2023-2024学年重庆市三峡名校联盟高一（上）联考数学试卷 （含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市三峡名校联盟高一（上）联考数学试卷 （含解析），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A＝{x，x2}，若1∈A，则x＝（ ）
A．1或﹣1B．1C．﹣1D．﹣1或0
2．“xy＞0”是“x＞0，y＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．函数f（x）＝x+2x的零点所在的区间为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，2）
4．一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（2，3），则不等式cx2+bx+a＜0的解集为（ ）
A．B．
C．（﹣3，﹣2）D．
5．已知a＝31.2，b＝lg30.7，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a
6．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：．若常数k＝0.05，空气温度为30℃，某物体的温度从110℃下降到40℃以下，至少大约需要的时间为（ ）（参考数据：ln2≈0.69）
A．40分钟B．41分钟C．42分钟D．43分钟
7．函数f（x）的定义域为R，对任意的x∈[1，+∞）、t∈（0，+∞），都有f（x+t）＜f（x）成立，且函数f（x+1）为偶函数，则（ ）
A．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）B．f（﹣2）＜f（3）＜f（1）
C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
8．已知函数f（x）＝，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（ ）
A．a的取值范围是（0，）
B．x2﹣x1的取值范围是（0，1）
C．x3+x4＝2
D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．设a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣cB．a3＞b3C．|a|＞|b|D．a|c|＞b|c|
（多选）10．下列说法正确的是（ ）
A．
B．若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素，则
C．命题“∃x＜3，2x﹣x＜3”的否定是“∀x＜3，2x﹣x≥3”
D．若命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为假命题，则a＜4
（多选）11．下列命题为真命题的是（ ）
A．为同一函数
B．已知，则f（3）的值为5
C．函数的单调递减区间为（1，2）
D．已知lg65＝a，6b＝2，则lg206＝
（多选）12．任意实数x均能写成它的整数部分[x]与小数部分{x}的和，即x＝[x]+{x}（其中[x]表示不超过x的最大整数）．比如：1.7＝[1.7]+{1.7}＝1+0.7，其中[1.7]＝1，{1.7}＝0.7．则下列的结论正确的是（ ）
A．
B．{x}的取值范围为（﹣1，1）
C．不等式[x]2﹣[x]≤2的解集为{x|﹣1≤x＜3}
D．已知函数，g（x）＝[f（x）]的值域是{﹣1，0}．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题第一空2分，第二空3分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
13．已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm在（0，+∞）上是减函数，则m＝ ．
14． ．
15．函数f（x）＝lga（2x﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（m，n），若对任意正数x、y都有mx+ny＝4，则的最小值是 ．
16．已知函数，其中x∈[1，2]，则f（x）的值域是 ；若g（x）＝x+m﹣1且对任意x1，x2∈[1，2]，总存在x3∈[1，3]，使得|f（x1）﹣f（x2）|＝g（x3），则m的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
17．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤5}，B＝{x|m﹣3＜x＜3m}．
（1）当m＝3时，求A∪B；
（2）若B∪（∁RA）＝R，求实数m的取值范围．
18．（1）已知1＜a＜6，3＜b＜4，求2a﹣b，的取值范围；
（2）已知a，b，x，y∈（0，+∞），且，x＞y，试比较与的大小．
