2023-2024学年山东省实验中学高一上学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省实验中学高一上学期期中考试数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A={-1,0,1,2,3}，B={0,2,4}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. {0,2}B. {-1,1,3,4}C. {-1,0,2.4}D. {-1,0,1,2,3,4}
2.命题“∀x∈R都有x2+x+1>0”的否定是( )
A. 不存在x∈R，x2+x+1>0B. 存在x0∈R，x02+x0+1≤0
C. 存在x0∈R，x02+x0+1>0D. 对任意的x∈R，x2+x+1≤0
3.下列图象中，以M={x|0≤x≤1}为定义域，N={x|0≤x≤1}为值域的函数是( )
A. B.
C. D.
4.“x>12”是“1x<2”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数f2x+1=3x2+2，则f3的值等于
( )
A. 11B. 2C. 5D. -1
6.函数f(x)= 3+2x-x2的单调递增区间是( )
A. (-∞,1]B. [1,+∞)C. [1,3]D. [-1,1]
7.已知实数a≠0，函数f(x)=2x+a,x<1-x-2a,x≥1，若f(1-a)=f(1+2a)，则a的值为( )
A. 1B. -12C. -1D. 2
8.已知函数y= ax2+bx+c的定义域与值域均为[0,1]，则实数a的取值为( )
A. -4B. -2C. -1D. 1
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若a>b>0>c，则以下结论正确的是( )
A. ca>cbB. ac2>bc2C. a-b>b-cD. b+ca+c>ba
10.设正实数a、b满足a+b=1，则( )
A. ab有最大值12B. 1a+2b+12a+b有最小值3
C. a2+b2有最小值12D. a+ b有最大值 2
11.若定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)为奇函数，且对任意x1，x2∈[2,+∞)，x1≠x2已知[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0恒成立，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的图像关于点(-2,0)对称
B. f(x)在R上是增函数
C. f(x)+f(4-x)=4
D. 关于x的不等式f(x)<0的解集为(-∞,2)
12.设函数y=f(x)的定义域为R，对于任一给定的正数p，定义函数fp(x)=f(x),f(x)⩽pp,f(x)>p，则称fp(x)为f(x)的“p界函数”.若函数f(x)=x2-2x+1，则下列结论正确的是( )
A. f4(2)=4B. f4(x)的值域为[0,4];
C. f4(x)在[-1,1]上单调递减;D. 函数y=f4(x+1)为偶函数．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知集合M={1,m+2,m2+4}，且5∈M，则m的值为 ．
14.函数f(x)= 1-x2x+1的定义域为 ．
15.函数f(x)=(a-5)x-2,x≥2x2-2(a+1)x+3a,x<2是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为
16.设f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，满足：x1f(x1)-x2f(x2)x1-x2>0，若f(2)=4，则不等式f(x)-8x>0的解集为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1(1)m=3时，求A∩B;
(2)若A∩B=B，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=(m2-m-5)xm+1，且函数在(0,+∞)上单增
(1)函数f(x)的解析式;
(2)若f(1-2a)19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2-bx，且f(-1)=-1，f(1)=3
(1)求f(x)解析式;
(2)判断并证明函数f(x)在区间(1,+∞)的单调性．
20.(本小题12分)
一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为λ，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5g砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5g砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客
(1)试分析顾客购得的黄金是小于10g，等于10g，还是大于10g?为什么?
(2)如果售货员又将5g的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比λ，设置为多少?请说明理由．
21.(本小题12分)
已知命题：“∀x∈[-1,3]，都有不等式x2-4x-m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值范围
(2)设不等式x2-3ax+2a2≥0(a≠0)的解集为B，若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义域在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=-x2+ax．
(1)当a=1时，求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)为R上的单调函数，且对任意的m∈[1,+∞)，f(2mt-4m2)+f(tm-1m2)>0恒成立，求实数t的范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查集合的交并补混合运算，属于基础题．
由Venn图可知阴影部分对应的集合为∁(A∪B)(A∩B)，然后根据集合的基本运算求解即可．
【解答】
解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为∁(A∪B)(A∩B)，
∵A={-1,0,1,2,3}，B={0,2,4}，
所以A∪B={-1,0,1,2,3,4}，A∩B={0,2}，
∴∁(A∪B)(A∩B)={-1,1,3,4}．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可得到结论．
【解答】解：∵命题为全称量词命题，
∴命题的否定是存在x0∈R，使得x02+x0+1≤0，
故选B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题利用图象考查了函数的定义，定义域及值域，属于基础题．
观察函数的定义域及值域可判断ABC；利用函数的定义可判断D.
