2023-2024学年山东省聊城市高一上学期11月期中考试数学联考试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省聊城市高一上学期11月期中考试数学联考试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|x是10的正约数}，B={x|x是小于10的素数}，则A∩B=
A. {1,2,5}B. {2,5}C. {2,3,5,7,10}D. {1,2,3,5,7,10}
2.设命题p：∃n∈N，n2+n<2，则下列表示的¬p正确的是
( )
A. ∀n∈N，n2+n>2B. ∀n∉N，n2+n≥2
C. ∃n∉N，n2+n≥2D. ∀n∈N，n2+n≥2
3.下列四个条件中，是“xA. x4.设函数f(x)=1,x∈Q,0,x∈∁RQ,g(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,则g[f( 121)]的值为
A. 2B. 1C. 0D. -1
5.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如[-2.8]=-3，[3.6]=3.若不等式4[x]2+24[x]-45<0成立，则实数x的取值范围是
A. -152,32B. [-8,2]C. (-8,1]D. [-7,2)
6.设函数f(x)=x+1x+t,x>0,x2+2tx+t2,x≤0,，若f(0)是f(x)的最小值，则实数t的取值范围是
A. [-1,2]B. [-1,0]C. [1,2]D. [0,2]
7.某家庭购买了一套三居室的房子，需要对三居室进行粉刷，粉刷方案要求：每个居室只用一种颜色，且三个居室各不相同．已知三个居室的粉刷面积(单位：m2)分别为a，b，c，且aA. ax+by+czB. ay+bz+cxC. az+by+cxD. ay+bx+cz
8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+2)=-f(x)，且当-1≤x≤0时，f(x)=-x2+1，则f(-2023)=
A. -3B. -1C. 0D. 1
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知集合A={x|x2-x=0}，B={x|x⊆A}，则下列表示正确的是
A. ⌀⊆BB. ⌀∈BC. A⊆BD. A∈B
10.已知函数f(x)= t-x2|x+2|-2是奇函数，则实数t的可能取值为
A. 1B. 4C. 9D. 16
11.设a>0>b，若a-b=2，且a+b≠0，则下列不等式恒成立的是
A. ab<-1B. 1a-1b>2C. a2+b2>2D. a+b<0
12.对于分式不等式x2-x-2x2-4x+3>0有多种解法，其中一种方法如下，将不等式等价转化为(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0，然后将对应方程(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)=0的所有根标注在数轴上，形成(-∞，-1)，(-1,1)，(1,2)，(2,3)，(3,+∞)五个区间，其中最右边的区间使得f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)的值为正值，并且可得x在从右向左的各个区间内取值时f(x)的值为正、负依次相间，即可得到所求不等式的解集．利用此法求解下列问题：定义区间(a，b)、[a，b)、(a，b]、[a，b]的长度均为b-a(b>a)，若满足(x+1)(x-t)x(x+2)≤0的x构成的区间的长度为2，则实数t的取值可以是
A. -3B. -2C. -1D. 1
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若关于x的不等式ax-1x-b>0的解集是x|-1214.若函数f(x)=ax2+2x-3在[1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为_________．
15.对于任意实数a，b，定义max{a,b}=a,a≥b,b,a0)的最小值为_________．
16.为了保证信息安全传输，有一种系统称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文 密文 密文 明文y.现在加密密钥为幂函数，解密密钥为反比例函数，过程如下：发送方发送明文“4”，通过加密后得到密文“2”，再发送密文“2”，接受方通过解密密钥得到明文“6”.若接受方得到明文“4”，则发送方发送的明文为_________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知全集U=R，集合A=xx-3x-1≤0，集合B={x|2m(1)若m=-1，求A∪B；
