2023-2024学年江苏省常州二十四中教育集团八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州二十四中教育集团八年级（上）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是
( )
A. B. C. D.
2.下列数组中，能构成勾股数的是
( )
A. 1,1, 2B. 0.3，0.4，0.5C. 6，8，10D. 13,14,15
3.如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M、C两点间的距离为
( )
A. 3kmB. 4kmC. 5kmD. 6km
4.如图，已知∠MAN，点B是其中一边AM上的点，用尺规作图的方法在另一边AN上确定一点C，使ΔABC是等腰三角形，则作图痕迹不符合要求是
( )
A. B.
C. D.
5.如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在
( )
A. 在∠A、∠B两内角平分线的交点处B. 在AC、BC两边中线的交点处
C. 在AC、BC两边高线的交点处D. 在AC、BC两边垂直平分线的交点处
6.若直角三角形的两直角边分别为a，b，且满足 a2−6a+9+|b−4|=0，则该直角三角形的斜边为
( )
A. 5B. 7C. 5或 7D. 0
7.下列说法中，正确的是
( )
A. 如果两个三角形全等，则它们必是关于某直线成轴对称的图形
B. 等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形
C. 如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
D. 线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形
8.如图，在ΔABC中AB=AC，BC=4，面积是24，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段上一动点，则ΔCDM周长的最小值为
( )
A. 8B. 10C. 12D. 14
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
9.实数16的算术平方根是 ．
10.如图，已知AC=AE，∠1=∠2，要使ΔABC≅ΔADE，还需添加的条件是(只需填一个) ．
11.如图，ΔABC与△A′B′C′关于直线对称，则∠C的度数为 ．
12.已知一个正数的两个平方根分别是x和x−6，则这个正数等于 ．
13.如图，在ΔABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠1=25∘，则∠C= ．
14.等腰三角形两边长为3和6，则此等腰三角形的周长是 ．
15.如图，P为∠AOB内任意一点，分别画出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2.交OA于点M，交OB于点N.若P1P2=11cm，则ΔPMN的周长为 cm．
16.如图，已知AD//BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，若PE=2.5，则两平行线AD与BC间的距离为 ．
17.如图，长方形ABCD的长和宽分别为5cm、3cm，E、F分别是两边上的点，将四边形AEFD沿直线EF折叠，使点A落在A′点处，则图中阴影部分的周长为 cm．
18.如图，在ΔABC中，∠A=90∘，AB=AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN=BM.若BC=8 2，则MN的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8分)
求下列各式中x的值：
(1)12x2=5；
(2)(x−1)2=16．
20.(本小题8分)
方格纸中每个小方格都的边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．
(1)在图1中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；
(2)在图2中画一个格点正方形，使其面积等于17．
21.(本小题8分)
已知：如图，AB、CD相交于点E，且E是AB、CD的中点．求证：ΔAEC≅ΔBED．
22.(本小题8分)
如图，已知在ΔABC中，AB=8，AD=17，∠ABD=90∘，BC=9，CD=12，求ΔBCD的面积．
23.(本小题8分)
如图，在RtΔABC中，∠ACB=90∘，D是AB上的一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接CD、BE．
(1)求证：BE垂直平分CD；
(2)若∠BAC=30∘，求证：ΔCBD是等边三角形．
24.(本小题8分)
【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
(1)【概念理解】：如图①，若AD=1，AD=DB=DC，BC= 2，则四边形ABCD__(填“是”或“否”)真等腰直角四边形；
(2)【性质应用】：如图②，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC=90∘，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD=5，AB=4时，BC2=__；
(3)【深度理解】：如图③，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC=90∘，∠ADE=90∘，BD>AD>AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明AC与BE的数量关系，并说明理由．
25.(本小题8分)
(1)如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD.证明：AB2+CD2=AD2+BC2；
(2)如图2，分别以RtΔACB的直角边AC和斜边AB为边向外作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BAE，使得∠DAC=∠BAE=90∘，连接CE、BD、DE．
①已知AC=6，AB=8，求DE2的值；
②若分别取BD，CE的中点P、Q，连接AP，AQ，PQ，判断ΔAPQ的形状为__；
(3)如图3，对于任意ΔACB，以AC和AB为边向外作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BAE，使得∠DAC=∠BAE=90∘，连接CE、BD、DE，分别取BD，CE的中点P、Q，连接AP，AQ，PQ，则②的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据勾股数的定义对各个选项逐一判定即可．
【解答】解：A、∵ 2不是正整数，
∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
B、∵0.3，0.4，0.5不是正整数，
∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
C、∵62+82=102，
∴这一组数能构成勾股数，符合题意；
D、∵13，14，15不是正整数，
∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
故选：C．
3.【答案】C
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=12AB，再求出答案即可．
【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB=90∘，
∵M为AB的中点，
∴CM=12AB，
∵AB=10km，
∴CM=5(km)，
即M，C两点间的距离为5km，
