2023-2024学年江苏省宿迁市部分校高二上学期11月期中联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市部分校高二上学期11月期中联考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线x+tan30∘y−1=0的倾斜角为( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
2.已知直角三角形的两个锐角顶点坐标为5 , 6 , −3 , 4，则这个三角形外接圆的方程为
A. x2+y2+8x+2y+7=0B. x2+y2+2x−10y−6=0
C. x2+y2−8x−2y−5=0D. x2+y2−2x−10y+9=0
3.抛物线y=4x2的焦点到准线的距离为
A. 1B. 2C. 18D. 116
4.如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设f(m,n)表示该数阵中第m行、第n列的数，则下列说法正确的是
A. f(3 , 18)<49B. f(6 , 8)>49C. f(12 , 4)=49D. f(7 , 7)=49
5.若抛物线y2=4x上的一点M到坐标原点的距离为2 3，则点M到该抛物线的焦点的距离为
( )
A. 3B. 2C. 32D. 1
6.已知直线l与圆C：x2+y2=1相切，且点−3 , 0到直线l的距离为2，则满足条件的直线条数为
( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
7.已知三条直线x+y−3=0 , 3x−y−1=0和x+my−n=0相交于一点，则点Pm , n到原点的距离OP的最小值为
( )
A. 55B. 33C. 22D. 1
8.设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1.若点F2关于l的对称点P恰好在双曲线C上，且F1P⋅F1F2=6a2，则C的离心率为( )
A. 3B. 5−1C. 5+1D. 2
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.设an是等比数列，下列说法中正确的是
( )
A. anan+1是等比数列B. an+an+1是等比数列
C. 1an是等比数列D. ln|an|是等比数列
10.下列命题正确的是
A. 任何直线方程都能表示为一般式
B. 直线x+2y−4=0与直线2x−y+2=0互相垂直
C. 两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等
D. 直线ax+(a+1)y=1(a∈R)恒过定点−1 , 1
11.已知点P是圆C：(x−3)2+(y−4)2=r2(r>0)上一点，A(−1 , 0)，B(1 , 0)，C(0 , 1) ，则以下说法正确的是
A. 若直线AB与圆C相切，则r=4
B. 若以A，B为直径的圆与圆C有唯一公共点，则r=4
C. 若AP⋅AC=3，则r≥5 22
D. 当r=1时，|PA|2+|PB|2的最小值为34
12.在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系xOy中，动点P(x , y)到两个定点F1(−1 , 0)，F2(1 , 0)的距离之积等于4，则下列结论正确的是
A. |PF1|+|PF2|的最小值为4B. 曲线方程为x2+y2+1= 4x2+16
C. △F1PF2面积的最大值为2D. |OP|的取值范围为[ 3 , 5]
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若直线l1：2x+ay−4=0与直线l2：a−1x+3y−4=0平行，则实数a的值为_______．
14.已知F1 , F2为椭圆x28+y24=1的两个焦点，M为椭圆上一点，且有MF1⊥MF2，请写出一个满足条件的点M的坐标______．
15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N∗，均有S5⩽Sn成立，则a8a7的值的取值范围是______．
16.为测量一工件的内圆弧AB对应的半径R，工人用三个半径均为10mm的圆柱形量棒O1，O2，O3放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度ℎ=5mm(如图所示)，则R=_____mm．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
