2023-2024学年山东省聊城市水城中学等校高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省聊城市水城中学等校高二（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.正方体的棱长从1增加到2时，正方体的体积平均膨胀率为( )
A. 8B. 7C. 72D. 1
2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数的和为( )
A. 28B. 26C. 24D. 20
3.设定义在(a,b)上的可导函数f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极值点的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且点(a2000,a20)在直线x+y−2=0上，则S2019=( )
A. 2019B. 2020C. 4038D. 4040
5.下列式子不正确的是( )
A. (3x2+csx)′=6x−sinxB. (lnx−2x)′=1x−2xln2
C. (x+1x)′=1+1x2D. (sinxx)′=xcsx−sinxx2
6.在等差数列{an}中，a1=−2022，其前n项和为Sn，若S1010−S66=4，则S2023=( )
A. 2022B. 0C. −2022D. 2023
7.下列不等式中，对任意x∈(0,+∞)的恒成立的是( )
A. ex≥e(x+1)B. sinx>x
C. ln(x+1)≥x−12x2D. ln x≤x−1x+1
8.用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)=1+n(n+1)2.”在证明第二步归纳递推的过程中，用到f(k+1)=f(k)+( )
A. k−1B. kC. k+1D. k(k+1)2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，则使{an}的前n项和Sn<0成立的自然数n可能为( )
A. 17B. 18C. 19D. 20
10.对于不等式 n2+2n①当n=1时， 12+2<1+2，不等式成立；
②假设当n=k(n∈N*)时，不等式成立，即 k2+2k则当n=k+1时， (k+1)2+2(k+1)= k2+4k+3< (k2+4k+3)+(2k+6)= (k+3)2=(k+1)+2．
故当n=k+1时，不等式成立．
则下列说法错误的是( )
A. 过程全部正确B. n=1的验证不正确
C. n=k的归纳假设不正确D. 从n=k到n=k+1的推理不正确
11.设函数f(x)=ex(x−1)2(x−2)，则( )
A. f(x)有两个极大值点B. f(x)有两个极小值点
C. x=1是f(x)的极大值点D. x=1是f(x)的极小值点
12.在数列{an}中，a1=2,an+1n=2ann+1，则( )
A. 数列{nan}是等差数列
B. 数列{nan}是等比数列
C. 当n≥2时，{an}单调递增
D. 数列{an−5}的前n项和Sn的最小值为S5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y=e2x在区间[0,1]上的平均变化率为______．
14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1，S2，3a3成公比为q的等比数列，则q的值为______．
15.定义在区间(−2π,2π)上的函数f(x)=xcsx−sinx，则f(x)的单调递减区间是______．
16.已知函数f(x)=x2lnx−13x3+x，若对于(1,+∞)内的任意两个数x1，x2，当x1≠x2时，f(x1)−f(x2)x1−x2四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
设数列{an}满足an+1=an ​2−nan+1，n=1，2，3，…．
(1)当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出{an}的一个通项公式；
(2)当a1≥3时，用数学归纳法证明对所有n≥1，有an≥n+2．
18.(本小题12分)
(1)求曲线y=x2x−1在点(1,1)处的切线方程；
(2)求过点(0,−1)与曲线y=xlnx相切的切线方程．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=1+lnxx−a(a∈R)．
(1)若a=0，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=4且an+1=Sn+4(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=(−1)n+12n+1nlg2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
21.(本小题12分)
设函数f(x)=x2+axex(a∈R)．
(1)若f(x)在x=0处取得极值，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在[1,2]上为增函数，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知等差数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，且a3=5，S3=9．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}(n∈N*)，{bn}的前n项和为Tn，若q>0且b3=a5，T3=13，求Tn；