解：
对于A，其对应函数的值域不是N=y0≤y≤1，A错误；
对于B，图象中存在一部分与x轴垂直，即此时x对应的y值不唯一，该图象不是函数的图象，B错误；
对于C，其对应函数的定义域为M={x|0≤x≤1}，值域是N={y|0≤y≤1}，C正确；
对于D，图象不满足一个x对应唯一的y，该图象不是函数的图象，D错误；
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分条件必要条件的判定，属于基础题．
根据不等式的性质及充分必要条件的定义判断．
【解答】
解：x>12时1x<2成立，1x<2时如1x=-1<2，则x=-1<12，
因此“x>12”是“1x<2”的充分不必要条件，
故答案选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查求函数值，属于基础题．
根据给定条件，令2x+1=3求出x，即可计算作答．
【解答】
解：函数f2x+1=3x2+2，令2x+1=3，得x=1，
所以f3=3×12+2=5．
故选：C．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复合函数的单调性，以及幂函数和二次函数的单调性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
设z=3+2x-x2，则y= z，由被开方式非负，求得f(x)的定义域，结合二次函数和幂函数的单调性，结合复合函数的单调性：同增异减，可得所求单调区间．
【解答】
解：设z=3+2x-x2，则y= z，
由3+2x-x2≥0，解得-1≤x≤3，
由于z=3+2x-x2在[-1,1]递增，在[1,3]递减，
又y= z在z∈[0,+∞)递增，
可得f(x)= 3+2x-x2的单调递增区间为[-1,1]．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分段函数，关键是判断出自变量所在的范围，属于基础题．
对a分类讨论判断出1-a，1+2a在分段函数的哪一段，代入求出函数值，解方程求出a．
【解答】
解：①当a>0时，1-a<1，1+2a>1，
由f(1-a)=f(1+2a)，
得2(1-a)+a=-(1+2a)-2a，
解得a=-1，不满足a>0，故舍去;
②当a<0时，1-a>1，1+2a<1，
由f(1-a)=f(1+2a)，
得-(1-a)-2a=2(1+2a)+a，
解得a=-12满足a<0，
故a=-12．
故选B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域和值域，二次函数的图象和性质的应用问题，是中档题．
讨论a>0和a<0时，根据函数的定义域和值域相等列方程求出实数a的值．
【解答】解：当a>0时，不等式ax2+bx+c≥0的解集是D=(-∞,x1]∪[x2,+∞)，
不满足f(x)的定义域和值域A=[0,1]，不合要求．
同理，当a=0时，不合要求．
当a<0时，函数f(x)的定义域为D=[0,1]，
即不等式ax2+bx+c≥0的解集是D=[0,1]，
所以c=0，-ba=1，①
此时f(x)max=f(-b2a)= b2-4a=b2 -a=1，②
由①②得-a=2 -a，解得a=-4．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查不等式性质，属于基础题．
对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于A、由a>b>0，得1a<1b，又c<0，则ca>cb，故A正确；
对于B、由c<0得c2>0，又a>b>0，则ac2>bc2，故B正确；
对于C、取a=2，b=1，c=-1，则a-b=1，b-c=2，则a-b对于D、取a=2，b=1，c=-2，显然错误
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式的性质的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于较难题．
【解答】
解：因为正实数a、b满足a+b=1．
对于A选项，由基本不等式可得 ab≤a+b2=12，当且仅当a=b=12时，等号成立，A选项正确；
对于B选项，由基本不等式可得1a+2b+12a+b=13(3a+3b)(1a+2b+12a+b)，
=13[(a+2b)+(2a+b)](1a+2b+12a+b)=13(2+2a+ba+2b+a+2b2a+b)≥13(2+2 a+2b2a+b⋅2a+ba+2b)=43，
当且仅当a=b=12时，等号成立，B选项错误；
对于C选项，a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2×(a+b2)2=(a+b)22=12，
当且仅当a=b=12时，等号成立，C选项正确；
对于D选项，∵( a+ b)2=a+b+2 ab≤2(a+b)=2，则 a+ b≤ 2，
当且仅当a=b=12时，等号成立，D选项正确．
故选：ACD．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性，以及利用单调性求解不等式，
由已知结合函数的对称性及单调性分别检验各选项即可判断．
【解答】
解：因为定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)为奇函数，
所以函数f(x)关于(2,0)对称，A错误；
