人教版九年级数学上册 24.38 圆中的几何模型-隐形圆（专项练习）

这是一份人教版九年级数学上册 24.38 圆中的几何模型-隐形圆（专项练习），共83页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，P为等边△ABC外的一个动点（P点与A点分别在BC所在直线的不同侧），且∠APB＝60°，AB＝1，则PB＋PC的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，△ABC中．∠C＝90°，点D是边BC上一个动点（点D不与点C重合）．以CD为直径的圆交AD于点P．若AC＝6．线段BP长度的最小值是2．则AB的长为（ ）
A．8B．2C．4D．2
3．如图，在中，，，，点是内的一点，连接，，，满足，则的最小值是（ ）
A．5B．6C．8D．13
4．如图，在中，，，，D是内一动点，为的外接圆，交直线BD于点P，交边BC于点E，若，则AD的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
5．如图，在中，，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2B．C．D．
6．如图，等边中，，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为（ ）
A．B．C．D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则BE的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、填空题
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为___．
9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为_______．
10．如图，在中，，，，E是边BC上的一动点，连接AE，作于点D，连接BD，则BD的最小值为______．
11．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 _____．
12．如图，在中，，，，是内一动点，⊙为的外接圆，⊙交直线于点，交边于点，若，则的最小值为______________．
13．如图，在直角坐标系中，点A坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），以B点为圆心，2长为半径的圆交轴于C、D两点，若P是⊙B上一动点，连接PA，以PA为一直角边作Rt△PAQ，使得，连接DQ，则DQ的最小值为_____
14．如图，在△ABC中，，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为___．
15．中，，点P是边上一动点，以为直径的圆交于点O，最小=___________．
16．如图，四边形中，，，平分，于点，于点，连接，，，则______.
17．如图，将绕斜边的中点旋转一定的角度得到，已知，，则________．
18．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为______．
19．在中，，D为平面内一点，连接，连接．则线段的最小值为_________．
20．如图，在△ABC中，，BC＝3，AC＝4，点D是AC边上一动点，过点A作交BD的延长线于点E，则的最小值为________．
21．如图，边长为4的正三角形ABC，点M，N分别是边AB，AC上的动点，连接BN，CM交于点P．若BN＝CM，当点M由点B运动到点A时，点P所经过的路径长为______．
三、解答题
22．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是__________，位置关系是__________；
(2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
如图，已知二次函数 的图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC；
(1)求顶点D的坐标；
(2)求直线BC的解析式；
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE，CE，求△BCE面积的最大值；
(4)以AB为直径，M为圆心作圆M，试判断直线CD与圆M的位置关系，并说明理由
24．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．如图P，Q两点即为同族点．
(1)已知点A的坐标为（﹣3，1），点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为 ；
(2)直线l：y＝x﹣3，与x轴交于点C，与y轴交于点D，
①M为线段CD上一点，若在直线x＝n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；
②M为直线l上的一个动点，若以（m，0）为圆心，为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围．
25．如图1，正方形ABCD中，点P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点B出发沿着BD以1cm/s的速度向点D运动；点Q同时从点D出发沿着DB以2cm的速度向点B运动．设运动的时间为xs，△AQP的面积为ycm2，y与x的函数图象如图2所示，根据图象回答下列问题：