(3)设cn=1anan+1，求数列{cn}的前n项和Rn．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：正方体的棱长从1增加到2时，
正方体的体积平均膨胀率为V′=V(2)−V(1)2−1=23−132−1=7．
故选：B．
利用平均变化率求解．
本题主要考查平均变化率以及正方体的相关知识，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意，设这四个数为x，y，12−y，16−x，
则x+(12−y)=2yy(16−x)=(12−y)2，解得x=0y=4，或x=15y=9，
所以这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1，
所以这四个数的和为28．
故选：A．
根据题意，可设这四个数为x，y，12−y，16−x，从而x+(12−y)=2yy(16−x)=(12−y)2，进一步求出这四个数即可得出这四个数的和．
本题考查等差数列与等比数列的综合问题，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据导数与函数单调性的关系可得函数f(x)在区间(a,b)上的单调性为：增，减，增，减，
结合函数的单调性可得函数有3个极值点．
故选C．
导数的正负与函数单调性的关系是：导数小于0则函数是减函数，导数大于0则函数是增函数，进而可以分析出正确答案．
解决此类问题的关键是准确理解导数的符号与原函数单调性之间的关系，导数小于0则函数是减函数，导数大于0则函数是增函数，进而可以分析出正确答案．
4.【答案】A
【解析】解：因为点(a2000,a20)在直线x+y−2=0上，所以a2000+a20=2；
因为等差数列{an}满足a2000+a20=a1+a2019，
所以S2019=a1+a20192×2019=2019．
故选：A．
利用等差数列的性质求解，根据a2000+a20=a1+a2019可求答案．
本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：对于A选项，(3x2+csx)′=6x−sinx，A对；
对于B选项，(lnx−2x)′=1x−2xln2，B对；
对于C选项，(x+1x)′=1−1x2，C错；
对于D选项，(sinxx)′=xcsx−sinxx2，D对．
故选：C．
利用导数的运算法则逐项判断，可得出合适的选项．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：在等差数列{an}中，a1=−2022，其前n项和为Sn，
∵S1010−S66=4，
∴10a1+10×92d10−6a1+6×52d6=2d=4，
解得d=2，
则S2023=2023a1+2023×20222d=2023×(−2022)+2023×20222×2=0．
故选：B．
利用等差数列前n项和公式，由S1010−S66=4，求出d=2，由此能求出S2023的值．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：对于A，当x=1时，ex≥e(x+1)，即e≥2e不成立，故错误；
对于B，当x=1时，由sinx>x可得sin1>1不成立，故错误；
对于C，令f(x)=ln(x+1)+12x2−x(x>0)，则f′(x)=1x+1+x−1=x2x+1>0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)>f(0)=0，即对任意x∈(0,+∞)，ln(x+1)≥−12x2+x恒成立，故正确；
对于D，取x=e2，则此时ln x=lne=1>e2−1e2+1，故错误．
故选：C．
举反例x=1可以判断A，B；
对于C，令f(x)=ln(x+1)+12x2−x(x>0)，利用导数可得f(x)>f(0)=0，从而即可判断；
对于D，举反例x=e2，即可判断．
本题考查了导数的综合运用、函数恒成立问题，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：当n=k(k≥2)时，有f(k)=1+k(k+1)2
那么当n=k+1时，f(k+1)=1+(k+1)(k+2)2，
∴从“k到k+1”左端需增加的代数式1+(k+1)(k+2)2−1−k(k+1)2=k+12(k+2−k)=k+1，
∴在证明第二步归纳递推的过程中，用到f(k+1)=f(k)+(k+1)，
故选：C．
写出当n=k时和n=k+1时的表达式，把写出的表达式相减，得到结论．
本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
9.【答案】ABC
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，由a10<0，a11>0，得d>0，
又a11>|a10|，所以a11>−a10，即a10+a11>0，
故S20=a1+a202×20=10(a10+a11)>0，S19=a1+a192×19=19a10<0，
故使{an}的前n项和Sn<0成立的最大的自然数为19．
故选故选：ABC．
根据a10<0，a11>0，又a11>|a10|，可得所以a11>−a10，进一步分析可得S20=a1+a202×20=10(a10+a11)>0，S19=a1+a192×19=19a10<0，从而可确定使{an}的前n项和Sn<0成立的最大的自然数为19．