(2)若集合A，B满足条件______(从下列三个条件中任选一个作答)，求实数m的取值集合．条件①x∈A是x∈B的充分条件；②A∩(∁UB)=⌀；③∀x1∈A，∃x2∈B，使得x1=x2．
18.(本小题12分)
已知实数a，b满足a>0，b>0，且ab-a-2b=0．
(1)求a+b的最小值；
(2)若不等式a(b+1)-4 2≥x2+x恒成立，求实数x的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=(a-1) 4-ax(a≠1)．
(1)若a<0时，求函数f(x)的定义域；
(2)若对∀x∈(0,1]时，函数f(x)均有意义，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)在区间(0,1]上为减函数，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
随着人类生活质量的提高，生活用水越来越多，水污染也日益严重，水资源愈来愈成为世界关注的问题，许多国家都积极响应节约水资源的号召．为此我们的国家也提出了比较科学的处理污水的办法．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水的压力，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．该企业经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)=k50x+250(x≥0,k为常数).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．
(1)试解释C(0)的实际意义，根据题意求出y关于x的函数关系式；
(2)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
(3)当设备占地面积x为多少时，y的值最小？
21.(本小题12分)
学习与探究问题：正实数x，y，满足x+y=1，求1x+4y的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：1x+4y=1x+4y(x+y)=5+yx+4xy≥5+2 yx⋅4xy=9，当且仅当yx=4xy，即y=2x，而x+y=1时，即x=13，y=23且时取等号成立．这种解题方法叫作“1”的代换．
(1)利用上述求解方法解决下列问题：若实数a，b，x，y满足x2a2-y2b2=1，试比较a2-b2与(x-y)2的大小，并注明等号成立的条件；
(2)利用(1)的结论，求T= 9t-8- t-1的最小值，并注明使得T取得最小值时t的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x2-ax+1，g(x)=|x+1|+|x-2|．
(1)若命题：∃x∈R，f(x)<-3为假命题，求实数a的取值范围；
(2)求函数g(x)的最小值；
(3)若∃x>0，∀t∈R，不等式f(x)+xg(x)+4 2xt-4t2<0恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
本题考查交集的运算，属于基础题．
【解答】
解：A={1,2,5,10}，B={2,3,5,7}；
∴A∩B={2,5}．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查存在量词命题的否定，属于基础题．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题直接写出即可．
【解答】
解：根据存在量词命题的否定，可得：
若p：∃n∈N，n2+n<2，则¬p：∀n∈N，n2+n≥2．
故选D．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
根据充分不必要条件的概念逐项即可判断．
【解答】
解： ∵x∴x又当x=12，y=1时，x∴x∴x由x又因为x由x所以x2由x所以x3故选A．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数性质的合理运用.直接利用分段函数的性质求解．
【解答】
解：由f(x)=1,x∈Q,0,x∈∁RQ，得f( 121)=f(11)=1，
