江西省赣西重点学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（A卷）（含答案）

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这是一份江西省赣西重点学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（A卷）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每小题5分共40分）
1．若经过点和的直线的斜率为2，则（）
A．1B．2C．3D．4
2．设点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（）
A．B．
C．D．
3．平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（）
A．B．
C．D．
4．已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（）
A．B．9C．16D．25
5．平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（）
A．线段B．圆C．椭圆D．不存在
6．已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（）
A．B．C．D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（）

A．B．
C．D．
8．已知向量，，若，，则的值为（）
A．3或1B．2C．1或2D．2
二、多选题（每小题5分共20分）
9．以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（）
A． B． C． D．
10．已知过点的直线与椭圆交于、两点，则弦长可能是（）
A．1B．C．D．3
11．设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（）
A．B．
C．D．
12．下列结论错误的是（）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．过两点的直线方程为
三、填空题（每小题5分共20分）
13．已知点到直线的距离为2，则．
14．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 .
15．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为

16．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，，且对于任意，，，则的最小值为，此时．
四、解答题（共70分）
17（10分）．已知三角形的三个顶点是.
(1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在直线的方程.
18（12分）．已知直线.
(1)求证：直线过定点M；
(2)若直线分别交x轴、轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点，求的最小值.
19（12分）．已知是椭圆的两个焦点，，为上一点.
(1)求椭圆的标准方程； (2)若为上一点，且，求的面积.
20（12分）．设点P是抛物线上的一个动点.
(1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值；
(2)若，求的最小值.
21（12分）．已知，．
(1)求； (2)当时，求实数k的值．
22（12分）．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求：
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)点到平面的距离；
(3)求与平面所成角的正弦值.
高二数学期中考试参考答案：（A卷）
一单选题
1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．A 7．D 8．A
二多选题
9．BD 10．BC 11．BD 12．ACD
三填空题
13． 14．9 15． 16． 1 3
四解答题
17【详解】（1）由题意可得,
由斜截式可得直线方程为；分
（2）,所以边上的高所在直线的斜率为，
由点，所以边上的高所在直线方程为分
18．【详解】（1）证明：直线整理可得
当时不论为何值，，此时，，则直线恒过定点分
（2）设，，其中，，则直线AB的方程可写成，
将代入得，，分
故，
当且仅当时取等号，故的最小值为分
19．【详解】（1）解：设椭圆的焦距为，因为，可得，所以，
则，，
由椭圆的定义可得，所以，
故椭圆C的标准方程为分
（2）解：由，可得，
又由椭圆的定义，可得，
平方得，即，
解得，所以的面积分
20．【详解】（1）如图，易知抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义知点到直线的距离等于点到焦点的距离.
于是，问题转化为在曲线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小.
显然，连接与抛物线的交点即为所求点，故最小值为＝.
分
（2）如图，过点作垂直于准线于点，过点作垂直准线于点，交抛物线于点，

此时，，那么,即最小值为分
21．【详解】（1）因为，，分
所以，，分
所以分
（2）因为，，
所以，分
由（1），
因为，所以，
所以，解得分
22．【详解】（1）因为直三棱柱，所以平面，又因为，所以两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系分，
由题意可得，所以，，所以，
即异面直线与所成角的余弦值为分
（2）设平面的法向量，
因为，，
所以，解得，分
又因为，所以点到平面的距离分
（3）设与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为分