2023-2024学年重庆市名校联盟高一上学期期中联考数学试题（含解析）

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这是一份2023-2024学年重庆市名校联盟高一上学期期中联考数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=-1,0,1,2,B={x∣-1A. 0,1B. -1,1C. -1,0,1D. 0,1,2
2.命题“∀x≥ 2,x2≥2”的否定是
( )
A. ∀x≥ 2,x2<2B. ∃x≥ 2,x2≤2C. ∃x≥ 2,x2<2D. ∀x< 2,x2<2
3.已知幂函数y=f(x)的图象过点(4,2)，则f(16)=( )
A. 18B. 14C. 4D. 8
4.将34⋅ 2化成分数指数幂的形式是
( )
A. 276B. 2176C. 213D. 256
5.已知函数f(x)=x3+1,x<1x2-ax,x≥1，若f(f(0))=-2，实数a=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.若偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(2)=0，则不等式f(x)+f(-x)3x<0的解集为( )
A. (-2,2)B. (-2,0)∪(2,+∞)
C. (-∞,-2)∪(2,+∞)D. (-∞,-2)∪(0,2)
7.已知函数fx=x+4x，g(x)=2x+a，若∀x1∈[12,1]，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是
( )
A. a≤1B. a≥1C. a≤2D. a≥2
8.对于任意k∈[-1,1]，函数f(x)=x2+(k-4)x-2k+4的值恒大于零，则x的取值范围是
( )
A. x<0B. x>4C. x<1或x>3D. x<1
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题正确的是( )
A. ∃x∈R，x>xB. ∀x∈R，x2-3x-5>0
C. ∀x∈Q,x4∈QD. ∃a,b∈R，a-2+b+12≤0
10.下列各组函数表示同一个函数的是．( )
A. fx= x2与gx=x
B. fx=x2-2x-1与gt=t2-2t-1
C. fx=x0与gx=1x0
D. fx= x-1⋅ x+1与gx= x+1x-1
11.设正实数x，y满足2x+y=1，则( )
A. xy的最大值是14B. 2x+1y的最小值是9
C. 4x2+y2的最小值为12D. 2x+ y的最大值为2
12.给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a-b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是
( )
A. 集合M=-4,-2,0,2,4为闭集合
B. 正整数集是闭集合
C. 集合M=nn=5k,k∈Z为闭集合
D. 若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.函数fx= x-1+ 1-x的定义域为______．
14.已知-1⩽a+b⩽1，1⩽a-2b⩽3，则a+3b的范围是
15.已知不等式2x-m≤3成立的一个充分不必要条件是-516.已知函数fx=1+x2,x≤01,x>0，若fx-4>f2x-3，则实数x的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
设集合U=R，A=xx<0或x>3，B=xx2m．
(1)m=3，求A∩B；
(2)若B∪A=B，求m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知fx是定义在x∈-1,1上的奇函数，且当x∈0,1时，fx=x2+2x+3．
(1)求fx的解析式；
(2)求fx的值域．
19.(本小题12分)
ag糖水中含有bg糖，若再添加mg糖(其中a>b>0,m>0)，生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一个不等式吗？试给出证明．
20.(本小题12分)
已知函数fx=x2-a+1x+a．
(1)当a=2时，求关于x的不等式fx>0的解集；
(2)若fx+2x≥0在区间(1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
函数f(x)的定义域为(0,+∞)，对于∀x，y∈(0,+∞)，f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)<0．
(1)证明：f(x)为减函数；
(2)若f12=2，求不等式f(x)+f(x-1)+2>0的解集．
22.(本小题12分)
已知函数fx=ax2-x-a，a∈R．
(1)讨论函数fx的奇偶性；