（1）a＝ ．
（2）当x为何值时，APQ的面积为6cm2；
（3）当x为何值时，以PQ为直径的圆与APQ的边有且只有三个公共点．
26．如图，中，O为圆心，圆上两点分别是定点A与动点B，连接，．以，和分别为半径作半圆C、半圆D和半圆E．
（1）若，求证：半圆C与半圆D面积之和等于半圆E的面积．
（2）若F是半圆D上的中点，且半径为5，求F运动路径长．
（3）在（2）的条件下，连接，当与其运动路线相切时，求的长，
在菱形ABCD中，点E为AB上一点，点F为BC延长线上一点，连接EF交AC于G．
(1)如图1，若点E为AB中点，，，求菱形ABCD的面积；
(2)如图2，过点F作于点H，．求证：；
(3)如图3，在（2）问的条件下，将线段CG绕点G旋转得线段，点M为中点，当，时，求HM的最大值．
28．点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，AB=3，如图1，将正方形ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN．
思考探索
(1)如图2，将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B′落在MN上，折痕为EC．
①点B'在以点E为圆心， 的长为半径的圆上；
②B'M=______；
拓展延伸
(2)当AB=3AE时，正方形ABCD沿过点E的直线l（不过点B）折叠后，点B的对应点B'落在正方形ABCD内部或边上，连接AB'．
①△ABB'面积的最大值为______；
②点P为AE的中点，点Q在AB'上，连接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，A（0，6），C（8，0）．
(1)如图1，D是OC的中点，将△AOD沿AD翻折后得到△AED，AE的延长线交BC于F．
①试判断线段EF与CF的数量关系，并说明理由；
②求点F的坐标；
(2)如图2，点M、N分别是线段AB、OB上的动点，ON＝2MB，如果以M、N、B三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点（M、N、B三点不在同一条直线上），求点M的坐标．
30．如图，点P在射线的上方，、，点M是射线上的动点（点M不与点A重合），现将点P绕点A按顺时针方向旋转到点Q，将点M绕点P按逆时针方向旋转到点N，连接，作直线．
(1)求证：；
(2)直线与以点P为圆心，的长为半径的圆是否存在相切的情况？若存在，请求出此时和的关系，若不存在，请说明理由；
(3)若，当以点P为圆心，长为半径的圆经过点Q时，直接写出劣弧与两条半径所围成的扇形的面积．
31．苏科版教材八年级下册第94页第19题，小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请你和他一起完成问题探究．
【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E从点A出发，沿边AD向点D运动，同时，点F从点B出发，沿边BA向点A运动，它们的运动速度都是2cm/s，当点E运动到点D时，两点同时停止运动，连接CF、BE交于点M，设点E， F运动时问为t秒．
(1)【问题提出】如图1，点E，F分别在方形ABCD中的边AD、AB上，且，连接BE、CF交于点M，求证：．请你先帮小明加以证明．
(2)如图1，在点E、F的运动过程中，点M也随之运动，请直接写出点M的运动路径长 cm．
(3)如图2，连接CE，在点E、F的运动过程中．
①试说明点D在△CME的外接圆O上；
②若①中的O与正方形的各边共有6个交点，请直接写出t的取值范围．
32．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值是多少？
33．已知⊙C的半径为，点P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反演点的定义如下：若点在射线CP上，满足，则称点是点P关于⊙C的反演点．图1为点P及其关于⊙C的反演点的示意图．
（1）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为6，⊙O与轴的正半轴交于点A．
①如图2，∠AOB＝135°，OB＝18，若点，分别是点A，B关于⊙O的反演点．则点的坐标是 ，点的坐标是 ；
②如图3，点P关于⊙O的反演点为点，点在正比例函数位于第一象限内的图象上，△的面积为，求点的坐标；
（2）点P是二次函数的图象上的动点，以O为圆心，为半径作圆，若点P关于⊙O的反演点的坐标是，请直接写出的取值范围
34．【选一选，填一填】
（1）⊙O的直径为20，圆上两点M、N距离为16，⊙O上一动点A到直线MN距离的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．24 D．32
（2）等腰△ABC中，顶角∠ABC=45°，AM⊥BC，BN⊥AC，AM与BN交于点P，则的值为 ．
【画一画，算一算】
（3）如图是某百姓休闲广场的部分平面示意图，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=120°，CD长60米，BC长80米， 点E在CD边上，且CE长40米．根据规划，要在直角梯形ABCD内确定一点F，AF长25米，同时建造展示区△FDE和休闲区△FBC．已知展示区造价每平方米200元，休闲区造价每平方米100元，建造好展示区和休闲区最少需要多少元？
35．如图，为的外接圆，，点D是上的动点，且点分别位于的两侧．
（1）求的半径；
（2）当时，求的度数；
