2023-2024学年广东省广州市番禺区石北中学、石楼中学、洛溪中学等高二上学期期中联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市番禺区石北中学、石楼中学、洛溪中学等高二上学期期中联考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知空间向量a=(2,0,1)，b=(-1,2,1)，c=(0,4,z)，若向量a，b，c共面，则实数z=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知空间向量a=1,1,-1，b=0,2,1，则a⋅b=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
3.过点P(4,2)作圆x2+y2=4 的两条切线，切点分别A,B，O为坐标原点，则ΔOAB的外接圆方程为
A. x-22+y-12=5B. x+22+y+12=20
C. x-42+y-22=5D. x+42+y+22=2
4.曲线y= 2-x-12与x轴所围成区域的面积为
( )
A. π2B. πC. 2πD. 4π
5.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)=12，f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(5)等于( )
A. 0B. 1C. 52D. 5
6.已知点A(1,0)，点B在曲线G：y=ln x上，若线段AB与曲线M：y=1x相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．那么曲线G关于曲线M的关联点的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 4
7.定义集合运算：A⊗B={z|z=(x+y)×(x-y),x∈A,y∈B}，设A= 2, 3，B=1, 2，则集合A⊗B的真子集个数为
( )
A. 8B. 7C. 16D. 15
8.若直线y=kx+1与圆x-22+y2=4相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则k的取值范围是
( )
A. 0,43B. -14,43C. 0,34D. -14,34
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.为使x2+y2+4xcsθ+8ysinθ+10=0成为一个圆的方程，θ的取值可以是
( )
A. π6B. π4C. π2D. 2π3
10.设a，b是互相垂直的单位向量，AB=λa+2b，AC=a+λ-1b，下列选项正确的是
( )
A. 若点C在线段AB上，则λ=2
B. 若AB⊥AC，则λ=23
C. 当λ=1时，与AB共线的单位向量是 55a+2 55b
D. 当λ=-1时，a在AC上的投影向量为15a-25b
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，能作为空间的一个基底的一组向量有
( )
A. AA1，AB，ACB. BA，BC，BD
C. AC1，BD1，CB1D. AD1，BA1，AC
12.已知直线l:x-y+1=0与圆CK:(x+k-1)2+(y+2k)2=1，下列说法正确的是
( )
A. 所有圆Ck均不经过点(0,3)
B. 若圆CK关于直线l对称，则k=-2
C. 若直线l与圆CK相交于A、B，且AB= 2，则k=-1
D. 不存在圆CK与x轴、y轴均相切
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的 两球中恰有一个红球的概率是_____．
14.已知函数f(x)=x2+alg2x，若f(2)=5，则f12=______．
15.已知直线y=mx+3与⊙C：x2+y2=4交于A，B两点，写出满足“▵ABC是等边三角形”的m的值为______．
16.对于函数y=f(x)，若存在x0，使fx0+f-x0=0，则称点x0,fx0是曲线f(x)的“优美点”.已知f(x)=x-1x,x>0-x2-2x,x≤0，则曲线f(x)的“优美点”个数为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知⊙M的圆心为8,6，且⊙M过点A4,3．
(1)求⊙M的标准方程；
(2)若直线l与⊙M相切于点A，求l的方程．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x-ax，且f(12)=3．
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在[1,+∞)上的 单调性，并证明．