若数列1an是等差数列，则称数列{an}为调和数列．若实数a、b、c依次成调和数列，则称b是a和c的调和中项．
(1)求14和1的调和中项；
(2)已知调和数列{an}，a2=1，a4=12，求{anan+1}的前n项和Tn公式．
18.(本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，如图，矩形OABC中，已知OA=3，E，F为O，A的两个三等分点，OB与CF交于点G．
(1)若OC=2，直线GE的方程；
(2)若GE⊥CF，求OC的长．
19.(本小题12.0分)
设a∈R，若过点M0 , 1直线l与圆C：x2+y2+2x−4y+a=0相交于A , B两点．
(1)若M为弦AB的中点，求a的取值范围及直线l的方程；
(2)若l的斜率为0，且CA⋅CB=−1，求a的值．
20.(本小题12.0分)
已知数列an满足a1=1，an+1=an+2 , n为奇数2an , n为偶数．
(1)记bn=a2n+2，求证：bn为等比数列；
(2)求数列an的前10项的和S10．
21.(本小题12.0分)
某海域有A,B两个岛屿，B岛在A岛正东40海里处，某海洋探测器在A,B两个岛屿周围移动探测，移动探测时始终保持到A,B两点距离之和为80海里，以AB所在直线为x轴，AB中垂线所在直线为y轴建系，其中正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向．
(1)求海洋探测器移动的轨迹方程；
(2)当海洋探测器在A岛南偏西30∘方向时，求该海洋探测器到B岛的距离．
22.(本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知F2 , 0为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，且OP=1．
(1)求双曲线C的方程；
(2)经过F的直线l与C交于点D，E，设A(1 , 0)，直线DA，EA分别与直线x=12交于点P，Q，证明：以PQ为直径的圆经过点F．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，属于基础题；
计算时先计算斜率，可得倾斜角．
【解答】
解：由x+tan 30∘y−1=0，可得x+ 33y−1=0，
斜率为k=− 3，倾斜角为120∘．
故选C．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查圆的方程的求解，属于基础题．
根据圆内接直角三角形的性质得，(5,6)，(−3,4)是圆的一条直径的两个端点，从而可得圆心与半径，即可得圆的方程．
【解答】
解：根据题意，(5,6)，(−3,4)是圆的一条直径的两个端点，
则圆的圆心为(1,5)，半径r=12× 64+4= 17，
则圆的方程为(x−1)2+(y−5)2=17，
即x2+y2−2x−10y+9=0．
故选D．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查抛物线的性质及标准方程，属于基础题．
求出抛物线的标准方程，得p即可求解．
【解答】解：先将抛物线方程化为标准形式x2=14y，
∴p=18，
∴抛物线的焦点到准线的距离为p=18．
故选C．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数列的应用，涉及等差数列的通项公式以及应用，属于中档题．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，第3行是首项为4，公差为3的等差数列，f(3,18)为第3行的第18个数，
则f(3,18)=4+17×3=55>49，A错误;
对于B，第6行是首项为7，公差为6的等差数列，f(6,8)为第6行的第8个数，
则f(6,8)=7+6×7=49，B错误;
对于C，第12行是首项为13，公差为12的等差数列，f(12,4)为第12行的第4个数，
则f(12,4)=13+3×12=49，C正确;
对于D，第7行是首项为8，公差为7的等差数列，f(7,7)为第7行的第7个数，
则f(7,7)=8+6×7=50，D错误;
故选：C．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．