（3）设的中点为M，在点D的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．
36．综合与实践
动手操作
利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图1，点为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为．
思考探索
（1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，如图2．
①点在以点为圆心，_________的长为半径的圆上；
②_________；
③为_______三角形，请证明你的结论．
拓展延伸
（2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上．
①面积的最大值为____________；
②连接，点为的中点，点在上，连接，则的最小值为____________．
37．问题提出：（1）如图1，已知是边长为2的等边三角形，则的面积为______．
问题探究：（2）如图2，在中，已知，，求的最大面积．
问题解决：（3）如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角．请你通过所学的知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．

38．如图1，正方形ABCD对角线AC、BD交于点O，E、F分别为正方形ABCD边AB、AD上的点，交于点M，且，N为BF中点．
(1)请直接写出ON与OM的关系；
(2)若将绕点A旋转到图2所示位置时，（1）中的结论是否成立，若成立请证明；若不成立，请说明理由；
(3)若，E为AB中点，绕点A旋转过程中，直接写出点M与点C的最大距离和最小距离的差．
39．如图是边长为2的等边三角形，D为内（包括的边）一动点，且满足，则的长度m的取值范围为_________．
40．【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD中，，，点E为AB延长线上一点，连接EC并延长，交AD的延长线于点F，则的度数为______°；
【问题探究】（2）如图2，在Rt△ABC中，，点D、E在直线BC上，连接AD、AE，若，，求△ADE面积的最小值；
【问题解决】（3）近日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，此次修订中增加的跨学科主题学习活动，突破学科边界，鼓励教师开展跨学科教研，设计出主题鲜明、问题真实的跨学科学习活动．为此，某校欲将校园内一片三角形空地ABC（如图3所示）进行扩建后作为跨学科主题学习活动中心，在AB的延长线上取一点D，连接DC并延长到点E，连接AE，已知，米，，为节约修建成本，需使修建后△ADE的面积尽可能小，问△ADE的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小面积；若不存在，请说明理由．
41．问题提出
（1）如图1，在中，点D在BC上，连接AD，，则与的面积之比为______；
问题探究
（2）如图2，在矩形ABCD中，，，点P为矩形内一动点，在点P运动的过程中始终有，求面积的最大值；（结果保留根号）
问题解决
（3）如图3，某市欲规划一块形如平行四边形ABCD的休闲旅游观光区，点A为观光区的人口，并满足，要求在边BC上确定一点E为观光区的南门，为了方便市民游览，修建一条观光通道AE（观光通道的宽度不计），且，米，为了容纳尽可能多的游客，要求平行四边形ABCD的面积最大，请问是否存在满足上述条件的面积最大的平行四边形ABCD？若存在，求出平行四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．（结果保留根号）
42．如图，⊙A和⊙B是外离的两圆，两圆的连心线分别交⊙A、⊙B于E、F，点P是线段AB上的一动点（点P不与E、F重合），PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D（C、D均在直线AB上方），已知⊙A的半径为2，⊙B的半径为1，AB＝5．
(1) 设线段BP的长为x，线段CP的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
(2) 分别延长AC、BD，交于点Q，联结PQ，如果PQ平分∠AQB，求PB的长；
(3) 若⊙O与⊙A、⊙B都外切，且OP为直角三角形OAB的角平分线，请直接写出OP的长．
参考答案
1．C
【分析】∠APB＝60°，则点P一定在△ABC的外接圆⊙O的劣弧上，取PD＝PC，连接CD，再证明△CDP也是等边三角形，即可证明△BPC≌△ADC（SAS），得到AP＝AD＋PD＝BP＋PC，所以当AP为⊙O的直径时，PB＋PC的值最大，再求出△ABC的外接圆⊙O的直径，即可得到答案．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°
∵ ∠APB＝60°
∴∠APB=∠ACB=60°，
∴点A，点B，点C，点P四点共圆，
∵点P与点A在直线BC两侧，
∴点P一定在△ABC的外接圆⊙O的劣弧上，
如图，取PD＝PC，连接CD，
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，BC＝AC＝AB＝1
∴△CDP也是等边三角形
∴PC＝DC，∠PCD＝60°
∴∠PCD－∠BCD＝∠ACB－∠BCD
∴∠BPC＝∠ACD
在△BPC和△ADC中，

∴△BPC≌△ADC（SAS）
∴AD＝BP
∴AP＝AD＋PD＝BP＋PC
