广东省广州市洛溪新城中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

这是一份广东省广州市洛溪新城中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答， 设，，，则，，大小关系是， 欧拉公式等内容，欢迎下载使用。
2022学年下学期高一年级数学学科中段考联考试题
本试卷共1页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数单调性求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，，
因此，.
故选：C.
2. 在中，内角、、的对边分别为、、，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理结合两角和与差的正弦公式可得出，求出的取值范围，分析可得出，利用二倍角的余弦公式可求得的值.
【详解】因为，由正弦定理可得，
所以，，
因为、，则，可得，
所以，或，
显然不成立，故，
因此，.
故选：A.
3. 函数（且，）的值域是，则实数（ ）
A. 3 B.
C. 3或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
当且时，函数为指数型函数，需要分情况进行讨论解决．当时，函数是增函数；当时，函数是减函数，由此结合条件建立关于a的方程组，解之即可求得答案．
【详解】当时，在上为增函数， ，解得；
当时，在上为减函数，，解得．
综上可知：或．
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了指数函数的单调性和值域，解题的关键是利用函数的单调性求解函数值域，但含有参数时往往需要讨论.
4. 已知在矩形中，，，点满足，点在边上，若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算即可求解.
【详解】以点为坐标原点，方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系，
则： ，设，则：
，即，
则．

故选：B
5. 在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别是棱B1B、B1C中点，点G是棱CC1的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为（　　　　）

A. 矩形 B. 三角形 C. 正方形 D. 等腰梯形
【答案】D
【解析】
【分析】取的中点，连接、、、，推导出平面平面，由此得到过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形．
【详解】取的中点，如图连接、、、，由题意得：，，
不在平面内，平面内，∴平面.
不在平面内，平面内，∴平面.
，平面，
平面平面，
过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形．
故选：．

【点睛】本题考查截面图形的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6. 设，，，则，，大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数，对数函数与幂函数的单调性质，并且比较a，b，c与1的大小关系，即可得到答案.
【详解】由对数函数是单调递减函数，
由指数函数是单调递减函数，
由幂函数是单调递增函数，
，即
故选：A
【点睛】方法点睛：本题考查比较大小，比较指数式和对数式的大小常用的方法：
（1）可以利用函数的单调性，引入中间量，有时也可用数形结合的方法．
（2）根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
7. 已知圆锥的底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角形相似可得出，再利用圆柱的表面积公式以及基本不等式可求得该圆柱表面积的最大值.
【详解】取圆锥的轴截面，如下图所示：

设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则，整理可得，
所以，该圆柱的表面积为
.
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，该圆柱表面积的最大值为.
故选：D
8. 欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）
A. B. 为实数
C. D. 复数对应的点位于第三象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的欧拉公式可判断AB选项；利用欧拉公式以及复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断C选项；利用欧拉公式以及复数的几何意义可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，为纯虚数，B错；
对于C选项，因为，
因此，，C对；
对于D选项，，则，，
所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限，D错.
故选：C.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】BD
【解析】
【分析】相同函数，需要定义域相同，对应关系也相同，选项逐个判断.
【详解】A选项，定义域为，定义域为R，不是相同函数；
B选项，两个函数定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；
C选项，定义域为，定义域为，不是相同函数；
D选项，当或时，；当时，，所以与是相同函数；
故选：BD
10. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若为奇函数，则的取值可以为（ ）
A. 1 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】AC
【解析】
【分析】根据图象平移性质，三角函数奇偶性即可求解.
【详解】由题意可知：
，因为为奇函数，
所以，
则，因为时，；
时，，所以A、C正确．
故选：AC.
11. 已知向量满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标运算逐一判断即可.
【详解】因为，
所以，，
，，，
故选：BCD
12. 某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（ ）

A. 该圆台轴截面面积为
B. 该圆台的体积为
C. 该圆台的侧面积为
D. 沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A；由台体的体积公式可判断选项B；由台体的侧面积公式可判断选项C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断选项D.
【详解】对于，由，且，
可得，高，
则圆台轴截面的面积为，故A正确；
对于B，圆台的体积为，故B错误；
对于C，圆台的体积为，故C正确；
对于，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角．
设的中点为，连接，可得，
则．
所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故正确．

故选：ACD．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若，，，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的取值范围.
【详解】因为，，由基本不等式可得，
即，解得，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知函数的图象如图所示，则______.