因为对任意x1，x2∈[2,+∞)，都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0，
所以f(x)在[2,+∞)上单调递增，
根据函数的对称性可知f(x)在R上单调递增，B正确；
由f(x)关于(2,0)对称可知f(x)+f(4-x)=0，C错误；
因为f(x+2)为奇函数且定义域为R，所以f(2)=0，
由f(x)<0可得x<2，D正确．
故选：BD．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题属创新类型的函数定义题，主要考察学生的理解能力．
求出f4(x)=x2-2x+1,-1⩽x⩽32,x<-12,x>3，再对选项逐一加以判断，即可得到答案．
【解答】
解：由x2-2x+1≤4，解得-1≤x≤3，
因此f4(x)=x2-2x+1,-1⩽x⩽32,x<-12,x>3
对于A，f4(2)=22-2×2+1=1，故A错;
对于B，当-1≤x≤3时，0≤x2-2x+1≤4，结合f4(x)的解析式可知，f2(x)的值域为[0,4]，故B正确;
对于C，当-1≤x≤1时，f4(x)=x2-2x+1，结合二次函数性质可知，f4(x)在[-1,1]上单调递减，故C正确;
对于D，y=f4(x+1)=x2,-2⩽x⩽22,x<-22,x>2，结合图像可知函数y=f4(x+1)为偶函数，故D正确．
13.【答案】3或1
【解析】【分析】
本题主要考查集合与元素的关系的应用，是一个基础题．
利用元素与集合的关系确定m即可，注意进行验证．
【解答】
解：当m+2=5时，m=3，M={1,5,13}，符合题意；
当m2+4=5时，m=1或m=-1．
若m=1，则M={1,3,5}，符合题意；
若m=-1，则m+2=1，不满足元素的互异性，
故m=3或1．
14.【答案】(-12,1]
【解析】【分析】
本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，是基础题．
根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出自变量的取值范围．
【解答】
解：函数f(x)= 1-x2x+1中，
令1-x2x+1≥0，
得x-12x+1≤0，
解得-12所以函数f(x)的定义域为(-12,1]．
故答案为：(-12,1]．
15.【答案】1≤a⩽4
【解析】【分析】
由题意可得a-5<0a+1⩾22a-5-2⩽4-4a+1+3a，由此求得实数a的取值范围．
本题主要考查分段函数的单调性的性质，属于基础题．
【解答】
解：∵函数f(x)=(a-5)x-2,x≥2x2-2(a+1)x+3a,x<2为R上的减函数，
则a-5<0a+1⩾22a-5-2⩽4-4a+1+3a,
∴1≤a⩽4，
16.【答案】(-2,0)∪(2,+∞)
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．
根据题意，设F(x)=xf(x)，分析可得函数F(x)为偶函数且在(0,+∞)上为增函数，在(-∞,0)上为减函数，
而F(2)=2f(2)=8，再将原不等式化简，分x>0和x<0两种情况讨论，结合F(x)的单调性求得答案．
【解答】
解：因为对任意的x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，都有x1f(x1)-x2f(x2)x1-x2>0，
所以y=xf(x)在(0,+∞)上是增函数．
令F(x)=xf(x)，因为F(-x)=-xf(-x)=xf(x)=F(x)，所以F(x)为偶函数，
所以F(x)在(-∞,0)上是减函数，
又f(2)=4，所以F(2)=2f(2)=8，
又f(x)-8x=xf(x)-8x=F(x)-F(2)x>0．
当x>0时，F(x)-F(2)>0，即F(x)>F(2)，解得x>2，
当x<0时，F(x)-F(2)<0，即F(x)-2，所以-2所以不等式f(x)-8x>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).
故答案为(-2,0)∪(2,+∞).
17.【答案】解：(1)若m=3，则B={x|4则A∩B={x|4(2)因为A∩B=B，
所以B⊆A，
若B=⌀符合题意，此时2m-1≤m+1，解得m≤2，
若B≠⌀，则m+1<2m-1m+1≥-22m-1≤7,
解得2综上得m≤4．

【解析】本题考查集合的交并运算，同时考查集合关系中的参数取值范围，属于中档题．
(1)直接求出结果即可;
(2)由A∩B=B得B⊆A，然后分B是否为空集讨论求解即可．
18.【答案】解：(1)因为f(x)=(m2-m-5)xm+1是幂函数，
所以m2-m-5=1，
即m=3或m=-2，
因为fx在0,+∞上是增函数，所以m+1>0，
则m=3，故f(x)=x4．
(2)因为fx=x4在0,+∞上是增函数，易知且为偶函数，
若f(1-2a)所以1-2a<2，解得-12故a的取值范围为-12,32．

【解析】本题考查幂函数的定义和单调性，属于中等题．
(1)由幂函数的定义可得，m2-m-5=1，再由fx在0,+∞上为增函数，则m+1>0，然后，根据以上条件，求解即可；
(2)由fx为R上的增函数邱伟偶函数，可得1-2a<2，求出a的范围．
19.【答案】解(1)∵f(-1)=-1，f(1)=3，∴a+b=-1且a-b=3，解得a=1，b=-2．
所以函数的解析式为f(x)=x2+2x．
(2)解：函数f(x)在(1,+∞)单调递增．