当AP为⊙O的直径时，PB＋PC的值最大，
连接OB，OC，作OH⊥BC于点H，则∠BOC＝2∠BAC＝120°
∵OB＝OC
∴△OBC是等腰三角形
∴∠OBC＝（180°－∠BOC）＝30°，BH＝CH＝BC＝
∴OB＝
即⊙O的半径为，直径为，
∴PB＋PC的最大值为．
故选：C
【点拨】此题考查了等边三角形的判定和性质、等边三角形的外接圆、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，找到当AP为⊙O的直径时，PB＋PC的值最大是解答此题的关键．
2．D
【分析】利用圆周角定理得到∠CPD＝90°，则可判断点P在以AC为直径的⊙O上，如图，连接OB交⊙O于P′，利用点与圆的位置关系得到BP′＝2，再利用勾股定理计算出BC，然后在Rt△ABC中利用勾股定理可计算出AB．
【详解】解：∵CD为直径，
∴∠CPD＝90°，
∵∠APC＝90°，
∴点P在以AC为直径的⊙O上，如图，
连接OB交⊙O于P′，
∵线段BP长度的最小值是2，
∴BP′＝2，
∴OB＝2+3＝5，
在Rt△OBC中，BC＝，
在Rt△ABC中，AB＝．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，点与圆的位置关系，勾股定理，准确计算是解题的关键．
3．C
【分析】如图，取中点，连接．则点在以点为圆心，长为直径的圆周上运动，当、、在同一直线上时，最短，此时为最短．所以，即为的最小值．
【详解】解：如图，取中点，连接．
，
点在以点为圆心，长为直径的圆周上运动，且，
当、、在同一直线上时，最短，此时为最短．
在中，
，，
则，
，
即的最小值是8．
故选：．
【点拨】本题主要考查了两点之间最短距离的问题，解题的关键是正确构造圆和运用勾股定理．
4．C
【分析】由，可推出，即可求出，即说明点D在以BC为弦，的圆弧上运动，设其圆心为点G，连接AG、DG．根据图形易证为等边三角形，从而得出，又可间接证明，即可利用勾股定理求出AG的长，最后利用三角形两边之差小于第三边即可求出答案．
【详解】∵，
∴，即．
∴．
即说明点D在以BC为弦，的圆弧上运动，设其圆心为点G，连接AG、DG．
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴．
∴在中，．
∵，即．
∴当点A、D、G三点共线时AD最小，最小值为．
故选C．
【点拨】本题为圆的综合题．考查圆周角定理，圆的外接三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理以及三角形三边关系等知识．根据题意判断出点D在以BC为弦，的圆弧上运动，并作出辅助线是解答本题的关键．
5．D
【分析】由△ADE≌△CDF，推出∠DAE=∠DCF，因为∠AED=∠CEG，推出∠ADE=∠CGE=90°，推出A、C、G、D四点共圆，推出点G的运动轨迹为弧CD，利用弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，
∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE=∠CDF=90°，CD=AD=DB，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE=∠DCF，
∵∠AED=∠CEG，
∴∠ADE=∠CGE=90°，
∴A、C、G、D四点共圆，
∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB=4，AB=AC，
∴AC=2，
∴OA=OC=，
∵DA=DC，OA=OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC=90°，
∴点G的运动轨迹的长为
故选：D．
【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质、轨迹、勾股定理、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确探究点G的轨迹，属于中考常考题型．
6．B
【分析】如图，作过A、B、F作⊙O，为点F的轨迹，然后计算出的长度即可．
【详解】解：如图：作过A、B、F作⊙O，过O作OG⊥AB
∵等边
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°
∵
∴△BCE≌△ABC
∴∠BAD=∠CBE
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°
∴∠ABE+∠BAD=60°
∴∠AFB=120°
∵∠AFB是弦AB同侧的圆周角
∴∠AOB=120°
∵OG⊥AB，OA=OB
∴∠BOG=∠AOG=∠AOB=60°，BG=AB=
∴∠OBG=30°
设OB=x，则OG=x
∴，解得x=或x=-（舍）
∴的长度为．
故选B
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根据题意确定点F的轨迹是解答本题的关键．
7．B
【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案．
【详解】解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEA＝90°，
∴点E在以AC为直径的⊙Q上，
∵AC＝10，
∴QC＝QE＝5，
当点Q、E、B共线时BE最小，
∵BC＝12，
∴QB＝＝13，
∴BE＝QB﹣QE＝8，
故选：B．
【点拨】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