(2)当-1≤a≤1时，若对任意的x∈1,3，恒有fx+bx≤0成立，求a2+3b的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据交集的运算求解即可．
解：因为集合A=-1,0,1,2,B={x∣-1故选：A．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解．
解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“∀x≥ 2,x2≥2”的否定是“∃x≥ 2,x2<2”.
故选：C．
3.【答案】C
【解析】【分析】设f(x)=xα，代入(4,2)，得α=12，从而得f(x)=x12= x，再将x=16代入计算即可得答案．
解：因为函数y=f(x)是幂函数，
所以设f(x)=xα，
代入(4,2)，得4α=2，解得α=12，
所以f(x)=x12= x，
所以f(16)= 16=4．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】利用分数指数幂的意义及运算化简即可．
解：34⋅ 2=413×212=(22)13×212=223+12=276．
故选：A
5.【答案】C
【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得．
解：因为 f(x)=x3+1,x<1x2-ax,x≥1，所以f0=03+1=1，
所以ff0=f1=1-a=-2，解得a=3．
故选：C
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合，不等式的解法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
结合函数的单调性与奇偶性，可推出当x∈(-2,0)∪(0,2)时，f(x)>0；当x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时，f(x)<0，再利用偶函数的性质，将原不等式转化为xf(x)<0，解之即可．
【解答】
解：因为偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(2)=0，
所以f(x)在(-∞,0)上单调递增，且f(-2)=0，
所以当x∈(-2,0)∪(0,2)时，f(x)>0；当x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时，f(x)<0，
不等式f(x)+f(-x)3x<0可化为2f(x)3x<0，即xf(x)<0，
所以x<0f(x)>0或x>0f(x)<0，
所以x∈(-2,0)∪(2,+∞)．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】【分析】本题的关键是将已知转化为f(x)在x1∈[12,1]的最小值不小于g(x)在x2∈[2,3]的最小值，然后解不等式即可．
解：由fx=x+4x得，f'(x)=x2-4x2，当x∈[12,1]时，f'(x)<0，
∴f(x)在[12,1]单调递减，∴f(1)=5是函数f(x)的最小值，
当x∈[2,3]时，g(x)=2x+a为增函数，∴g(2)=a+4是函数g(x)的最小值，
又∵∀x1∈[12,1]，都∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，
可得f(x)在x1∈[12,1]的最小值不小于g(x)在x2∈[2,3]的最小值，
即5≥a+4，解得a≤1，
故选：A．
8.【答案】C
【解析】【分析】将函数fx的解析式变形为f(x)=x-2k+x2-4x+4，并构造函数g(k)=x-2k+x2-4x+4，
由题意得出g-1>0g1>0，解此不等式组可得出实数x的取值范围
解：对任意k∈[-1,1]，函数f(x)=x2+(k-4)x-2k+4的值恒大于零
设gk=x-2k+x2-4x+4，即gk>0在k∈[-1,1]上恒成立．
gk在k∈[-1,1]上是关于k的一次函数或常数函数，其图象为一条线段．
则只需线段的两个端点在x轴上方，即g-1=x2-5x+6>0g1=x2-3x+2>0,
解得x>3或x<1．
故选：C．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】A.由x<0时判断；B.由x=0时判断；C.有理数的概念可判断；D.由a=2,b=-1时判断．
解：A.当x<0时，x>x，所以∃x∈R，x>x，故正确；
B. 当x=0时，x2-3x-5<0，故错误；
C. 当x∈Q时，则x可化为整数或分数，所以x4是有理数，故正确；
D. 当a=2,b=-1时，a-2+b+12=0，所以∃a,b∈R，a-2+b+12≤0，故正确；
故选：ACD
10.【答案】BC
【解析】【分析】判断两个函数的定义域是否相同，对应关系是否完全一致即可．
解：选项A，当x<0时，f(x)=-x，g(x)=x，