19．设不等式的解集为A，关于x的不等式（x﹣2）（x﹣a）≤0的解集为B．
（1）求集合A；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
20．某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n年（n∈N*）的材料费、维修费、人工工资等共万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n年的总盈利额为f（n）万元．
（Ⅰ）写出f（n）关于n的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利；
（Ⅱ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．
问选择哪种处理方案更合适？请说明理由．
21．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f（xy）﹣f（x）＝f（y）+1，当x＞1时，f（x）＜﹣1．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为单调减函数；
（3）解不等式f（x﹣2）+f（x）＞﹣2．
22．已知定义在R上的函数f（x）＝m•4x﹣2x+1+1﹣m（m∈R）．
（1）已知当m＞0时，函数f（x）在[0，2]上的最大值为8，求实数m的值；
（2）若函数y＝g（x）的定义域内存在x0，使得g（a+x0）+g（a﹣x0）＝2b成立，则称g（x）为局部对称函数，其中（a，b）为函数g（x）的局部对称点．若（1，0）是f（x）的局部对称点，求实数m的取值范围．
参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1．已知集合A＝{x，x2}，若1∈A，则x＝（ ）
A．1或﹣1B．1C．﹣1D．﹣1或0
【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性，即可求解．
解：由于1∈A，若x＝1，则x2＝1，不合题意；
所以，解得x＝﹣1．
故选：C．
2．“xy＞0”是“x＞0，y＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：xy＞0⇒x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，
x＞0，y＞0⇒xy＞0．
故“xy＞0”是“x＞0，y＞0”的必要不充分条件．
故选：B．
3．函数f（x）＝x+2x的零点所在的区间为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，2）
【分析】由函数零点的存在性定理，结合答案直接代入计算取两端点函数值异号的即可．
解：因为f（0）＝1＞0，f（﹣1）＝﹣1+＝﹣＜0，
由函数零点的存在性定理，函数f（x）＝x+2x的零点所在的区间为（﹣1，0）
故选：C．
4．一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（2，3），则不等式cx2+bx+a＜0的解集为（ ）
A．B．
C．（﹣3，﹣2）D．
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系
求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
解：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（2，3），
∴a＜0，且2，3是方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，
∴，
解得b＝﹣5a，c＝6a，其中a＜0；
∴不等式cx2+bx+a＜0化为6ax2﹣5ax+a＜0，
即6x2﹣5x+1＞0，
解得x＜或x＞，
因此所求不等式的解集为（﹣∞，）∪（，+∞）．
故选：D．
5．已知a＝31.2，b＝lg30.7，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a
【分析】分别计算出a、b、c的范围，比较大小即可得．
解：a＝31.2＞3，b＝lg30.7＜0，，即1＜c＜3，
则有b＜c＜a．
故选：A．
6．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：．若常数k＝0.05，空气温度为30℃，某物体的温度从110℃下降到40℃以下，至少大约需要的时间为（ ）（参考数据：ln2≈0.69）
A．40分钟B．41分钟C．42分钟D．43分钟
【分析】根据题意，列出方程，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果．
解：由题意可知，40＝30+（110﹣30）e﹣0.05t，
解得，
即至少大约需要的时间为42分钟．
故选：C．