求得点M的坐标，将点M到该抛物线焦点的距离转化为点M到抛物线y2=4x的准线的距离即可．
【解答】解：设点M(y24,y)，
∵|MO|=2 3，
∴(y24−0)2+(y−0)2=12，
∴y2=8或y2=−24(舍去)，
∴x=y24=2．
∴M到抛物线y2=4x的准线x=− 1的距离d=2−(− 1)= 3，
∵点M到该抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y2=4x的准线的距离，
∴点M到该抛物线焦点的距离为3．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查点到直线的距离，直线与圆的位置关系，考查转化思想，属于中档题．
根据斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时验证点到直线距离即可，当斜率存在时，根据点到直线距离，列方程求解．
【解答】
解：当直线l的斜率不存在时，
直线l方程为x=−1，或x=1，
点−3 , 0到直线x=−1的距离为2，符合题意，
点−3 , 0到直线x=1的距离为4，不符合题意．
当直线l的斜率存在时，
设直线方程为y=kx+b，
由直线l与圆C：x2+y2=1相切，得b 1+k2=1，①
点−3 , 0到直线l的距离为2，得−3k+b 1+k2=2，②
联立①②，解得k= 24，b=−3 24或k=− 24，b=3 24，
∴满足条件的直线有三条．
故选B．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线的交点坐标以及两点间的距离公式，以及利用配方法求一元二次方程的最小值，属于中档题．
应先根据x+y−3=0 , 3x−y−1=0求得交点，代入x+my−n=0可得n=1+2m，利用两点距离公式表示出点到原点的距离，将n用m表示代入后，利用配方法求得最小值．
【解答】
解：联立x+y−3=03x−y−1=0，解得x=1y=2,
把(1,2)代入x+my−n=0，得1+2m−n=0，∴n=1+2m，
∴点P(m,n)到原点的距离d= m2+n2= m2+(1+2m)2
= 5(m+25)2+15≥3 55，
当且仅当n=15，m=−25时取等号．
∴点P(m,n)到原点的距离OP的最小值为 55 ．
故选A．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的性质及几何意义，涉及向量数量积计算，属于中档题．
由点F2关于l的对称点P恰好在双曲线C上，得PF1=F1F2=2c，结合双曲线的定义得PF2=2c−2a，结合二倍角余弦公式，用含a，c的式子表示cs∠PF1F2，带入数量积计算公式，得到关于a，c的方程，解方程即可得离心率e．
【解答】
解：若点F2关于l的对称点P恰好在双曲线C上，
则PF1=F1F2=2c，
由双曲线的定义得PF1−PF2=2a，
所以PF2=2c−2a，
设直线l与PF2交于点A，
则AF2=12PF2=c−a，
则sin∠AF1F2=AF2F1F2=c−a2c，
所以cs∠PF1F2=cs2∠AF1F2=1−2sin2∠AF1F2=1−2c−a2c2
所以F1P⋅F1F2=F1PF1F2cs∠PF1F2=4c21−2c−a2c2=6a2，
4c2−2(c−a)2=6a2，即(ca)2+2·ca−4=0，
双曲线的离心率为e=ca，则e2+2e−4=0，
又e>1，
故e= 5−1．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的概念、判断与证明，考查推理能力，是中档题．
根据等比数列的判断方法，分别检验比值是否为常数进行判断．
【解答】
解：{an}是等比数列可得an+1an=q(q是定值)，
A:{anan+1}中，an+1an+2anan+1=q2(常数)，是等比数列，故正确；
B:当数列an的公比为−1时，an+an+1=0，而等比数列各项均不为0，故错误；
C:{1an}中，1an+11an=anan+1=1q(常数)，是等比数列，故正确；
D:ln |an|中，ln |an+1|ln |an|=ln(an+1−an)=ln[an(q−1)]当数列an的公比为1时，ln0无意义，故错误；
故选AC．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查直线的一般式方程，两直线垂直和平行的判定，直线过定点问题，属于中档题．