所以f(x)=x与g(x)=x对应关系不完全一致，故不是同一个函数；
选项B，fx=x2-2x-1与gt=t2-2t-1定义域都为R，
且对应关系完全一致，故是同一个函数；
选项C，fx=x0与gx=1x0的定义域都为(-∞,0)∪(0,+∞)，
且f(x)=1,g(x)=1，对应关系完全一致，故是同一个函数；
选项D，对fx= x-1⋅ x+1，由x-1≥0x+1≥0，解得x≥1，
所以f(x)的定义域为[1,+∞),
对gx= x+1x-1，由(x+1)(x-1)≥0，解得x≤-1,或x≥1，
所以g(x)的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞)，
两函数定义域不同，故不是同一个函数．
故选：BC．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
根据基本不等式逐项进行求解即可．
【解答】
解：对于A，因为2x+y=1，所以2xy⩽2x+y22=122=14，
则xy⩽18，当且仅当2x=y=12，，即x=14,y=12时等号成立，
即xy的最大值为18 ，故A错误；
对于B，因为2x+y=1，
所以2x+1y=(2x+1y)(2x+y)=5+2xy+2yx⩾5+2 2xy·2yx=9，
当且仅当2xy=2yx，即x=y=13时等号成立，故B正确；
对于C，因为4x2+y2=(2x+y)2-4xy=1-4xy⩾1-4×18=12，
当且仅当2x=y，即x=14,y=12时等号成立，所以C正确；
对于D， 2x+ y2=2x+y+2 2xy⩽1+2 2×18=2，
∴ 2x+ y的最大值为 2，
当且仅当2x=y=12，，即x=14,y=12时等号成立，D错误．
故选：BC．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义“闭集合”，然后加减运算进行验证．
根据新定义分别进行验证．
【解答】
解：A．4∈M,2∈M，但4+2=6∉M，A错；
B.1∈N*,2∈N*，但1-2=-1∉N*，B错；
C.对于任意a,b∈M，设a=5k1,b=5k2，k1∈Z,k2∈Z，
a+b=5(k1+k2)，a-b=5(k1-k2)，k1+k2∈Z,k1-k2∈Z，
所以a+b∈M,a-b∈M，C正确；
D.A1={n|n=5k,k∈Z}，A2={n|n=3k,k∈Z}都是闭集合，但A1∪A2不是闭集合，
如5∈A1⋃A2，3∈A1⋃A2，但5+3=8∉A1⋃A2，D错误．
故选：ABD．
13.【答案】1
【解析】【分析】根据具体函数求定义域即可；
解：由题意知 x-1, 1-x需满足x-1≥01-x≥0,
由此解得：x=1;
故答案为：1．
14.【答案】[-113,1]
【解析】【分析】
本题考查了不等式的基本性质，考查了计算能力，属于中档题．
由-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，设a+3b=m(a+b)+n(a-2b)=(m+n)a+(m-2n)b，联立m+n=1m-2n=3，解得m，n即可得答案．
【解答】
解：由-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，
设a+3b=m(a+b)+n(a-2b)
=(m+n)a+(m-2n)b，
∴m+n=1m-2n=3，解得m=53n=-23．
∴-53≤53(a+b)≤53，-2≤-23(a-2b)≤-23，
∴-113≤a+3b≤1.
∴a+3b的取值范围是[-113,1]，
故答案为[-113,1]．
15.【答案】mm≥5
【解析】【分析】由2x-m≤3得x≤3+m2，再由充分、必要条件的定义即可得x|-5解：由2x-m≤3，解得x≤3+m2，
由题意可知：x|-5所以实数m的取值范围是mm≥5．
故答案为：mm≥5．
16.【答案】-1,4
【解析】【分析】显然函数fx在定义域上单调递减，先比较x-4与2x-3的大小，再结合函数单调性分类讨论即可．
解：先比较x-4与2x-3的大小，令t=x-4-2x-3=-x-1，所以分以下两种情形来解不等式fx-4>f2x-3．
情形一：当t=-x-1≥0，即x≤-1时，有x-4≥2x-3，注意到fx在-∞,-1严格单调递减，
所以fx-4≤f2x-3，故此情形不符题意．
情形二：
一方面：当t=-x-1<0，即x>-1时，有x-4<2x-3．
另一方面：注意到fx在-1,+∞单调递减(但不严格单调递减)，因此若要保证fx-4>f2x-3，
必须有x-4<0(否则0≤x-4<2x-3，此时有fx-4=f2x-3，不符题意)，所以x<4；
结合以上两方面有-1综上所述：结合以上两种情形有-1故答案为：-1,4．
17.【答案】解：(1)
当m=3时，集合A=xx<0或x>3，B=xx<2或x>6，
A∩B=xx<0或x>6．
(2)
若B∪A=B，则A⊆B，
当B=R时，m-1>2m，所以m<-1，符合题意；
当B≠R时，需满足0≤m-12m≤3m-1≤2m，解得1≤m≤32，
综上所述，m的取值范围为-∞,-1∪1,32