故选：C．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据作图痕迹分别判断ΔABC是否是等腰三角形，即可得出答案．
【解答】解：A.由作图痕迹可知，是以A为圆心，AB为半径作圆，交AN于点C，得出AB=AC，ΔABC是等腰三角形，故选项不符合题意；
B.由作图痕迹可知，是以B为圆心，AB为半径作圆，交AN于点C，得出AB=BC，ΔABC是等腰三角形，故选项不符合题意；
C.由作图痕迹可知，作线段AB的垂直平分线，得出AC=BC，ΔABC是等腰三角形，故选项不符合题意；
D.由作图痕迹可知，ΔABC不是等腰三角形，故选项符合题意；
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．
故选：A．
6.【答案】A
【解析】【分析】首先根据非负数的性质求得a、b的值；然后由勾股定理求得斜边的长度即可．
【解答】解：∵ a2−6a+9+|b−4|=0，
∴ (a−3)2+|b−4|=0，
∴a−3=0，b−4=0，
∴a=3，b=4，
∴该直角三角形的斜边长为：5．
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】根据图形成轴对称和轴对称图形的定义逐一判断即可，全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的．
【解答】解：A、全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的，原说法错误，不符合题意；
B、等腰三角形是以底边中线所在直线为对称轴的轴对称图形或者说等腰三角形被中线所在直线分成的两个三角形成轴对称，原说法错误，不符合题意；
C、成轴对称的两个三角形一定是全等的，正确，符合题意；
D、成轴对称的图形必须是两个，一个图形只能是轴对称图形，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】【分析】连接AD，AM，由于ΔABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，AM．
∵ΔABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴SΔABC=12BC⋅AD=12×4×AD=24，解得AD=12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA=MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴ΔCDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+12BC=12+12×4=12+2=14．
故选：D．
9.【答案】4
【解析】【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：16的算术平方根为4，
故答案为：4
10.【答案】AB=AD
【解析】【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，求出∠BAC=∠DAE，再根据全等三角形的判定定理添加一个条件即可．
【解答】解：AB=AD，
理由是：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
在ΔABC和ΔADE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE,
∴ΔABC≅ΔADE(SAS)，
故答案为：AB=AD．
11.【答案】121∘
【解析】【分析】依据轴对称的性质，即可得到∠A的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．
【解答】解：从图中可知，∠B=23∘，∠A′=36∘，
∵ΔABC与△A′B′C′关于直线对称，
∴∠A=∠A′=36∘，
∵∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠C=121∘．
故答案为：121∘．
12.【答案】9
【解析】【分析】根据平方根的定义求出x的值，再求出这个正数的平方根，进而得出答案．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根是x和x−6，
∴x+x−6=0，
解得x=3，
∴x−6=−3，
∴这个正数为(±3)2=9，
故答案为：9．
13.【答案】65∘
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠2=∠1=25∘，AD⊥BC，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB=AC，点D为BC边的中点，
∴∠2=∠1=25∘，AD⊥BC，
∴∠ADC=90∘，
∴∠C=90∘−25∘=65∘，
故答案为：65∘．
14.【答案】15
【解析】【分析】首先根据三角形的三边关系推出腰长为6，底边长为3，即可推出周长．
【解答】解：若3为腰长，6为底边长，
∵3+3=6，
∴腰长不能为3，底边长不能为6，
∴腰长为6，底边长为3，
∴周长=6+6+3=15．
故答案为15．
15.【答案】11
【解析】【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等，可求得ΔPMN的周长．
【解答】解：∵P与P1关于OA对称，
∴OA为线段PP1的垂直平分线．
∴MP=MP1．
同理可得：NP=NP2．
∵P1P2=11cm，
∴ΔPMN的周长=MP+MN+NP=P1M+MN+NP2=P1P2=11cm．
故答案为：11．
16.【答案】5
【解析】【分析】要求两平行线AD与BC间的距离，即就是求AD与BC之间的垂线长度；过点P作MN⊥AD，交AD于M点，交BC于N点，AD与BC之间的垂线长度即为线段MN的长度；根据角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，再结合已知条件可求出PM、PN，即可求出MN的长度．
【解答】解：过点P作MN⊥AD，交AD于M点，交BD于N点．
∵AD//BC，MN⊥AD，
∴MN⊥BC，
∴PN⊥BC．
∵PN⊥BC，PE⊥AB，MN⊥AD，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，
∴PM=PE=2.5，PE=PN=2.5，
∴MN=2.5+2.5=5．
∴两平行线AD与BC间的距离为5．
故答案为：5．
17.【答案】16
【解析】【分析】根据翻折变换的性质得出图中阴影部分的周长为：BE+EA′+BC+A′D′+FD′=AB+BC+AD+CD，进而求出即可．
【解答】解：∵将四边形AEFD沿直线EF折叠，使点A落在A′点处，
∴AE=A′E，DF=D′F，AD=A′D′
∴图中阴影部分的周长为：BE+EA′+BC+A′D′+FD′=AB+BC+AD+CD，
∵长方形ABCD的长和宽分别为5cm、3cm，
∴图中阴影部分的周长为：5+3+5+3=16(cm)，
故答案为：16．
18.【答案】4
【解析】【分析】连接OA，通过SAS证明ΔAON≅ΔBOM，可证明ΔMON是等腰直角三角形，得MN= 2ON，只要ON最小时，MN即最小，从而解决问题．
【解答】解：连接OA，
∵AB=AC，∠A=90∘，点O为BC的中点，
∴OA=OB，∠CAO=∠B=45∘，∠AOB=90∘，
在ΔAON和ΔBOM中，
AN=MB∠CAO=∠BAO=BO,
∴ΔAON≅ΔBOM(SAS)，
∴∠AON=∠BOM，ON=OM，
∴∠MON=∠AON+∠AOM=∠AOM+∠BOM=90∘，
∴ΔMON是等腰直角三角形，
∴MN= 2ON，
∵BC=8 2，
∴CO=4 2，
当ON⊥AC时，ON最小值为 22×4 2=4，
∴MN的最小值为：4．
故答案为：4．
19.【答案】解：(1)∵12x2=5，
∴x2=10．
∴x=± 10．
(2)∵(x−1)2=16，
∴x−1=±4．
∴x=5或x=−3．