根据直线的一般式方程，两直线垂直和平行的判定，直线过定点问题逐一判断即可．
【解答】
解：对A:直线的一般式方程为：Ax+By+C=0，(A、B不同时为0)，
当A≠0，B=0时，方程表示垂直于x轴的直线;
当A=0，B≠0时，方程表示垂直于y轴的直线;
当A≠0，B≠0时，方程表示任意一条不垂直于x轴和y轴的直线;
故A正确；
对于B：1×2+2×−1=0，
则直线x+2y−4=0与直线2x−y+2=0互相垂直，
故B正确；
对于C：因为垂直于x轴的直线没有斜率，
故C错误；对于D：因为ax+(a+1)y=1(a∈R)，
所以ax+y+y−1=0，
所以x+y=0y−1=0，解得x=−1y=1,
所以直线ax+(a+1)y=1(a∈R)恒过定点−1 , 1．
故选ABD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
根据直线与圆相切，可得圆心到直线的距离即为半径，进而即可判断A；根据圆与圆的位置关系，分圆x 2+y ​2=1与C外切和内切两种情况讨论即可判断B；设P点的坐标为(x,y)，从而得到圆C与x+y−2=0有交点，进而即可判断C；设P点的坐标为(3+sinα,4+csα)(α为参数)，从而得到|PA| 2+|PB| 2=20sin(α+θ)+54，其中 tanθ=43，进而即可判断D．
【解答】解：对于A，由A(−1,0)，B(1,0)，则直线AB的方程为l AB：y=0，
所以圆C的圆心(3,4)到直线AB的距离为d=4，又直线AB与圆C相切，所以r=4，故A正确；
对于B，由A(−1,0)，B(1,0)，则以A，B为直径的圆方程为：x 2+y ​2=1，
所以圆C的圆心(3,4)到圆x 2+y ​2=1的圆心(0,0)的距离为5，
当圆x 2+y ​2=1，与C外切时，有r+1=5，得r=4，
当圆x 2+y ​2=1，与C内切时，有r−1=5，得r=6，故B不正确；
对于C，设P点的坐标为(x,y)，则 AP=(x+1,y)， AC=(1,1)，
所以 AP⋅ AC=x+1+y=3，所以圆C与x+y−2=0有交点，
则r⩾3+4−2 12+12=5 22，故C正确；
对于D，设P点的坐标为(3+sinα,4+csα) (α为参数)，
则 PA=(−4−sinα,−4−csα)， PB=(−2−sinα,−4−csα)，
所以|PA| 2+|PB| 2=12sinα+16csα+54=20sin(α+θ)+54，其中 tanθ=43，
所以当sin(α+θ)=−1时，|PA| 2+|PB| ​2取得最小值，且最小值为34，故D正确．
故选：ACD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查曲线中的轨迹问题，属于中档题．
利用基本不等式判断A正确，设 Px,y ，根据 PF1⋅PF2=4 化简得到B正确，计算 y≤ 3 ，得到面积的最大值为 3 ，判断C错误，确定 0≤x2≤5 ， OP2=2 x2+4−1∈3,5 ，判断D正确，得到答案．
【解答】
解：对选项A：|PF1|+|PF2|=|PF1|+4|PF1|≥2 |PF1|⋅4|PF1|=4，当且仅当|PF1|=2，
即P(0,± 3)时等号成立，所以A选项正确；
对选项B：设 Px,y ，则 PF1⋅PF2=4 ，即 x+12+y2⋅ x−12+y2=4 ，
整理得到 x2+y2+12−4x2=16 ，即 x2+y2+1= 4x2+16 ，正确；
对选项C：曲线方程变形为y2=2 x2+4−x2−1⩾0，
解得0⩽x2⩽5，
设 x2+4=t ， 2⩽t⩽3 ，则 0⩽y2=2t−t2+4−1=−(t−1)2+4⩽3 ，
故0⩽ y≤ 3 ， △F1PF2 面积的最大值为 12×2× 3= 3 ，错误；
对选项D： OP2=x2+y2=2 x2+4−1∈3,5 ，故 OP∈ 3, 5 ，正确；
13.【答案】−2
【解析】【分析】本题考察两直线平行相关性质的应用，属于中档题．
由直线 l1,l2平行，求出 a 值并验证即可．
【解答】解：由直线 l1:2x+ay−4=0 与 l2:a−1x+3y−4=0 平行，得 a(a−1)−2×3=0 ，解得 a=−2 或 a=3 ，
当 a=−2 时，直线 l1 的纵截距为 4a=−2 ，直线 l2 的纵截距为 43 ，则 l1//l2 ，
当 a=3 时，直线 l1 的纵截距为 4a=43 ，直线 l2 的纵截距为 43 ，则直线 l1,l2 重合，