因为g(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,所以g[f( 121)]=g(1)=1．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的新定义问题，一元二次不等式的求解问题，属于基础题．
先解一元二次不等式，结合新定义求解即可．
【解答】
解：由4[x]2+24[x]-45<0得(2[x]+15)(2[x]-3)<0，解得-152<[x]<32，
则-7≤[x]≤1，
根据取整函数定义可知-7≤x<2．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查分段函数，考查函数的最值问题．
当x>0时，可求得此时f(x)min=f(1)=2+t；当x⩽0时，根据二次函数性质可知t>0不合题意，若t⩽0，此时f(x)min=f(0)=t2，根据f(0)是f(x)的最小值可知f(0)⩽f(1)，从而构造不等式求得结果．
【解答】解：当x>0时，f(x)=x+1x+t⩾2 x⋅1x+t=2+t(当且仅当x=1时取等号)，
当x≤0时，f(x)=(x+t)2，
当t>0时，f(x)在(-∞,0]上的最小值为f(-t)，不合题意，
当t⩽0时，f(x)在(-∞,0]上单调递减， ∴f(x)min=f(0)=t2，
∵f0是f(x)的最小值，
∴t2⩽2+t且t⩽0，
∴a∈[0,2]．
故选D
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查作差法比较不等式的大小，属基础题．
作差法逐个选项比较大小可得．
【解答】
解：由a可得ax+by+cz-(ay+bz+cx)=(a-c)(x-y)+(b-c)(y-z)>0，
则ax+by+cz>(ay+bz+cx);
ay+bz+cx-(az+by+cx)=(a-b)(y-z)>0，
则ay+bz+cx>(az+by+cx);
az+by+cx-(ay+bx+cz)=(c-a)(y-z)+(c-b) (x-y) < 0，
则az+by+cx<(ay+bx+cz)．
即最低的总费用az+by+cx．
8.【答案】C
【解析】本题考查函数的周期性和奇偶性，
先得到函数的周期性，结合奇偶性即可得解。
解：由f(x+2)=-f(x)可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，即f(x+4k)=f(x)(k∈Z)，f(-2023)=f(-2024+1)=f(1)=f(-1)=-(-1)2+1=0．
或f(-2023)=f(2023)=f(2024-1)=f(-1)=0．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】本题主要考查的是元素与集合的关系，集合的关系，集合的表示法，属于基础题．
利用列举法表示A，B，利用元素与集合关系，集合间的关系，逐项判断即可．
【解答】解：由题，A={x|x2-x=0}={0,1}，
B={x|x⊆A}={⌀,{0},{1},{0,1}}，
则⌀⊆B，⌀∈B，A∈B均正确．
故选ABD．
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．
f(x)= t-x2|x+2|-2中，可得t≥x2，再利用奇函数定义，求得-2≤x≤2，由此能求出t的取值范围．
【解答】
解：由f(x)= t-x2|x+2|-2可得t≥x2，且x≠0，且x≠-4，
而f(-x)+f(x)=0，即 t-x2|-x+2|-2+ t-x2|x+2|-2=0，
整理得|x-2|+|x+2|=4，则-2≤x≤2，于是只需0故选AB
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了不等式比较大小，是基础题．
利用不等式的性质及基本不等式对各个选项逐一验证即可．
【解答】解：a(-b)≤(a-b2)2=1，ab≥-1;1a-1b=12(1a+1-b)[a+(-b)]≥2，
a2+b2≥12[a+(-b)]2=2;|a+b|= a2+b2+2ab= (a-b)2+4ab≥ 4-4=0，
而a+b≠0，则上述等号均不成立，则ab>-1，1a-1b>2，a2+b2>2，a+b>0．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了分式不等式，是中档题，由(x+1)(x-t)x(x+2)≤0等价于x(x+1)(x+2)(x-t)≤0且x≠0，且x≠-2，再对t进行分类讨论可得答案
【解答】
解：(x+1)(x-t)x(x+2)≤0等价于x(x+1)(x+2)(x-t)≤0且x≠0，且x≠-2．
当t=-3时满足条件的x构成的区间为[-3,-2)∪[-1，0)，长度为2，符合题意，A正确;
当t=-2时满足条件的x构成的区间为[-1,0)，长度为1，不符合题意，B不正确;