【解析】【分析】(1)先求得x2=10，然后再利用平方根的定义回答即可；
(2)先利用平方根的定义求得x−1=±6 6，然后再求解即可．
20.【答案】解：(1)如图1中，四边形ABCD即为所求；
(2)如图2中，正方形ABCD即为所求．

【解析】【分析】(1)作一个等腰梯形ABCD即可；
(2)作一个边长为 17的正方形即可．
21.【答案】证明：∵E是AB、CD的中点，
∴AE=BE，CE=DE．
在ΔAEC和ΔBED中，
AE=BE∠AEC=∠BEDCE=DE,
∴ΔAEC≅ΔBED(SAS)．

【解析】【分析】根据线段中点的定义得出AE=BE，CE=DE，由对顶角相等得出∠AEC=∠BED，根据SAS即可证明ΔAEC≅ΔBED．
22.【答案】解：∵AB=8，AD=17，∠ABD=90∘，
∴BD= AD2−AB2=15，
∵BC=9，CD=12，
∴BC2+CD2=BD2，
∴ΔBCD是直角三角形，∠C=90∘，
∴ΔBCD的面积=12CD⋅BC=12×12×9=54．

【解析】【分析】根据勾股定理求出BD=15，根据勾股定理逆定理推出ΔBCD是直角三角形，∠C=90∘，根据三角形面积公式求解即可．
23.【答案】证明：(1)∵∠ACB=90，且DE⊥AB，
∴∠EDB=∠ACB=90∘，
在和中，
BD=BCEB=EB,
，
∴∠CBE=∠DBE，
∵BD=BC，
∴ΔBDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF=DF，
∴BE垂直平分CD．
(2)∵∠CAB=30∘，∠ACB=90∘，
∴∠CBD=60∘，
又∵BD=BC，
∴ΔCBD是等边三角形．