【答案】
【解析】
【分析】由函数的最大值可得出的值，求出函数的最小正周期，可得出的值，将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式.
【详解】由图可得，函数的最小正周期为，
因为，则，所以，，
又因为，可得，
因为，则，所以，，可得，
因此，.
故答案为：.
15. 已知非零向量满足，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求得，从而求得.
【详解】由两边平方得，
，.
所以.
故答案为：
16. 已知复数，若复数为实数，则______，此时______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数，根据求出的值，可化简复数，进而可求得的值.
【详解】为实数，且，
所以，，解得，
所以，，则，故.
故答案为：；.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知，，其中表示的共轭复数.
（1）求；
（2）若，求的模.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，利用复数的除法可求得复数；
（2）利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值.
【小问1详解】
解：因为，则，
因为，则.
【小问2详解】
解：，
因此，.
18. 某学校因为学生活动区域紧张，为了更好的为学生提供活动场地，决定在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生活动中心，要求顶点在地块的对角线上，、分别在边、上，假设长度为米.

（1）要使矩形活动区域的面积不小于平方米，的长度应在什么范围？
（2）长度和宽度分别为多少米时矩形活动区域的面积最大？最大值是多少平方米？
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由已知可得，可求得，可得出，利用矩形的面积公式可得出关于的不等式，即可解得的取值范围；
（2）利用二次函数的基本性质可求得矩形面积的最大值，及其对应的的值，即可得出结论.
【小问1详解】
解：因为，由图可知，，即，即，
所以，，所以，，其中，
矩形的面积为，其中，
由，整理可得，解得，
因此，当时，形活动区域的面积不小于平方米.
【小问2详解】
解：由（1）知，，其中，
故当时，函数取最大值，即，
因此，当米，米时，矩形活动区域的面积最大，且最大值为平方米.
19. 设函数，．
（1）若，求t的取值范围；
（2）求的最值，并写出取最值时对应的x的值．
【答案】（1）（2）时，；时，
【解析】
【分析】（1），，利用函数的单调性求的取值范围；
（2）利用对数运算法则函数化简为，再通过换元设，，转化为二次函数求最值.
【详解】（1），，
，即．
（2），
令，，
则，
当即，时，．
当即时，．
【点睛】本题考查对数函数的值域，以及换元法求二次函数的最值，意在考查计算求解能力，换元法容易错的步骤是有些学生会忘记中间变量的范围，谨记：换元的中间变量都要先求范围.
20. 已知.
（1）若,且、、三点共线,求的值.
（2）当实数为何值时,与垂直?
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；
（2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意可得，，
且、、三点共线，则可得，
即，解得
【小问2详解】
由题意可得，，
因为与垂直，则可得
解得
21. 已知的内角、、的对边分别为、、，.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式以及两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【小问1详解】
解：因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，，
因为、，则，所以，，故.
【小问2详解】
解：由余弦定理可得
，即，
当且仅当时，等号成立，
所以，，
故面积的最大值为.
22. 已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值.
（2）试判断的单调性，并用定义证明.
（3）解关于不等式.
【答案】（1）
（2）在上为增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）直接由计算可得实数的值；
（2）任取且，通过计算的正负来判断单调性；
（3）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式中的去掉，然后换元转化为二次不等式求解.
【小问1详解】
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
即恒成立，
所以.
【小问2详解】
在上为增函数，证明如下：
由于，任取且，
则.
因为，所以，又，
所以，
所以函数在上为增函数.
【小问3详解】
由（2）得，奇函数在上增函数，
，即.
令，则，可得，即
可得不等式的解集为.