当t=-1时满足条件的x构成的区间为(-2,0)，长度为2，符合题意，C正确;
当t=1时满足条件的x构成的区间为(-2,-1]∪(0，1]，长度为2，符合题意，D正确．
13.【答案】-5
【解析】【分析】
本题考查分式不等式，属于基础题．
由题意，可得a<0，且-12，3是a(x-1a)(x-b)=0的两根，即可求出结果．
【解答】
解：由ax-1x-b>0的解集是{x|-12可得a<0，且-12，3是a(x-1a)(x-b)=0的两根，
即1a=-12，b=3，得a=-2，
则a-b=-5．
14.【答案】[0,+∞)
【解析】【分析】
本题考查二次函数的单调性，注意讨论a=0的情况．
分a=0，a>0及a<0讨论即可求解．
【解答】
解：当a=0时，f(x)=2x-3在[1,+∞)上单调递增，符合题意；
当a>0时，f(x)的对称轴为x=-22a=-1a，
要f(x)在[1,+∞)上单调递增，则-1a⩽1，
因为a>0，则-1a⩽1恒成立，故a>0符合题意；
a<0时，f(x)的图像开口向下，不可能在[1,+∞)上单调递增．
综上所述，a⩾0．
15.【答案】1
【解析】【分析】本题主要考查的是分段函数，函数的最值，属于中档题．
讲h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0)表示为分段函数的形式，再求其最值即可．
【解答】解：由题，当x>0时，由x=x>1x，解得x>1．
所以hx=1x,01,
当x∈0,1,hx∈1,+∞；当x∈1,+∞，hx∈1,+∞．
所以当x=1时，函数h(x)有最小值1．
即函数h(x)的最小值为1．
16.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查新运算，考查幂函数的解析式求解，属于基础题．
根据题意中求出的解密密钥为y1=x12，及解密密钥y2=12x，即可解答．
【解答】
解：设加密密钥为幂函数y1=xa，4a=2，则α=12，则y1=x12，
解密密钥为反比例函数y2=kx，6=k2，k=12，则y2=12x，
所以通过逆运算可得，当接受方得到明文“4”时，则发送方发送明文为“9”．
17.【答案】解：(1)集合A={x|x-3x-1≤0}={x|1当m=-1时，集合B={x|-2所以A∪B={x|-2(2)集合A={x|1当选择条件 ①时，满足的是充分条件，即A⊆B，
则集合B≠⌀，即2m<1-m，m<13，
要使A⊆B，只需2m≤1,1-m>3,，解得m<-2，
所以m<-2，即实数m的取值集合是{m|m<-2}(或写作(-∞,-2))．
当选择条件 ②时，A∩(CUB)=⌀，则集合B≠⌀，即2m<1-m，m<13，
由集合B={x|2m要使A∩(CUB)=⌀，只需2m≤1,1-m>3,，解得m<-2，
所以m<-2，即实数m的取值集合是{m|m<-2}(或写作(-∞,-2))．
当选择条件 ③时，∀x1∈A，∃x2∈B，使得x1=x2，
则集合B≠⌀，即2m<1-m，m<13，
且A⊆B，
要使A⊆B，只需2m≤1,1-m>3,，解得m<-2，
所以m<-2，即实数m的取值集合是{m|m<-2}(或写作(-∞,-2))．
【解析】本题考查集合的运算，充分必要条件的应用，考查运算求解能力，是中档题．
(1)可将m=-1代入集合B中，得到集合B的解集，即可求解出答案;
(2)可根据题意中三个不同的条件，列出集合A与集合B之间的关系，即可完成求解．
18.【答案】解：(1)∵a>0，b>0，且ab-a-2b=0，得2a+1b=1，
a+b=(a+b)(2a+1b)=3+2ba+ab≥3+2 2，
当且仅当a= 2b，即a=2+ 2，b=1+ 2时等号成立．
所以a+b的最小值为2 2+3．
(2)由ab-a-2b=0可得a(b+1)-4 2=2(a+b)-4 2，
由(1)可得a(b+1)-4 2=2(a+b)-4 2≥2(3+2 2)-4 2=6，
所以要使不等式a(b+1)-4 2≥x2+x恒成立，只需x2+x≤6，
即x2+x-6=(x-2)(x+3)≤0，解得-3≤x≤2.
所以实数x的取值范围为-3≤x≤2.
【解析】本题考查基本不等式的运用：求最值，以及不等式的解法及恒成立问题，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
(1)由ab-a-2b=0，得2a+1b=1，直接运用基本不等式，可得所求最小值，注意等号成立的条件；
(2)由题意可得x2+x≤[a(b+1)-4 2]min，由基本不等式可得其最小值，再由一元二次不等式的解法，可得所求范围．
19.【答案】解：(1)若a<0，要使函数f(x)有意义，由4-ax≥0，解得x≥4a，
即函数f(x)的定义域为{x|x≥4a}.