本题考查考查等差数列的性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：适合命题的第一个自然数n=1，验证n=1时过程正确；
假设当n=k(n∈N*)时，不等式成立，即 k2+2k在n=k+1时，没有应用n=k时的假设，即从n=k到n=k+1的推理不正确，
故D错误，ABC正确．
故选：ABC．
根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论．
本题考查利用数学归纳法证题的步骤，是基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：根据题意，可得f′(x)=ex(x−1)(x2−3)，
于是
因此函数f(x)有2个极小值点x=− 3, 3，以及1个极大值点x=1．
故选：BC．
求出函数的导数，讨论其符号后可得正确的选项．
本题主要考查利用导数求函数的极值点，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：由an+1n=2ann+1，
可得(n+1)an+1=2nan，
因为a1=2，
即(n+1)an+1nan=2，
所以数列{nan}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以nan=2n，
则an=2nn，
即A错误，B正确；
当n≥2时，an+1−an=2n+1n+1−2nn=2n⋅n−1n(n+1)>0，
所以数列{an}单调递增，
即C正确；
因为a5−5=255−5>0,a4−5=244−5<0，
所以当n<5时，an−5<0，
当n≥5时，an−5>0，
所以Sn的最小值为S4，
即D错误．
故选：BC．
由题意可得数列{nan}是首项为2，公比为2的等比数列，然后结合等比数列通项公式的求法及数列的单调性逐一判断即可．
本题考查了数列的递推式，重点考查了等比数列通项公式的求法，属中档题．
13.【答案】e2−1
【解析】解：由题意可得平均变化率为：
f(1)−f(0)1−0=e2−11=e2−1．
故答案为：e2−1．
利用平均变化率的概念和公式运算即可得解．
本题主要考查平均变化率的求解，考查计算能力，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
S2=2a1+d，a3=a1+2d，
a1，S2，3a3成公比为q的等比数列
所以(2a1+d)2=3a1(a1+2d)，
整理得，a1=d，
则q=S23a1=3d3d=1．
故答案为：1．
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质及等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
15.【答案】(−π,π)
【解析】解：由题意f′(x)=csx+x(−sinx)−csx=−xsinx．
令f′(x)<0，即−xsinx<0，得xsinx>0，
因为x∈(−2π,2π)，所以当x>0时，由sinx>0，可得x∈(0,π)；
当x<0时，由sinx<0，可得x∈(−π,0)，又f(x)为奇函数，
故f(x)的单调递减区间是(−π,π)．
故答案为：(−π,π)．
根据f(x)求出f′(x)，令f′(x)<0，解不等式即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】[12,+∞)
【解析】解：已知f(x)=x2lnx−13x3+x，函数定义域为(0,+∞)，
不妨设x1>x2，
若对于(1,+∞)内的任意两个数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2即f(x1)−ax12不妨设g(x)=f(x)−ax2=x2lnx−13x3+x−ax2，函数定义域为(1,+∞)，
要使f(x1)−ax12此时函数g(x)在定义域上单调递减，
可得g′(x)=2xlnx+x−x2+1−2ax≤0在(1,+∞)上恒成立，
即2a≥2xlnx−x2+x+1x在(1,+∞)上恒成立，
不妨设h(x)=2xlnx−x2+x+1x，函数定义域为(1,+∞)，
可得h′(x)=−(x−1)2x2<0，
所以函数h(x)在定义域上单调递减，
此时h(x)所以2a≥1，
解得a≥12．
故答案为：[12,+∞)．
由题意，设x1>x2，将问题转化成f(x1)−ax12本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
17.【答案】解：(1)由a1=2，则a2=a12−a1+1=4−2+1=3，
则a3=a22−2a2+1=9−6+1=4，
a4=a32−3a3+1=16−12+1=5．
猜想：an=n+1．
(2)证明：当n=1时，a1≥3=1+2，不等式成立；
假设n=k(k≥1)时不等式成立，即ak≥k+2，
则ak+1=ak2−kak+1=ak(ak−k)+1≥(k+2)(k+2−k)+1=2k+5>k+3，
即n=k+1时，不等式仍成立．
综上，对于所有n≥1，都有an≥n+2．
【解析】(1)分别取n=2，3，4依次计算得出，猜想：an=n+1；
(2)利用数学归纳法证明即可．
本题考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为y=x2x−1，所以y′=2x−1−2x(2x−1)2=−1(2x−1)2，
所以在点(1,1)的切线斜率为：y′|x=1=−1(2−1)2=−1，
所以曲线y=x2x−1在点(1,1)处的切线方程为：y−1=−1(x−1)，
即x+y−2=0．
(2)设切线的斜率为k，直线与曲线y=xlnx相切的切点坐标为(x0,y0)，则直线方程为y+1=kx，