19.(本小题12分)
已知两条直线l1:ax+by-4=0和l2:x+2y+2=0．
(1)若l1⊥l2，且l1过点3,2，求l1的方程；
(2)若l1与l2在x轴上的截距相等，且l1的斜率为3，求l1在y轴上的截距．
20.(本小题12分)
如图，已知▵BCD与▵MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，直线AB⊥平面BCD，AB=2 3．
(1)求点D到平面MBC的距离；
(2)求平面MBC与平面MAD所成二面角的余弦值．
21.(本小题12分)
已知空间三个向量a､b､c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120∘．
(1)求证：向量a-b垂直于向量c；
(2)已知ka+b+c>1k∈R，求k的取值范围．
22.(本小题12分)
如图，设▵ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c，AD为BC边上的中线，已知c=1，2csinAcsB=asinA-bsinB+14bsinC，cs∠BAD= 217．
(1)求b边的长度；
(2)求▵ABC的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量共面定理，属于基础题．
设c=ma+nb，其中m、n∈R，利用空间向量的坐标运算可得出关于m、n、z的方程
组，即可解得z的值．
【解答】
解：因为三向量a、b、c共面，设
c=ma+nb，其中m、n∈R，
则2m-n=02n=4m+n=z解得m=1n=2z=3．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】【分析】利用空间向量数量积的坐标表示求解．
解：因为a=1,1,-1，b=0,2,1，所以a⋅b=0+2-1=1，
故选：B．
3.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了圆的标准方程，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题．
由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一圆上，此圆的直径是OP，ΔAOB外接圆就是四边形AOBP的外接圆．
解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，
∴四边形AOBP有一组对角都等于90∘，
∴四边形AOBP的四个顶点在同一圆上，
此圆的直径是OP，OP的中点为2,1，
OP=2 5，∴四边形AOBP的外接圆方程为x-22+y-12=5，
∴ΔAOB外接圆的方程为x-22+y-12=5．
故选：A
4.【答案】B
【解析】【分析】根据圆的标准方程求解．
解：
由y= 2-x-12可得，x-12+y2=2,y≥0，
所以曲线y= 2-x-12表示圆x-12+y2=2,y≥0的部分，
因为圆心坐标为(1,0)，所以圆x-12+y2=2关于x轴对称，
所以曲线y= 2-x-12与x轴所围成区域的面积为12πr2=π，
故选：B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的奇偶性在求解函数值中的应用，属于基础题．
利用函数的奇偶性进行函数值计算得结论．
【解答】
解：由f(1)=12，
对f(x+2)=f(x)+f(2)，
令x=-1，得f(1)=f(-1)+f(2)，
又∵f(x)为奇函数，
∴f(-1)=-f(1)，
于是f(2)=2f(1)=1；
令x=1，得f(3)=f(1)+f(2)=32，
于是f(5)=f(3)+f(2)=52．
故选C．
6.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了中点坐标公式及函数与方程思思，考查转化能力及作图能力，属于难题．
设B(x0,ln x0)，利用中点坐标公式及已知可得：ln x0=4x0+1，将问题转化为：函数y=ln x与y=4x+1的图象的交点个数，作出函数图象即可得解．
解：设B(x0,ln x0)，x0>0，线段AB的中点为C，则Cx0+12,lnx02，
又点C在曲线M上，故lnx02=2x0+1，即ln x0=4x0+1．
此方程根的个数就是曲线G关于曲线M的关联点的个数
又方程ln x0=4x0+1根的个数可以看作函数y=ln x与y=4x+1的图象的交点个数．
画出图象(如图)，
可知两个函数的图象只有1个交点．
故选B．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查对新定义题目的理解，求集合真子集个数，属于基础题．
通过条件，运用新运算的定义，求得A⊗B，再用公式求真子集个数即可．