7．函数f（x）的定义域为R，对任意的x∈[1，+∞）、t∈（0，+∞），都有f（x+t）＜f（x）成立，且函数f（x+1）为偶函数，则（ ）
A．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）B．f（﹣2）＜f（3）＜f（1）
C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
【分析】根据题意，先分析f（x）的对称性，再由单调性的定义分析f（x）的单调性，综合可得答案．
解：根据题意，因为函数f（x+1）为偶函数，所以f（x+1）＝f（﹣x+1），
设﹣x+1＝m，则x＝1﹣m，所以f（m）＝f（2﹣m），
所以f（﹣2）＝f（2+2）＝f（4），
又对任意的x∈[1，+∞）、t∈（0，+∞），都有f（x+t）＜f（x）成立，
所以，故f（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以f（﹣2）＝f（4）＜f（3）＜f（1）．
故选：B．
8．已知函数f（x）＝，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（ ）
A．a的取值范围是（0，）
B．x2﹣x1的取值范围是（0，1）
C．x3+x4＝2
D．
【分析】将问题转化为f（x）与y＝a有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误．
解：∵函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，
即f（x）＝a有四个不同的解．
f（x）的图象如下图示，
由图知：0＜a＜1，x1＜0＜x2＜1，
所以x2﹣x1＞0，即x2﹣x1的取值范围是（0，+∞）．
由二次函数的对称性得：x3+x4＝4，
因为1﹣＝﹣1，即+＝2，
故＝．
故选：D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．设a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣cB．a3＞b3C．|a|＞|b|D．a|c|＞b|c|
【分析】根据不等式性质判断A，作差法判断B；C、D选项举出反例即可．
解：对于A，由a＞b得a﹣c＞b﹣c，正确；
对于B，，
因为a＞b，所以a﹣b＞0，得a3﹣b3＞0，正确；
对于C，若a＝1，b＝﹣2，|a|＜|b|，错误；
对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，错误．
故选：AB．
（多选）10．下列说法正确的是（ ）
A．
B．若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素，则
C．命题“∃x＜3，2x﹣x＜3”的否定是“∀x＜3，2x﹣x≥3”
D．若命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为假命题，则a＜4
【分析】对A选项：分数是有理数；对B选项：当a＝0时，集合A也仅有一个元素；对C选项：运用命题的否定即可得；对D选项：写出该命题的否定，计算即可得．
解：对A选项：是有理数，故A正确；
对B选项：当a＝0时，有A＝{﹣1}，故B错误；
对C选项：“∃x＜3，2x﹣x＜3”的否定是“∀x＜3，2x﹣x≥3”，故C正确；
对D选项：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为假命题，
即“∃x0∈[1，2]，使”为真命题，
即a小于在x0∈[1，2]上的最大值，即a＜4，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．下列命题为真命题的是（ ）
A．为同一函数
B．已知，则f（3）的值为5
C．函数的单调递减区间为（1，2）
D．已知lg65＝a，6b＝2，则lg206＝
【分析】首先明确真假命题相关定义，并对ABCD选项分析判断即可．
解：A中，的定义域为x∈[1，+∞），
的定义域为x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），定义域不同，不是同一函数，故A错误；
B中，，令，得到x＝（t﹣1）2，
故f（t）＝（t﹣1）2+1，则f（x）＝（x﹣1）2+1，故f（3）＝5，故B正确；
C中，已知函数，先令﹣x2+4x﹣3＞0，解得x∈（1，3），
故函数的定义域为（1，3），
令g（x）＝﹣x2+4x﹣3，易知对称轴为x＝2，
故g（x）在（1，2）单调递增，在（2，3）单调递减，
由复合函数单调性质得的单调递减区间为（1，2），故C正确；
D中，已知6b＝2，则lg62＝b，
lg65＝a，
则，故D正确．
故选：BCD．
（多选）12．任意实数x均能写成它的整数部分[x]与小数部分{x}的和，即x＝[x]+{x}（其中[x]表示不超过x的最大整数）．比如：1.7＝[1.7]+{1.7}＝1+0.7，其中[1.7]＝1，{1.7}＝0.7．则下列的结论正确的是（ ）
A．
B．{x}的取值范围为（﹣1，1）