所以实数 a 的值为 −2 ．
故答案为： −2
14.【答案】(0,2)((0,−2)也可)
【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、勾股定理属于中档题．
由椭圆定义，MF1⊥MF2 ，得到MF1·MF2=8，设P(x,y)，得 x−22+y2· x+22+y2=8=x2+2y2，即可得解．
【解答】解：由x28+y24=1，得a2=8，b2=4，c2=4
所以|F1F2|=2c=4，
因为MF1⊥MF2，所以MF12+MF22=16，
由题意定义可得MF1+MF2=4 2，
所以2MF1·MF2=(MF1+MF2)2−(MF12+MF22)=16⋅
得MF1·MF2=8；
设P(x,y)，
x−22+y2· x+22+y2=8=x2+2y2，
两边平方整理得(y2+12)(y2−4)=0，则y=2或−2，
则x=0，所以P(0,2)或(0,−2)．
(答案写出其中一个即可)
15.【答案】32,2
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的性质，属于中档题．
根据题意，得出a1<0，公差d>0，且a5⩽0，a6⩾0，可得−5⩽a1d⩽−4，进一步可得a8a7=1+2a1d+6∈32,2，从而可得结果．
【解答】
解：对任意的n∈N∗，均有S5⩽Sn成立，必有a1<0，公差d>0，
且a5⩽0，a6⩾0，
即a5=a1+4d⩽0，a6=a1+5d⩾0，
即−5⩽a1d⩽−4，
则a8a7=a1+7da1+6d=a1d+7a1d+6=1+1a1d+6∈32,2，
综上可得：a8a7的取值范围是32,2．
故答案为32,2．
16.【答案】50
【解析】【分析】
本题主要考查的是圆的几何性质及其应用，属于中档题．
设两圆O1,O2外切于点M，连接OM，作O1N⊥OO2交OO2于点N，点D为线段OO2与圆O2的交点，然后利用▵O1NO2∼▵OMO2求解即可．
【解答】解：
如图，设两圆O1,O2外切于点M，连接OM，作O1N⊥OO2交OO2于点N，
点D为线段OO2与圆O2的交点，
因为DE=ℎ，所以O2N=10−DN=ℎ，
因为∠O1NO2=∠OMO2=90∘，∠O1O2N=∠OO2M，
所以▵O1NO2∼▵OMO2，所以O2NO2M=O1O2OO2，
所以ℎ10=20R−10，解得R=50，
故答案为：50．
17.【答案】解：(1)设14和1的调和中项为b，依题意得：4、1b、1依次成等差数列，
所以1b=4+12=52，即b=25;
(2)依题意，{1an}是等差数列，设其公差为d，2d=2−1⇒d=12，
所以1an=1a2+(n−2)d=1+(n−2)×12=n2，所以an=2n，
所以anan+1=4n(n+1)，
所以Tn=41×2+42×3+⋯+4n(n+1)=4(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=4nn+1．
【解析】(1)根据题意得到4、1b、1成等差数列，从而得到方程，求出b，得到答案；
(2)根据题意得到{1an}是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，进而得到{an}的通项公式，利用裂项相消法可得答案．
本题是新定义题型，主要考查利用定义求等差数列通项公式，等差中项的应用，裂项相消法求和，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为OC=2，所以B(3,2)，C(0,2)，E(1,0)，F(2,0)，
所以直线OB方程为y=23x，直线CF方程为y=−x+2，
联立求得，G(65,45)，
所以直线GE的方程为y=45−065−1(x−1)，即4x−y−4=0；
(2)设|OC|=m(m>0)，则B(3,m)，C(0,m)，E(1,0)，F(2,0)，
所以直线OB方程为y=m3x，直线CF方程为y=−m2(x−2)，
联立求得，G(65,2m5)，又因为GE⊥CF，
所以2m5−065−1·(−m2)=−1，解得m=1(取正值)，所以OC的长1．
【解析】本题考查了两条直线的交点坐标，考查了一般式方程，是中档题
(1)先求得直线OB方程为y=23x，直线CF方程为y=−x+2，故可得G点坐标，故可求直线GE的方程；
(2)设|OC|=m，则B(3,m)，C(0,m)，E(1,0)，F(2,0)，先求得G点坐标，结合斜率公式可得答案．