【解答】
由题意得A={ 2, 3}，B={1, 2}，
则A⊗B有：
( 2+1)×( 2-1)=1，
( 2+ 2)×( 2- 2)=0，
( 3+1)×( 3-1)=2，
( 3+ 2)×( 3- 2)=1四种结果，
由集合中元素的互异性，得集合A⊗B有3个元素，
故集合A⊗B的真子集个数为23-1=7个．
故答案为：B．
8.【答案】D
【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系.属于基础题.借助图像分析出直线与圆相交的两个交点只能位于第一象限是解本题的关键．
画出图像，即可分析出直线与圆相交的两个交点只能位于第一象限，再结合图像即可写出斜率k的取值范围．
解：因为圆x-22+y2=4为以(2,0)为圆心2为半径的圆，经过一四象限．
直线y=kx+1过定点(0,1)．
直线与圆相交的两个交点只能位于第一象限，如下图所示：
直线经过点A(4,0)时，k=0-14-0=-14
直线经过点B时，直线与圆相切，d=2k+1 k2+1=2⇒k=34
结合图像可知k∈-14,34．
故选：D
9.【答案】CD
【解析】【分析】根据方程成为圆的条件，然后对各个选项进行判断，从而求解．
解：由题意知：x2+y2+4xcsθ+8ysinθ+10=0表示一个圆，
则：4csθ2+8sinθ2-4×10>0，化简得：sin2θ>12，
即：sinθ<- 22或sinθ> 22，解之得：π4+2kπ<θ<3π4+2kπk∈Z或5π4+2kπ<θ<7π4+2kπk∈Z，
所以：A项和B项不满足要求，故A项和B项错误；
所以：C项和D项满足要求，所以C项和D项正确；
故选：CD．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】对A：根据向量共线分析运算；对B：根据向量垂直运算求解；对C：根据单位向量分析运算；对D：根据投影向量分析运算．
解：由题意可得：a2=b2=1,a⋅b=0，
对A：若点C在线段AB上，则AB=kAC,k∈1,+∞，则λa+2b=ka+λ-1b=ka+kλ-1b，
可得k=λkλ-1=2，解得k=λ=2或k=λ=-1(舍去)，故A正确；
对B：由AB⊥AC，可得AB⋅AC=λa+2b⋅a+λ-1b=λa2+λ2-λ+2a⋅b+2λ-1b2=3λ-2=0，
解得λ=23，故 B正确；
对C：当λ=1时，则AB=a+2b= a+2b2= a2+4a⋅b+4b2= 5，
与AB共线的单位向量是±a+2b 5=± 55a+2 55b，故 C错误；
对D：当λ=-1时，可得a⋅AC=a⋅a-2b=a2-2a⋅b=1,AC2= a-2b2= a2-4a⋅b+4b2= 5，
则a在AC上的投影向量为acsACAC=aa⋅ACaACACAC=a⋅ACAC2AC=15AC=15a-25b，故 D正确．
故选：ABD．
11.【答案】AC
【解析】【分析】根据空间中不共面的三个向量可以作为空间向量的一个基底，从而求解．
解：由题意得：如下图所示：

对于A项：AA1，AB，AC不共面，能作为空间的一个基底，故 A项正确；
对于B项：BD=BA+BC，所以：BA，BC，BD共面，不能作为空间的一个基底，故 B项错误；
对于C项：AC1，BD1，CB1不共面，能作为空间的一个基底，故 C项正确；
对于D项：BA1+AC=BA+AA1+AB+BC=AA1+BC=AA1+AD=AD1，
所以：AD1，BA1，AC共面，不能作为空间的一个基底，故 D项错误．
故选：AC．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】A假设存在圆Ck经过点(0,3)，将(0,3)代入圆的方程判断k是否有解；B由(1-k,-2k)在直线l:x-y+1=0上，代入即可判断；C几何法先求CK到直线l的距离，结合点线距离列方程求k；D根据题设，假设存在圆CK与数轴相切，|1-k|=2|k|=1判断是否有解．
解：A：将(0,3)代入(x+k-1)2+(y+2k)2=1，则(k-1)2+(2k+3)2=1，
所以5k2+10k+9=0，此时Δ=100-4×5×9=-80<0，
所以不存在k值，使圆Ck经过点(0,3)，对；
B：若圆CK关于直线l对称，则(1-k,-2k)在直线l:x-y+1=0上，
所以1-k+2k+1=0，则k=-2，对；
C：由题意，CK到直线l的距离d= 1-AB24= 22，
所以|1-k+2k+1| 2=|k+2| 2= 22，则|k+2|=1，可得k=-3或-1，错；
D：若圆CK与x轴、y轴均相切，则|1-k|=2|k|=1，显然无解，即不存在这样的圆CK，对；
故选：ABD
13.【答案】35
【解析】解：从5个球中随机取出两个球，共有10种基本事件，其中取出的两球中恰有一个红球包含有2×3=6种基本事件，其概率为610=35.