C．不等式[x]2﹣[x]≤2的解集为{x|﹣1≤x＜3}
D．已知函数，g（x）＝[f（x）]的值域是{﹣1，0}．
【分析】根据x＝[x]+{x}及符号的含义逐个选项验证可得答案．
解：因为x＝[x]+{x}，所以{x}＝x﹣[x]，所以，A正确；
由{x}＝x﹣[x]可得0≤{x}＜1，B不正确；
由[x]2﹣[x]≤2可得﹣1≤[x]≤2，所以﹣1≤x＜3，C正确；
，因为1+2x＞1，所以，
当时，g（x）＝[f（x）]＝﹣1；当时，g（x）＝[f（x）]＝0，
所以g（x）＝[f（x）]的值域是{﹣1，0}，D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题第一空2分，第二空3分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
13．已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm在（0，+∞）上是减函数，则m＝ ﹣2 ．
【分析】根据幂函数的定义和单调性即可求解．
解：由幂函数的定义可知，m2+m﹣1＝1，解得m＝﹣2或m＝1，
又f（x）在（0，+∞）上是减函数，则m＜0，
所以m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14． 6 ．
【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．
解：原式＝＝8+．
故答案为：6．
15．函数f（x）＝lga（2x﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（m，n），若对任意正数x、y都有mx+ny＝4，则的最小值是 ．
【分析】求出定点A的坐标，可得出2（x+1）+y＝6，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值．
解：对于函数f（x）＝lga（2x﹣3）+1（a＞0且a≠1），
令2x﹣3＝1，可得x＝2，且f（2）＝lga1+1＝1，所以，A（2，1），即m＝2，n＝1，
对任意的正数x，y都有mx+ny＝4，即2x+y＝4，则2（x+1）+y＝6，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值是．
故答案为：．
16．已知函数，其中x∈[1，2]，则f（x）的值域是 ；若g（x）＝x+m﹣1且对任意x1，x2∈[1，2]，总存在x3∈[1，3]，使得|f（x1）﹣f（x2）|＝g（x3），则m的取值范围是 ．
【分析】，结合二次函数性质即可得f（x）值域；x1，x2∈[1，2]时，|f（x1）﹣f（x2）|的范围可计算出，则其范围在g（x）在x∈[1，3]的值域内，计算即可得m的取值范围．
解：，
由x∈[1，2]，则，故；
g（x）＝x+m﹣1且对任意x1，x2∈[1，2]，总存在x3∈[1，3]，使得|f（x1）﹣f（x2）|＝g（x3），
即|f（x1）﹣f（x2）|在x1，x2∈[1，2]上的所有取值都在g（x）在x∈[1，3]的值域的内，
由x∈[1，2]时，，
故对任意x1，x2∈[1，2]，，
g（x）在x∈[1，3]的值域为[m，m+2]，
故有，解得．
故答案为：；．
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
17．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤5}，B＝{x|m﹣3＜x＜3m}．
（1）当m＝3时，求A∪B；
（2）若B∪（∁RA）＝R，求实数m的取值范围．
【分析】（1）直接根据集合的运算计算即可；（2）根据集合之间的关系判断即可．
解：（1）当m＝3时，B＝{x|0＜x＜9}，所以A∪B＝{x|﹣1≤x＜9}；
（2）因为∁RA＝（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞），所以，解得，
实数m的取值范围．
18．（1）已知1＜a＜6，3＜b＜4，求2a﹣b，的取值范围；
（2）已知a，b，x，y∈（0，+∞），且，x＞y，试比较与的大小．
【分析】（1）由不等式的性质直接求范围即可；
（2）作差，再结合不等式的性质比较即可．
解：（1）∵1＜a＜6，3＜b＜4，
∴2＜2a＜12，﹣4＜﹣b＜﹣3．
∴﹣2＜2a﹣b＜9．
又，
∴；
（2），
因为且a，b∈（0，+∞），
所以b＞a＞0；
又因为x＞y＞0，所以bx＞ay＞0，（x+a）（y+b）＞0，
所以．
19．设不等式的解集为A，关于x的不等式（x﹣2）（x﹣a）≤0的解集为B．
（1）求集合A；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）结合分式不等式的解法，即可求解；
（2）根据已知条件，结合集合的包含关系，即可求解．
解：（1）不等式的解集为A，
则A＝{x|1≤x＜4}；
（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
则B是A的真子集，即B⫋A，