【解析】【分析】(1)先证，即可得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证；
(2)证出∠CBD=60∘，又根据DB=BC，即可证明结论．
24.【答案】解：(1)∵AD=1，AD=DB=DC，
∴BD=CD=1，
∵BD2+CD2=2，BC2=( 2)2=2，
∴BD2+CD2=BC2，
∴ΔBDC是等腰直角三角形，
∵ΔABD是等腰三角形，
∴四边形ABCD是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
(2)∵对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，
∴ΔABD是等腰三角形，
当AD=BD=5时，由勾股定理得：BC2=BD2+CD2=52+52=50；
当BD=AB=4时，由勾股定理得：BC2=BD2+CD2=42+42=32；
故答案为：50或32；
(3)AC=BE，理由如下：
由题意知：ΔBDC和ΔADE都是等腰直角三角形，BD>AD>AB，
∴BD=CD，AD=DE，∠BDC=∠ADE=90∘，
∴∠ADC=∠BDE，
在ΔADC和ΔEDB中，
AD=DE ∠ADC=∠BDE CD=BD ,
∴ΔADC≅ΔEDB(SAS)，
∴AC=BE．

【解析】【分析】(1)利用勾股定理的逆定理证明∠BDC=90∘，从而ΔBDC是等腰直角三角形，又因为ΔABD是等腰三角形，即可得出结论；
(2)由题意知ΔABD是等腰三角形，当AD=BD=5时，由勾股定理得：BC2=50，当BD=AB=4时，由勾股定理得：BC2=32；
(3)利用SAS证明ΔADC≅ΔEDB，得AC=BE．
25.【答案】(1)证明：如图1中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COB=∠COD=∠AOD=90∘，
∴AB2=AO2+OB2，CD2=OD2+OC2，AD2=AO2+OD2，BC2=OB2+OC2，
∴AB2+CD2=AO2+OB2+OD2+OC2，AD2+BC2=AO2+OB2+OD2+OC2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2．
(2)解：①如图2中，设BD交CE于点O，交AC于点J．
在RtΔACB中，∠ACB=90∘，AC=6，AB=8，
∴BC= AB2−AC2= 82−62=2 7，
∵ΔACD，ΔABE都是等腰直角三角形，
∴AC=AD=6，AB=AE=8，∠DAC=∠BAE=90∘，
∴∠DAB=∠CAE，CD= 2AC=6 2，BE= 2AB=8 2，
∴ΔDAB≅ΔCAE(SAS)，
∴∠BDA=∠ACE，
∵∠DJA=∠CJO，
∴∠DAJ=∠COJ=90∘，
∴BD⊥CE，
∴DE2+BC2=CD2+BE2，
∴DE2=72+128−28=172；
②结论：ΔAPQ是等腰直角三角形．理由如下：
如图3.1中，
由①知ΔDAB≅ΔCAE，
∴∠ADP=∠ACQ，DB=CE，
∵DP=PB，CQ=QE，
∴DP=CQ，
∵DA=CA，
∴ΔDAP≅ΔCAQ(SAS)，
∴AP=AQ，∠DAP=∠CAQ，
∴∠DAC=∠PAQ=90∘，
∴ΔPAQ是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形；
(3)解：②中结论成立．理由如下：
如图3.2中，
∵∠DAC=∠BAE，
∴∠DAB=∠CAE，
∵AD=AC，AB=AE，
∴ΔDAB≅ΔCAE(SAS)，
∴∠ADP=∠ACQ，DB=CE，
∵DP=PB，CQ=QE，
∴DP=CQ，
∵DA=CA，
∴ΔDAP≅ΔCAQ(SAS)，
∴AP=AQ，∠DAP=∠CAQ，
∴∠DAC=∠PAQ=90∘，
∴ΔPAQ是等腰直角三角形．

【解析】【分析】(1)利用勾股定理证明即可；
(2)①利用勾股定理求出BC，再证明DB⊥CE，利用(1)中结论，解决问题即可；
②如图2中，设BD交CE于点O，交AC于点J.证明ΔDAP≅ΔCAQ(SAS)，可得结论；
(3)证明ΔDAB≅ΔCAE(SAS)，推出∠ADP=∠ACQ，DB=CE，再证明ΔDAP≅ΔCAQ(SAS)，可得结论．