14.【答案】-34
【解析】【分析】本题考查求函数值，考查学生的计算求解能力，属于基础题．
由f(2)=5，可求出a的值，进而可求得f12．
解：由题意，f(2)=22+alg22=4+a=5，解得a=1，故f(x)=x2+lg2x，
所以f12=14+lg212=14-1=-34．
故答案为：-34．
15.【答案】- 2或 2
【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系以及弦长公式求解．
解：
因为▵ABC是等边三角形，所以AB=AC=BC=r=2，
设圆心C到直线mx-y+3=0的距离为d，
则根据弦长公式可得，AB=2 r2-d2=r，解得d= 3，
即3 m2+1= 3，解得m=± 2，
故答案为：- 2或 2．
16.【答案】5
【解析】【分析】由曲线f(x)与曲线-f(-x)交点个数即可得到曲线f(x)的“优美点”个数．
解：曲线f(x)的“优美点”个数即曲线f(x)与曲线-f(-x)交点个数．
由f(x)=x-1x,x>0-x2-2x,x≤0，可得f(-x)=-x-1-x,-x>0--x2-2-x,-x≤0,
即f(-x)=-x+1x,x<0-x2+2x,x≥0，则-f(-x)=x-1x,x<0x2-2x,x≥0,
同一坐标系内作出y=f(x)(实线)与y=-f(-x)的图像(虚线)．
由图像可得两函数图像共有5个交点，则曲线f(x)的“优美点”个数为5
故答案为：5
17.【答案】解：(1)
由题可知，⊙M的半径为MA= 16+9=5，
所以⊙M的标准方程为(x-8)2+(y-6)2=25．
(2)
因为直线l与⊙M相切于点A，且kAM=34，
所以kl×kAM=-1，所以kl=-43，
由点斜式得，y-3=-43(x-4)，整理得，4x+3y-25=0．

【解析】【分析】(1)利用圆心坐标和圆上的一个点的坐标求圆的标准方程；
(2)利用直线与圆的位置关系求解．
18.【答案】解：(1)函数f(x)=2x-ax中，因f(12)=3，则2⋅12-2a=3，解得a=-1，
所以a的值是-1；
(2)由(1)知：f(x)=2x+1x，f(x)在[1,+∞)上的单调递增，
∀x1,x2∈[1,+∞)，且x1因x2>x1≥1，则x1-x2<0，且2-1x1x2>0，即有f(x1)-f(x2)<0，f(x1)所以f(x)在[1,+∞)上的单调递增．

【解析】【分析】(1)将x=12代入函数式，计算即可得解；
(2)利用(1)的结论写出函数f(x)的解析式并判断在[1,+∞)上的单调性，再用定义证明即得．
19.【答案】解：(1)因为直线l2的斜率k2=-12，l1⊥l2，所以直线l1的斜率为k1=-1k2=2，
又因为直线l1过点3,2，因此，直线l1的方程为y-2=2x-3，即2x-y-4=0；
(2)在直线l2的方程中，令y=0，可得x=-2，所以，直线l2在x轴上的截距为-2，
所以，直线l1在x轴上的截距为-2，
又因为直线l1的斜率为3，所以直线l1的方程为y=3x+2，即y=3x+6，
因此，直线l1在y轴上的截距为6．

【解析】【分析】
(1)求出直线l2的 斜率，由l1⊥l2可求出直线l1的斜率，再利用点斜式可得出直线l1的方程；
(2)求出直线l2在x轴上的截距，利用点斜式可得出直线l1的方程，进而可求得直线l1在y轴上的截距．
20.【答案】解：(1)
取CD中点为O，连接OB,OM,则OB=OM= 3,OB⊥CD,MO⊥CD,
又因为平面MCD⊥平面BCD，平面MCD∩平面BCD，