（x﹣2）（x﹣a）≤0，即（x﹣2）（x﹣a）≤0，
当a＜2时，不等式的解集为a≤x≤2，即B＝[a，2]，
B⫋A，
则1≤a＜2，
当a＝2时，不等式为（x﹣2）2≤0，解得x＝2，即B＝{2}，B⫋A成立，
当a＞2时，不等式的解集为2≤x≤a，即B＝[2，a]，
B⫋A，
则2＜a＜4，
综上所述，a的取值范围为{a|1≤a＜4}．
20．某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n年（n∈N*）的材料费、维修费、人工工资等共万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n年的总盈利额为f（n）万元．
（Ⅰ）写出f（n）关于n的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利；
（Ⅱ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．
问选择哪种处理方案更合适？请说明理由．
【分析】（I）求得f（n）＝﹣n2+50n﹣90，再令f（n）＞0，解不等式可得所求结论；
（II）由二次函数的性质和基本不等式的运用，计算可得结论．
解：（I）由前n年的总盈利额为n年的总收入减去投入的资金和前n年（n∈N*）的材料费、维修费、人工工资等，
可得，n∈N*；
当f（n）＞0时，即时，2＜n＜18，
该设备从第3年开始使企业盈利；
（II）方案一：总盈利额，
当n＝10时，f（n）max＝160，
所以方案一总利润为160+10＝170万元，此时n＝10；
方案二：每年平均利润为，
当且仅当n＝6时，等号成立．所以方案二总利润为6×20+50＝170，此时n＝6．
比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，
故应选择第二种方案更合适．
21．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f（xy）﹣f（x）＝f（y）+1，当x＞1时，f（x）＜﹣1．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为单调减函数；
（3）解不等式f（x﹣2）+f（x）＞﹣2．
【分析】（1）令x＝y＝1，代入题意中的等式即可求解；
（2）由题意可得f（xy）＝f（x）+f（y）+1，令，利用定义法即可证明函数的单调性；
（3）将原不等式转化为f（x﹣2）+f（x）＝f[x（x﹣2）]﹣1＞﹣2，由（1）得f[x（x﹣2）]＞f（1），结合（2）建立不等式组，解之即可求解．
解：（1）根据题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f（xy）﹣f（x）＝f（y）+1，
令x＝y＝1，有f（1）﹣f（1）＝f（1）+1，得f（1）＝﹣1；
（2）当x∈（0，+∞）时，有f（xy）﹣f（x）＝f（y）+1，且当x＞1时f（x）＜﹣1，
∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则，．
由f（xy）﹣f（x）＝f（y）+1，得f（xy）＝f（x）+f（y）+1，
有，
即f（x2）＜f（x1），所以函数f（x）在（0，+∞）上为单调减函数；
（3）由f（xy）﹣f（x）＝f（y）+1，得f（x）+f（y）＝f（xy）﹣1，
由f（x﹣2）+f（x）＞﹣2，得f（x﹣2）+f（x）＝f[x（x﹣2）]﹣1＞﹣2，
即f[x（x﹣2）]＞﹣1，由（1）知f（1）＝﹣1，
所以f[x（x﹣2）]＞f（1），
由（2）知函数f（x）在（0，+∞）上为单调减函数，
所以，解得，
即原不等式的解集为．
22．已知定义在R上的函数f（x）＝m•4x﹣2x+1+1﹣m（m∈R）．
（1）已知当m＞0时，函数f（x）在[0，2]上的最大值为8，求实数m的值；
（2）若函数y＝g（x）的定义域内存在x0，使得g（a+x0）+g（a﹣x0）＝2b成立，则称g（x）为局部对称函数，其中（a，b）为函数g（x）的局部对称点．若（1，0）是f（x）的局部对称点，求实数m的取值范围．
【分析】（1）运用换元法，结合指数函数的单调性、二次函数最值性质进行求解即可；
（2）运用题中定义，结合常变最分离法、指数幂的运算性质、基本不等式进行求解即可．
解：（1）令t＝2x（t∈[1，4]），则：t∈[1，4]，
设g（t）＝mt2﹣2t+1﹣m（m＞0），
由题意，g（t）在[1，4]上的最大值为8，
因为m＞0，二次函数g（t）开口向上，
因此有g（1）＝8，或g（4）＝8，
由g（1）＝8⇒8＝m﹣2+1﹣m不成立，
由g（4）＝8⇒16m﹣8+1﹣m＝8⇒m＝1；
（2）根据局部对称函数的定义可知，f（1+x）+f（1﹣x）＝0，
即m•41+x﹣21+x+1+1﹣m+m•41﹣x﹣21﹣x+1+1﹣m＝0，
2m•4x+2m•4﹣x﹣m﹣2•2x﹣2•2﹣x+1＝0，
，
令，
则，
因为，当且仅当，x＝0时等号成立，
函数在区间[3，+∞）上单调递增，所以，
所以，所以m的取值范围是（0，1]．