(2)4-0⩾04-a⩾0a≠1
解得：a<1或1(3)(单调性定义法)当a=0时f(x)=-2为常函数，不符合题意，再由(2)可知a<0，或0设∀x1，x2∈(0,1]，且x1f(x1)-f(x2)=(a-1) 4-ax1-(a-1) 4-ax2=(a-1)( 4-ax1- 4-ax2)
=a(a-1)(x1-x2) 4-ax1+ 4-ax2，
由00
要使函数f(x)在区间(0,1]上为减函数，只需f(x1)-f(x2)>0，则a(a-1)>0，解得a<0，或a>1，
故a<0或1
【解析】本题考查了求函数定义域，考查由函数单调性求参数范围，属于中档题．
(1)由偶次根号下非负，列不等式求出定义域；
(2)由题意列不等式组，求解即可；
(3)当a=0时f(x)=-2为常函数，不符合题意，再由(2)可知a<0，或00，求解即可．
20.【答案】解：(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费约为4万元，
则C(0)=k250=4，解得k=1000，
所以y=0.2x+100050x+250×4=0.2x+80x+5，
即y=0.2x+80x+5(x≥0)，
(2)要满足题意，则y≤7.2，即0.2x+80x+5≤7.2，
解得：11≤x≤20．
即设备占地面积x的取值范围为[11,20]．
(3)y=0.2x+80x+5=x+55+80x+5-1≥2 x+55×80x+5-1=2 16-1=7，
当且仅当x+55=80x+5，即x=15时等号成立．
所以设备占地面积为15m2时，y的值最小．
【解析】本题考查函数模型的实际应用，基本不等式，属于中档题．
(1)易知C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费约为4万元，再由C(0)=4，解得k，即可求出y关于x的函数关系式；
(2)由题0.2x+80x+5≤7.2，解不等式即可；
(3)y=x+55+80x+5-1，再利用基本不等式即可求解．
21.【答案】解：(1)a2-b2=(a2-b2)(x2a2-y2b2)=x2+y2-(b2x2a2+a2y2b2)
而b2x2a2+a2y2b2≥2 b2x2a2⋅a2y2b2=2|xy|，
当且仅当b2x2a2=a2y2b2时等号成立，
所以x2+y2-(b2x2a2+a2y2b2)≤x2+y2-2|xy|≤x2+y2-2xy=(x-y)2，
所以a2-b2≤(x-y)2，
当且仅当b2x2a2=a2y2b2且x，y同号时等号成立，此时x，y满足x2a2-y2b2=1;
(2)令x= 9t-8，y= t-1，令x2a2-y2b2=1，即9t-8a2-t-1b2=1，
则9a2=1b2，-8a2+1b2=1，解得a2=1，b2=19，
因为T= 9t-8- t-1，所以t≥1，9t-8=t-1+8t-7>t-1，则T>0，
所以T=x-y≥ a2-b2= 1-19=2 23，
当且仅当x=9y>0，即x=3 24，y= 212等号成立，此时t=7372．
所以当t=7372时，T有最小值2 23．
【解析】本题考查基本不等式、乘1法，属于较难题．
(1)结合乘1法与基本不等式即得；
(2)由(1)中的结论，结合参数求解即得．
22.【答案】解：(1)由命题：∃x∈R，f(x)<-3为假命题可得∀x∈R，2x2-ax+1≥-3，
2x2-ax+4≥0，Δ=a2-32≤0，
解得-4 2≤a≤4 2;
即实数a的取值范围是-4 2≤a≤4 2;
(2)g(x)=|x+1|+|x-2|=3x-1,x>2,3,-1⩽x⩽2,-2x+1,x<-1,
当x>2时，g(x)>3;当-1≤x≤2时，g(x)=3;当x<-1时，g(x)>3．
则g(x)min=3，当且仅当-1≤x≤2时成立，
(3)∀t∈R，f(x)+xg(x)+4 2xt-4t2<0，
即4t2-4 2xt-[f(x)+xg(x)]>0，
则Δ=32x2+16[f(x)+xg(x)]<0，
即4x2-ax+1+x|x+1|+x|x-2|<0，
则∃x>0，a>4x+1x+|x+1|+|x-2|，
而4x+1x≥4，当且仅当x=12时等号成立;
又由(2)知当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|有最小值3，即当x=12时，4x+1x+|x+1|+|x-2|的最小值为7．
所以a>(4x+1x+|x+1|+|x-2|)min=7．
故实数a的取值范围是a>7．
【解析】本题考查命题真假、函数最值以及不等式恒成立问题，属于中档题．
(1)由题意可得∀x∈R，2x2-ax+1≥-3，进而求解；
(2)对x分类讨论求解；
(3)由题意4t2-4 2xt-[f(x)+xg(x)]>0，进而参变分离求解即可．