MO⊂平面MCD，所以MO⊥平面BCD，
因为BM= OB2+OM2= 6，BC=MC=2，
所以S△BCM=12BM× BC2-BM22= 152，
设点D到平面MBC的距离为d，
由等体积可得，VM-BCD=VD-BCM，即13S△BCD×OM=13S△BCM×h，
所以h=S△BCD×OMS△BCM=12CD×OB×OMS△BCM=2 155．
(2)
由(1)知，OM⊥OC,OM⊥OD,OC⊥OD,
所以建立如图所示空间直角坐标系，
则A(0,- 3,2 3),B(0,- 3,0),C(1,0,0),D(-1,0,0),M(0,0, 3),
BC=(1, 3,0),BM=(0, 3, 3),
设平面MBC的一个法向量为m=(x,y,z)，
则BC⋅m=x+ 3y=0,BM⋅m= 3y+ 3z=0,令x= 3,则y=-1,z=1，所以m=( 3,-1,1)；
AM=(0, 3,- 3),AD=(-1, 3,-2 3),
设平面MAD的一个法向量为n=(a,b,c)，
则AM⋅n= 3b- 3c=0,AD⋅n=-a+ 3b-2 3c=0,令b=1,则c=1,a=- 3，所以n=(- 3,1,1)；
设平面MBC与平面MAD所成二面角为θ，
则csθ=cs=m⋅nmn=3 5⋅ 5=35．
因为平面MBC与平面MAD所成二面角为锐角，所以csθ=35．

【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性质定理以及等体积法求解；
(2)利用空间向量的坐标运算求二面角的余弦值．
21.【答案】解：(1)
证明：因为a=b=c=1，且a､b､c之间的夹角均为120∘，
所以a-b⋅c=a⋅c-b⋅c=a⋅c⋅cs120∘-b⋅c⋅cs120∘=0，
所以向量a-b垂直于向量c；
(2)
ka+b+c>1⇔ka+b+c2>1⇔ka+b+c2>1，
所以k2a2+b2+c2+2ka⋅b+2ka⋅c+2b⋅c>1．
因为a⋅b=a⋅c=b⋅c=cs120∘=-12，
所以k2-2k>0，解得k<0或k>2．

【解析】【分析】(1)证明a-b⋅c=0，由垂直关系的向量表示即可得证；
(2)利用数量积的运算律，结合ka+b+c>1⇔ka+b+c2>1⇔ka+b+c2>1，即可得到关于k的不等式，求解即可
22.【答案】解：(1)由条件2csinAcsB=asinA-bsinB+14bsinC，
可得：2cacsB=a2-b2+14bc，即2ca⋅a2+c2-b22ac=a2-b2+14bc，
化简可得：4c=b，因为c=1，所以b=4
(2)因为D为中点，
所以AD=12AB+AC，
设AB⇀,AC⇀=θ，由AD⇀2=14AB⇀+AC⇀2=14AB⇀2+AC⇀2+2AB⇀⋅AC⇀=14c2+b2+2c⋅bcsθ
得|AD|= 17+8csθ2，
又AB⋅AD=AB⋅12AB+AC=1+4csθ2，
所以 217=cs∠BAD=AB⋅AD|AB|⋅|AD|=1+4csθ 17+8csθ，
化简可得：28cs2θ+8csθ-11=0
解得csθ=12或csθ=-1114，
又1+4csθ>0，
所以csθ=12，则sinθ= 1-cs2θ= 32，
所以▵ABC的面积为12bcsinA=12×1×4× 32= 3

【解析】【分析】计算线段长度，关键是找到基底，然后用基底表示，平方之后再开方即可．
(1)角化边即可求解；
(2)设AB⇀,AC⇀=θ，根据cs∠BAD= 217列方程即可求解