8．1
【分析】作AC为直径的圆，圆心为O，即可得当O、E、B三点共线时，BE是最短，根据勾股定理求OB的长度即可求．
【详解】解：如图，作以AC为直径的圆，圆心为O，连接CE，OE，OB，
∵E点在以CD为直径的圆上，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝90°，
∴点E也在以AC为直径的圆上，
∵AC＝8，
∴OE=OC＝4，
∵BC＝3，∠ACB＝90°，
∴OB=，
∵点E在⊙O上运动，根据两点之间线段最短，
∴BE+OE≥OB，
∴当点B、E、O三点共线时OB最短，
∵OE定值，
∴BE最短＝OB﹣OE＝5﹣4＝1，
故答案为：1
【点拨】本题考查直径所对圆周角性质，动点轨迹，勾股定理，最短路径，掌握直径所对圆周角性质，动点轨迹，勾股定理，最短路径是解题关键．
9．2+2
【分析】连接AC，设正方形ABCD的外接圆为⊙O，根据正方形的性质得到 ∠ACD = ∠AED=45°，进而得到点E在正方形ABCD的外接圆⊙O上，PE≤OP+ OE，当点P、O、E三点共线时，PE最大，即PE最大值为OP+ OE，根据三角形中位线的性质求出OP，利用勾股定理求出AC，得到OE，即可得到答案．
【详解】解：连接AC，设正方形ABCD的外接圆为⊙O，如图，
∵ABCD是正方形，
∴∠ACD = 45°，
∵∠AED=45°，
∴点E在正方形ABCD的外接圆⊙O上，
∴PE≤OP+ OE，
当点P、O、E三点共线时，PE最大，即PE最大值为OP+ OE，
∵ P是AB的中点，O是AC中点，
∴OP=BC =×4=2，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得，
∴OE= OA=AC= 2，
∴PE最大值=OP+ OE= 2+ 2，
故答案为：2+2．
【点拨】此题考查了正方形的性质，四点共圆的性质，三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键．
10．
【分析】由题意可知，点D在以AC为直径的圆上运动．取AC中点O，△ABC的外接圆⊙O．连接OD、OB．当O、D、B三点在同一直线上时，DB取最小值，此时DB=OB-OD．由此解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴点D在以AC为直径的圆上运动．
取AC中点O，的外接圆．
连接OD、OB．
当O、D、B三点在同一直线上时，DB取最小值，
此时．
∵，，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
即BD的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，三角形的三边关系，关键是确定BD取最小值的位置．
11．
【分析】如图，由EG＝2，确定在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE， 再证明（SAS）， 可得可得当三点共线时，最短，则最短，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，由EG＝2，可得在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，
∵正方形ABCD，
∴

∴
∵DE=DF，
∴（SAS），
∴
∴当三点共线时，最短，则最短，
∵位BC 中点，
∴
此时
此时
所以CF的最小值为：
故答案为：
【点拨】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．
12．
【分析】先求出∠ACB=∠CDP=30°，得到∠BDC=150°，则点D在以BC为弦，∠BDC=150°的圆弧上运动，如图所示，设点D运动的圆弧所在圆的圆心为M，取优弧BC上一点N，连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，则∠BNC=30°，当A、D、M三点共线时，AD有最小值，再证明△BMC是等边三角形，得到∠MCB=60°，MC=BC=6，推出∠ACM=90°，利用勾股定理求出AM的长即可求出AD的长．
【详解】解：∵AE=CP，
∴∠ACB=∠CDP=30°，
∴∠BDC=150°，
∴点D在以BC为弦，∠BDC=150°的圆弧上运动，
如图所示，设点D运动的圆弧所在圆的圆心为M，取优弧BC上一点N，连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
∴∠BNC=30°，当A、D、M三点共线时，AD有最小值，
∴∠BMC=60°，
又∵MB=MC，
∴△BMC是等边三角形，
∴∠MCB=60°，MC=BC=6，
∵∠ACB=30°，
∴∠ACM=90°，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，圆外一点到圆上一点的距离最值问题，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，确定点D的运动轨迹是解题的关键．
13．##
【分析】由题意根据“瓜豆原理-主从联动”可得Q的点轨迹也是一个圆，找到此圆即可解决问题．
【详解】解：如图，取点M（2，-2），连接AM，MQ、PB，
∵∠MAB=∠QAP=90°，
∴∠MAQ=∠BAP，
∵，
∴△MAQ∽△BAP，
∴MQ= PB=1，
∴Q点在以M为圆心，以1为半径的圆上，
由图象可得：
DQ的最小值为：DM-MQ，
AD=OD-OA=6+2-2=6，
由勾股定理可得：DM=，
∴DQ的最小值等于：−1.