【解析】【分析】(1)根据交集求解；
(2)分类讨论B=R，B≠R求解；
18.【答案】解：(1)
fx是定义在x∈-1,1上的奇函数，
fx=-f-x,f0=-f0,f0=0
由题x∈0,1,fx=x2+2x+3
当x∈-1,0,-x∈0,1，
fx=-f-x=-x2-2x+3=-x2+2x-3
所以fx=-x2+2x-3,x∈-1,00,x=0x2+2x+3,x∈0,1．
(2)
x∈-1,0,fx=-x2+2x-3=-x-12-2在-1,0单调递增，
所以fx∈-6,-3,
x∈0,1,fx=x2+2x+3=x+12+2在0,1单调递增，
所以fx∈3,6,
又因为f0=0，
所以fx的值域为-6,-3∪0∪3,6．

【解析】【分析】(1)首先根据奇函数的性质解得f0=0，然后根据x∈0,1的解析式求解x∈-1,0的解析式；
(2)根据每段函数的值域求解即可．
19.【答案】解：因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，
所以提炼出的不等式为：b+ma+m>ba，其中a>b>0,m>0，
下面用作差比较法给出证明：
b+ma+m-ba=ab+m-ba+maa+m=ma-baa+m．
因为a，b，m都是正数，且a>b，
则a+m>0，a-b>0.可得ma-baa+m>0，
所以b+ma+m>ba．

【解析】【分析】根据题意分析可得b+ma+m>ba，其中a>b>0,m>0，并利用作差法分析证明．
20.【答案】解：(1)当a=2时，则f(x)=x2-3x+2，由f(x)>0，得x2-3x+2>0，
令x2-3x+2=0，解得x=1，或x=2，
∴原不等式的解集为(-∞,1)⋃(2,+∞)；
(2)由f(x)+2x≥0即x2-ax+x+a≥0在(1,+∞)上恒成立，
从而有：a≤x2+xx-1在(1,+∞)上恒成立，
令t=x-1(t>0)，则x2+xx-1=(t+1)2+t+1t=t+2t+3≥3+2 2，当且仅当t= 2时取等号，∴a≤3+2 2，
故实数a的取值范围是-∞,2 2+3．

【解析】本题考查含参一元二次不等式问题，一元二次不等式的恒成立问题，属于中档题．
(1)根据一元二次不等式的解法求解即可；
(2)原不等式等价于x2-ax+x+a≥0在(1,+∞)上恒成立，分离参数得a≤x2+xx-1，令t=x-1(t>0)，利用基本不等式和不等式恒成立思想可得答案．
21.【答案】解：(1)
设∀x1,x2∈(0,+∞)，且x1则x2x1>1，f(x2x1)<0，
因为f(x2)-f(x1)=f(x2x1⋅x1)-f(x1)=f(x2x1)<0，
所以f(x2)即f(x)为减函数．
(2)
因为f12=2，
所以f(x)+f(x-1)+2=f(x)+f(x-1)+f(12)=f(12x2-12x)>0，
令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，即f(1)=0，
所以f12x2-12x>f1，
又因为f(x)在(0,+∞)上单调递减，
所以x>0x-1>00<12x2-12x<1，解得1所以不等式的解集为(1,2)．

【解析】【分析】(1)根据函数单调性的定义及当函数中x>1时，f(x)<0的性质即可证明；
(2)由抽象函数的性质化简，结合函数单调性及定义域列出不等式组可得解．
22.【答案】解：(1)
当a=0时，f(x)=-x，
对于∀x∈R，均有f(-x)=-|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数；
当a≠0时，因为f(0)=-|a|≠0，故f(x)不是奇函数；
又因为f(1)=a-|1-a|，f(-1)=a-|1+a|，
显然1-a≠1+a，即f(1)≠f(-1)，故f(x)不是偶函数；
综上所述，当a=0时，f(x) 是偶函数；
当a≠0时，f(x)既不是偶函数又不是奇函数．
(2)
当-1≤a≤1，x∈[1,3]，则x-a≥0，
可得f(x)+bx=ax2-x-a+bx=ax2+(b-1)x+a≤0，整理得b≤-ax+1x+1，
可知原题意等价于“b≤-ax+1x+1在x∈[1,3]恒成立”，
因为对勾函数y=x+1x在x∈[1,3]单调递增，则有：
若0当x=3时，y=-ax+1x+1取最小值1-103a，可得b≤1-103a，
所以a2+3b≤a2-10a+3<3，
当a=0，则b=1，所以a2+3b=3；
若-1≤a<0，则y=-ax+1x+1在x∈[1,3]单调递增，
当x=1时，y=-ax+1x+1取最小值1-2a，可得b≤1-2a，
所以a2+3b≤a2-6a+3≤10，当且仅当a=-1,b=3时，a2+3b取到最大值10．
综上所述：a2+3b的最大值为10．
【解析】【分析】(1)根据奇偶函数的定义分析判断；
(2)分析可知原题意等价于“b≤-ax+1x+1在x∈[1,3]恒成立”，分0

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