年利润最大，最大年利润为8990万元.

21. 已知函数.

（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（2）若对一切，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）构造函数，讨论其对称轴和区间之间的位置关系，在不同情况下结合二次函数单调性求其最小值，结合题意，即可求得参数范围；

（2）构造关于的一次函数，根据题意，即可求得结果.

【小问1详解】

∵，∴对恒成立，即对恒成立，

令，，

∴，因为的对称轴为，开口向上，

根据对称轴与区间的位置关系，分以下三种情况讨论，

①当，即时，∵在上单调递增，

∴，

∴，∴无解；

②当时，即时，∵在上单调递减，

∴，

∴，解得，

∴实数的取值范围为；

③当，即时，∴，

∴，解得，

∴实数的取值范围为．

综合①②③可得，实数的取值范围是；

【小问2详解】

对一切恒成立，

∴对一切恒成立，

令，，要使在区间上恒成立，

则，即，解得或，

∴实数的取值范围是．