故答案为：−1．
【点拨】本题考查轨迹圆问题，熟悉掌握利用相似三角形的性质解决动点的轨迹是快速解题的关键．
14．1
【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC＝120°，由此推出点E在以O'为圆心，O'B为半径的 上运动，连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．
【详解】解：如图，连接CE．
∵APBC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，
连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．
∵∠BE'C＝120°
∴所对圆周角为60°，
∴∠BOC＝2×60°＝120°，
∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4，
∴O′B＝O′C＝4，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO'＝90°
∴O'A＝，
∴AE′＝O'A−O'E′＝5−4＝1．
故答案为：1．
【点拨】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题．
15．
【分析】首先证明∠AOB=90°，得到点O在以AB为直径的圆Q上，从而推断出点O在线段QC上时，CO最小，再利用QC-QE求出OC的最小值即可．
【详解】解：连接AO，如图1，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴BC=，
∵AP为直径，
∴∠AOP=90°，
∴∠AOB=90°，
∴点O在以AB为直径的圆Q上，
∵圆Q的半径为1，
连接QO，QC，
∴QO=AB=1，
在Rt△AQC中，
∵QA=1，AC=2，
∴QC=，
由于QC=，QO=1是定值，
点O在线段QC上时，CO最小，如图2，
∴CO=QC-QE=，
即线段CE长度的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长．解决本题的关键是确定O点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
16．
【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，先根据，证明、、、四点共圆，证明，设，，表示的长，根据列方程可得结论．
【详解】过作，交的延长线于，连接，
，，
，
、、、四点共圆，
，
平分，
，
，
，，
，，
，
，
，
设，，则，
中，，
，
，
，
，
，
中，，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、四点共圆的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．
【分析】如图，连接，，作于，于．先证，根据勾股定理求出AB，利用旋转求出EF，然后证明四边形OMCH为矩形，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，作于，于．
由题意：，
，，，，共圆，
，
，，
，
，
∵，，，
，
，
，
∵△ABC绕点O旋转到△FEH，
∴AE=CB，FE=AB=，
∴，
∴∠BAC=∠ACE，
∴，
∴于，于．
∴∠DMC=∠DHC=∠HCM=90°，
∴四边形是矩形，
，
∵OE=,
，
故答案为．
【点拨】本题考查旋转变换，解直角三角形，圆周角定理，矩形判定与旋转，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．38
【分析】首先连接AC，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，三角形ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G点轨迹圆，该轨迹与BH交点即为所求最小值时的G点，利用面积法求出BH、GH的长，代入三角形面积公式求解即可．
【详解】解：连接，过作于，
当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，
四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，
即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24．
连接BG，由G是EF中点，EF=4知，
BG=2，
故G在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧交于，此时四边形AGCD面积取最小值，如图所示，

由勾股定理得：AC=10，
∵AC·BH=AB·BC，
∴BH=4.8，
∴，
即四边形面积的最小值=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹．
19．-4