19.【答案】解：(1)由题意知，圆C的圆心为(−1,2)，半径r= 5−a，
因为M为弦AB的中点，所以CM⊥l，且点M在圆内，
所以kl×2−1−1−0=−1，得kl=1，且02+12+2×0−4×1+a<0，
所以a<3，直线l的方程为x−y+1=0;
(2)因为l的斜率为0，方程为y=1，圆心到l的距离d=1，
设∠ACB=2α，则CA⋅CB=r2cs2α=r2(2cs2α−1)=r2(2r2−1)=2−r2=−1，
所以r2=5−a=3，所以a=2．
【解析】本题主要考查直线与圆的关系，属于中档题．
(1)由M为弦AB的中点，则CM⊥l，且点M在圆内，可得a的取值范围及直线l的方程；
(2)CA⋅CB=−1，可得a的值．
20.【答案】解：(1)bn+1=a2n+2+2=a2n+1+2+2=2a2n+4=2bn，
因为b1=a2+2=a1+2+2=5≠0，所以bn≠0，所以bn+1bn=2，
所以{bn}是以首项为5公比为2的等比数列;
(2)由(1)知bn=5×2n−1，
故a2n=5×2n−1−2，
所以S10=(a1+a3+⋯+a9)+(a2+a4+⋯+a10)=(a1+2a2+⋯+2a8)+(5(25−1)−10)
=1+10×24−10−16+145=280．
【解析】本题考查等比数列的判定与证明，等比数列的通项公式与分组(并项)法求和，属于中档题．
(1)由题意得到bn+1bn=2，即可证明数列{bn}为等比数列；
(2)因为a2n=5×2n−1−2，根据分组(并项)法求和计算可得．
21.【答案】解：(1)由题意知，A(−20,0)，B(20,0)，设检测器的位置坐标为P(x,y)，
则有|PA|+|PB|=80(80>40)，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点，焦距为40，长轴长为80的椭圆，
设方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
则a=40，c=20，所以b2=a2−c2=1200，
所以海洋探测器移动的轨迹方程为x21600+y21200=1;
(2)由于海洋探测器在A岛南偏西30∘方向，
所以点P在第三象限，直线PA斜率为 3，方程为y= 3(x+20)，
联立方程组y= 3(x+20),3x2+4y2=4800,解得x=−32y=−12 3，或x=0y=20 3(舍去)，
所以P(−32,−12 3)，所以|PA|= (−32−20)2+(−12 3)2=56
所以海洋检测器到B岛距离为56海里．
【解析】本题考查椭圆的实际应用，属于中档题．
(1)依题意，海洋探测器的运动轨迹是以A，B为焦点的椭圆，求得轨迹方程为：x21600+y21200=1;
(2)由直线PA斜率为 3，方程为y= 3(x+20)，联立方程组，解得P的坐标，故可得|PA|的值，得海洋探测器到B岛的距离．
22.【答案】解：(1)因为F(2,0)，所以双曲线的半焦距c=2，又因为OP=1，
所以tan∠xOP=ba= 3，又因为a2+b2=c2，联立解得a=1，b= 3，
所以双曲线C的方程为x2−y23=1．
(2)显然直线DE不与y轴垂直，故可设直线l的方程为x=ty+2，t≠± 33，
(当t=± 33时，直线与双曲线的渐近线平行，l与C只有一个交点，不合题意)，
联立直线DE与C的方程并消去x，得(3t2−1)y2+12ty+9=0
则3t2−1≠0，△=144t2−36(3t2−1)=36(t2+1)>0恒成立，
设D(x1,y1)，E(x2,y2)，所以y1+y2=−12t3t2−1，y1y2=93t2−1
直线DA的方程为y=y1x1−1(x−1)，令x=12，得yP=−y12(x1−1)，同理yQ=−y22(x2−1)，
因为PF=(32,−yp)，QF=(32,−yQ)
所以PF⋅QF=(32,−yP)⋅(32,−yQ)=94+yPyQ，
又yPyQ=y12(x1−1)⋅y22(x2−1)=y1y24(ty1+1)(ty2+1)=y1y24[t2y1y2+t(y1+y2)+1]
=93t2−14(t2⋅93t2−1−t⋅12t3t2−1+1)=94(9t2−12t2+3t2−1)=−94，
所以PF⋅QF=0，所以PF⊥QF，故以PQ为直径的圆经过定点F．
【解析】本题考查了双曲线标准方程求解，考查了直线与双曲线的位置关系，属于较难题．
(1)结合条件，建立a，b，c关系式，求解即可；
(2)由题意可设直线l的方程为x=ty+2，t≠± 33，通过联立方程，证得PF⊥QF，即可得证．