因为y′=lnx+x⋅1x=lnx+1，所以k=lnx0+1，
又点(x0,y0)在切线上，所以x0lnx0+1=(lnx0+1)x0，
解得x0=1，则k=1，
所以直线方程为y+1=x，即x−y−1=0．
【解析】(1)对函数求导，根据导数的几何意义求解即可；
(2)设切线的斜率为k，直线与曲线y=xlnx相切的切点坐标为(x0,y0)，由导数的几何意义可得x0lnx0+1=(lnx0+1)x0，求出x0=1，即可求出切线方程．
本题主要考查导数的几何意义，属于中档题．
19.【答案】解：(1)若a=0，则f(x)=1+lnxx，
f′(x)=1−(1+lnx)x2=−lnxx2，
x∈(0,1)时，f′(x)>0；x∈(1,+∞)时，f′(x)<0．
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)．
(2)f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立⇔a≥1+lnxx的最大值，
由(1)可知：x=1时，函数y=1+lnxx取得最大值1，
∴a≥1，
∴a的取值范围是[1,+∞)．
【解析】(1)由a=0，可得f(x)=1+lnxx，利用导数运算法则可得f′(x)，进而得出其单调区间．
(2)f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立⇔a≥1+lnxx的最大值，利用(1)的结论可得函数y=1+lnxx的最大值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、等价转化方法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为an+1=Sn+4，
当n=1时，a2=S1+4=8，
当n≥2时，an=Sn−1+4，
所以an+1−an=an，
即an+1=2an(n≥2,n∈N*)，
又因为a2a1=84=2，满足上式，
所以{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，
则an=4×2n−1=2n+1．
(2)因为bn=(−1)n+12n+1nlg2an=(−1)n+12n+1n(n+1)=(−1)n+1(1n+1n+1)，
所以Tn=(11+12)−(12+13)+⋯+(−1)n+1(1n+1n+1)=1+(−1)n+1n+1．
【解析】(1)利用an与Sn的关系得到{an}为等比数列求解即可；
(2)利用裂项相消法求和即可．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于基础题．
21.【答案】解：(1)f′(x)=(2x+a)ex−(x2+ax)ex(ex)2=−x2−(a−2)x+aex，
因为f(x)在x=0处取得极值，
所以f′(0)=ae0=0，所以a=0，
当a=0时，f′(x)=−x2+2xex=−x(x−2)ex，
f′(x)=−x(x−2)ex=0，x=0，x=2，
所以随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
f(x)在x=0处取得极小值，
所以a=0．
(2)f′(x)=−x2−(a−2)x+aex≥0在[1,2]上恒成立，但不恒为零，
即−x2−(a+2)x+a≥0在[1,2]上恒成立，但不恒为零，
所以x2+(a−2)x−a≤0在[1,2]上恒成立，当不恒为零，
所以需12+(a−2)×1−a≤022+(a−2)×2−a≤0，解得a≤0，
当a=0时，f′(x)=−x2+2xex不恒为零，所以a≤0．
【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)，由题可得f′(0)=0，解得a=0，将a=0代入f′(x)验证f(x)的极值点，满足题意，故a=0．
(2)对f(x)求导得f′(x)，由题可列出关于x的不等式，将1，2代入x解，列不等式，即可得出a的取值范围．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
22.【答案】解：(1)a3=a1+2d=5S3=3a1+3×22d=9
解得a1=1d=2，
∴an=a1+(n−1)d=2n−1．
(2)由上可得，b3=a5=9，T3=13，
即9=b1q213=b11−q31−q，解得q=3，b1=1，
所以Tn=b1(1−qn)1−q=1×(1−3n)1−3=12(3n−1)．
(3)由(1)知，an=2n−1．
∴cn=1anan+1=1(2n−1)(2n+1)
=12(12n−1−12n+1)，
∴Rn=c1+c2+…+cn
=12[(1−13)+(13−15)+…+(12n−1−12n+1)]
=12(1−12n+1)=n2n+1．
【解析】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式以及裂项相消法求和．
(1)由a3=5，S3=9联立方程求出数列的首项和公差，然后求数列{an}的通项公式；
(2)根据T3=13，b3=a5，求出公比和首项，求出Tn即可；
(3)运用裂项相消法求和x
(−∞,− 3)
− 3
(− 3,1)
1
(1, 3)
3
( 3,+∞)
f′(x)
−
0
+
0
−
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
x
(−∞,0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
−
0
+
0
−
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减