湖南部分校联考2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份湖南部分校联考2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题，共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，在三棱锥中，平面，，等内容，欢迎下载使用。

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占20％，必修第二册占30％，选择性必修第一册占50％.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.设直线，若，则（ ）
A.B.C.D.
3.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且.则向量的模长为（ ）
A.B.34C.52D.
4.已知函数的图象过定点，则函数在区间上的值域为（ ）
A.B.C.D.
5.已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（ ）
A.B.C.D.
6.已知抛物线的焦点为，动点P在抛物线C上，点，则的最小值为（ ）
A.2B.3C.4D.5
7.17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上知识，已知，，，P为内一点，记，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
8.在三棱锥中，平面，，.则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列各对事件中，为相互独立事件的是（ ）
A.甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”
B.袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两次球，每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C.袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两次球，每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D.掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”
10.设正实数x，y满足，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小值为1B.的最小值为2
C.的最大值为2D.的最大值为2
11.已知（）.则下列判断正确的是（ ）
A.若，，且，则；
B.若在上恰有9个零点，则的取值范围为；
C.存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；
D.若在上单调递增，则的取值范围为.
12.已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是体对角线上的动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ）
A.存在某一位置，与垂直
B.三棱锥体积的最大值是
C.二面角的正切值是
D.当最大时，三棱锥的外接球表面积是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.
13.设，则__________.
14.已知向量，满足，，且，则__________.
15.，对于，，都有成立，则的取值范围是__________.
16.已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段的中垂线交x轴于点D.若，则双曲线的离心率取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.已知圆，直线.
（1）求证直线恒过定点；
（2）直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长.
18.“山水画卷，郴州相见”，2023年9月16日，第二届湖南省旅游发展大会开幕式暨文化旅游推介会在郴州举行.开幕式期间，湖南卫视全程直播.学校统计了100名学生观看开幕式直播的时长情况（单位：分钟），将其按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
请完成以下问题：
（1）求的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）为进一步了解学生观看开幕式的情况，采用分层抽样的方法在观看时长为和的两组中共抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人观看时长在内的概率.
19.在直三棱柱中，D，E分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2），，，求二面角的正切值.
20.如图，在四边形中，，.
（1）求证：
（2）若，，，求的面积.
21.如图，四面体中，，，，E为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2），，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值.
22.椭圆的焦距为，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
高二数学试卷参考答案
1.C 2.A 3.D 4.B 5.B 6.C
7.A
【解析】设为坐标原点，由，，，所以，易得为锐角三角形，则费马点在线段上，设，则为顶角是的等腰三角形，故，所以，
故
8.B
【详解】如图，设，，为的外心，为三棱锥外接球的球心，则平面，又平面，所以，平面，则，四边形是直角梯形，
设，，，
由平面，平面，得，
则，，，即，
又，则，
，
令，则，，
，
当且仅当，即时等号成立，所以三棱锥外接球表面积，故选：B.
9.ABD
10.BC
【详解】对于A中，因为正实数x，y满足，由，所以，
解得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为1，所以A错误；
对于B中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为2，所以B正确；
对于C中，由，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为2，所以C正确；
对于D中，由，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2，所以D错误，故选：BC.
11.AC
12.ACD
【详解】对于A，当点与点重合时，平面，而平面，所以与垂直，即A正确；
对于B，如下图所示
易知，所以，且为定值，
三棱锥的体积最大时，只需满足点到平面的距离最大即可，
取的中点为，则平面与平面是同一平面；
易知，当点与重合时，点到平面的距离最大，
作于，易知平面，所以即为点到平面的距离，
由三角形相似可得，且，得.
因此三棱锥体积，故选项B错误；
对于C，连接，，二面角即为平面与平面所成的角，如下图所示：
易得，，
所以即为二面角的平面角，由于，，，
由余弦定理可得，
所以，即，
所以二面角的正切值是.即选项C正确，
对于D，由余弦定理得，
易知当最大时，满足与重合，与重合，如下图所示
以为坐标原点建立如所示的空间直角坐标系，则，，，，
设外接球球心坐标为
则
联立解得，，，得外接球半径为，
所以三棱锥的外接球表面积是，所以D正确；
故选：ACD.
13.i
14.
15. 【详解】因为定义在上的函数满足对，，，都有，所以函数是上的减函数，
则函数和均为减函数，且有，
即，解得，因此，实数的取值范围是.
16. 【详解】设双曲线的右焦点为，，，
则直线，联立方程，
消去得：，
则可得，，，，
则，
设线段的中点，
则，，
即，
且，线段的中垂线的斜率为，
则线段的中垂线所在直线方程为，
令，则，解得，
即，则，
由题意可得：，即，
整理得，则，
注意到双曲线的离心率，
双曲线的离心率取值范围是.
17.（1）直线过定点
（2）；最短弦长为4
18.【详解】（1）由，
得.
观看时长在：频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
样本平均值为：，
可以估计样本数据中平均值为93分.
（2）由题意可知，观看时长在的人数为（人），
在的人数为（人）.
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在内抽2人，分别记为，，
需在内抽3人，分别记为，，.
设“从样本中任取2人，至少有1人在内”为事件，
则样本空间
共包含10个样本点而的对立事件包含3个样本点，
所以，.
即抽取的这2名学生至少有1人在内的概率为
19.【详解】（1）连接交于于，连接，
因为E，F是中点，所以，且，
又因为是的中点，所以有，且，
所以，且，因此四边形是平行四边形，
所以，而平面，平面，所以平面；
（2）法一：（建系）因为三棱柱为直三棱柱，所以，，
因为，所以
以为原点，分别以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
所以，平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，所以，所以.
法二：因为，，，
所以，，同理可得，
因此，即，又，，，
所以，所以是二面角的平面角，
因为，，平面，
所以平面，而平面，
因此，因为平面，而平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
而平面，所以，所以.
20.【详解】（1）设，因为，所以，
在中，，所以，
在中，同理可得，
所以，又，所以.
（2）；.
21.【详解】，为的中点，所以；
因为，又因为为的中点，所以；
又因为，平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为为的中点，所以，，
因为，所以，
在中，，所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，，所以，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.
22.【解析】（1）
（2）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于C，D两点，
如果存在点满足条件，则有，即，
所以点在轴上，可设的坐标为；
当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于M，N两点，如果存在点满足条件，
则有，即，解得或，
所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；
当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，
设，联立，消去，得，
因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，，
又因为点关于轴的对称点的坐标为，
又，，
则，
所以，则，，三点共线，所以；
综上：存在与点不同的定点，使恒成立，且.