证明：任取x1，x2∈(1,+∞)，且x1∴f(x2)-f(x1)=x22-x12+2x2-2x1=(x2-x1)(x2+x1-2x1x2)
∵x2>x1，∴x2-x1>0．
∵x2>x1>1，∴x2+x1>2，x2x1>1，∴0<1x1x2<1，0<2x1x2<2，
∴-2x1x2>-2，所以x2+x1-2x2x1>0，
所以f(x2)>f(x1)，所以函数f(x)在(1,+∞)单调递增．
【解析】本题考查求函数解析式，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法和过程，属于中档题．
(1)根据f(-1)=-1，f(1)=3即可求出a=1，b=-2，从而得出f(x)=x2+2x；
(2)容易判断f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，根据增函数的定义证明：设x1，x2∈(1,+∞)，并且x120.【答案】解：(1)由于天平两臂不等长，设天平左臂长为a，右臂长为b，且a≠b，
先称得黄金为xg，后称得黄金为yg，则
bx=5a，ay=5b，则x=5ab，y=5ba，所以x+y=5ab+5ba≥2 5ab⋅5ba=10，
当且仅当5ab=5ba，即a=b时取等号，
由a≠b，所以x+y>10，
顾客购得的黄金是大于10g；
(2)由(1)再一次将5g的砝码放在天平左盘，再取黄金mg放在右盘使之平衡，
则此时有5a=bm，此时有m=5ab，
所以三次黄金质量总和为：
x+y+m=5ab+5ba+5ab=10ab+5ba≥2 10ab⋅5ba=10 2，
当且仅当10ab=5ba，即b= 2a时取等号，
∴ab= 22=λ，
所以三次黄金质量总和要最小，则左臂长和右臂长之比λ= 22．
【解析】(1)设天平的左臂长为a，右臂长b，则a≠b，售货员现5g的砝码放在左盘，将黄金xg放在右盘使之平衡，然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金yg放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为(x+y)g，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论；
(2)再一次将5g的砝码放在天平左盘，再取黄金mg放在右盘使之平衡，加上前两次利用基本不等式进行分析即可．
本题考查基本(均值)不等式的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由命题：“∀x∈[-1,3]，都有不等式x2-4x-m<0成立”是真命题，
得x2-4x-m<0在x∈[-1,3]恒成立．
∴当x∈[-1,3]时，m>(x2-4x)max，
设f(x)=x2-4x，-1⩽x⩽3，又f(x)在[-1,2]上单调递减.在[2,3]上单调递增，
f(-1)=5，f(3)=-3，∴f(x)max=5，∴m>5，
即A=(5,+∞)；
(2)由题;若x∈A是x∈B的充分条件，则A⊆B，
不等式x2-3ax+2a2≥0，即(x-a)(x-2a)≥0，
当2a=a，即a=0时，与条件矛盾，不合题意，
当2a>a即a>0时，集合B=(-∞,a]∪[2a,+∞)，
由A⊆B得2a⩽5，所以a⩽52．
又a>0，此时0当2a由A⊆B，得a⩽5，又a<0，此时a<0．
综上，a∈-∞,0∪(0,52]
【解析】本题主要考查了含参一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，以及充分、必要条件的理解转化，集合的基本关系等，属于中档题．
(1)分离出m，将不等式恒成立转化为求函数的最值，求出(x2-4x)max即可求出m范围；
(2)分析讨论一元二次不等式对应方程的两个根的大小，写出解集A，由x∈A是 x∈B的充分条件得出A是B的子集，进而求出a的范围．
22.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=-x2+x，
当x<0时，-x>0，又因为f(x)为奇函数，
所以f(x)=-f(-x)=-(-x2-x)=x2+x，
所以f(x)=-x2+x,x≥0x2+x,x<0．
(2)当a≤0时，对称轴x=a2≤0，
所以f(x)=-x2+ax在[0,+∞)上单调递减，
由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减，
所以a≤0时，f(x)在R上为单调递减函数，
当a>0时，f(x)在(0,a2)递增，在(a2,+∞)上递减，不合题意，
所以函数f(x)为R上单调减函数．
∵f2mt-4m2+ftm-1m2>0，
∴f2mt-4m2>-ftm-1m2，
又f(x)是奇函数，
∴f2mt-4m2>f-tm+1m2，
又因为f(x)为R上的单调递减函数，
所以2mt-4m2<-tm+1m2恒成立，
所以t<2m+1m-42m+1m恒成立，
当m∈[1,+∞)时，令n=2m+1m，则n≥3，
令g(n)=n-4n，则g(n)在[3,+∞)上单调递增，
∴g(n)min=g(3)=53，
∴t<53，
即实数t的范围为(-∞,53)．
【解析】本题考查函数解析式，函数的奇偶性、一元二次不等式恒成立问题
(1)当x<0时，-x>0，由已知表达式可求f(-x)，根据奇函数性质可求f(x)；
(2)借助二次函数图象的特征判断函数的单调性；利用奇函数性质及单调递减性质可去掉不等式中的符号“f”，进而可转化为函数最值问题处理．