【分析】如图，以AC为边作等边三角形OAC，再以O为圆心，OA为半径作圆O，交BC于D2，由圆周角定理可得点D是圆O上一动点，AD2为直径，利用勾股定理可求得CD2，连接OB交圆O于D1，当点D在D1位置时，BD最小，过O作OE⊥BC于E，根据垂径定理和三角形的中位线性质求得OE、CE、BE，利用勾股定理求解OB即可解答．
【详解】解：∵∠ADC=30°，D为平面内一点，AC=4，
∴点以AC为边作等边三角形OAC，再以O为圆心，OA为半径作圆O，交BC于D2，由∠AOC=60°=2∠ADC可知点D是圆O上一动点，
∵∠ACB=90°，
∴AD2为直径，则AD2=2OA=2AC=8，
∴CD2= = ，
连接OB交圆于D1，当点D位于D1位置时，BD最小，
过O作OE⊥BC于E，则CE=ED2= CD2= ，
∴BE=BC-CE=，
∴OE为△ACD2的中位线，
∴OE= AC=2，
在Rt△OEB中，OB===，
∴BD最小值为-4．
【点拨】本题考查等边三角形的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形的中位线，借助隐形圆解决最值问题是解题的关键．
20．3
【分析】连接OE，作EF⊥AC，垂足为点F，先证明△EDF∽△BDC，得出当点E是中点时，EF的值最大，则值的最小，此时E，F，O共线．再进行计算即可．
【详解】解：如图，设AB的中点为O，连接OE，作EF⊥AC，垂足为点F，
∵∠C=90°，AE⊥BE，
∴∠C=∠AEB=90°，
∴A，B，E，C四点共圆，
∵∠C=∠AEB=90°，∠EDF=∠BDC，
∴△EDF∽△BDC，
∴，
当点E是中点时，EF的值最大，则值的最小，此时E，F，O共线．
∵AC=4，BC=3，
∴AB=，
∴OE=，
∵OE⊥AC，
∴AF=AC=2，
∴OF=，
∴EF=OE-OF=，
∴，
∴的最小值为3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，知道当OE⊥BC时，EF有最大值是解题的关键．
21．或
【分析】分两种情况讨论：①当AN=BM时，点P的路径是一段弧，求得∠BPC=120°，点P所经过的路径是以O为圆心，OB为半径的一段弧，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．②当BM=CN时，点P的路径就是过点A向BC做的垂线段．
【详解】解：若BN=CM，则有AN=BM或BM=CN两种情况：
①当AN=BM时，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠CBM=60°，
在△ABN和△BCM中，，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠ABN=∠BCM，
∴∠NPC=∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABN=∠CBM=60°，
∴∠BPC=180°-∠NPC=180°-60°=120°；
如图，点P所经过的路径是以O为圆心，OB为半径的一段弧，此时∠BOC=120°，
过点O作OD⊥BC于点D，
则∠OBD=30°，BD=CD=BC=2，
∴OB=，
∴点P所经过的路径长=；
②当BM=CN时，点P的路径就是过点A向BC作的垂线段AE，
因为等边三角形ABC的边长为4，
∴AE=2，
所以点P的路径长AE为：2．
故答案为：2或．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，弧长公式的运用，分AN=BM或BM=CN两种情况讨论是关键，解答本题时注意转化思想的运用．
22．(1)，
(2)等腰直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出，得出，，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出最大时，的面积最大，而最大值是，即可得出结论．
（1）
解：点分别是，的中点，
，，
点是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
（2）
解：是等腰直角三角形．理由如下：
，
，即，
，，
，
，，
由三角形的中位线得，，，，，
，，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
（3）
解：由（2）知，是等腰直角三角形，，
则面积为，
最大时，面积最大，
如图，点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上，
则当点在的延长线上时，最大，最大值为，
所以面积的最大值为．
【点拨】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
23．(1)
(2)
(3)16
(4)直线与圆M相交，理由见解析
【分析】（1）利用配方法将一般式解析式转化为顶点式解析式；
（2）先解得，再利用待定系数法，代入点B、C的坐标即可解答；
（3）根据中点公式解得点M的坐标，再利用两点间的距离公式解得CM，MD的长，比较MD(1)
解：
即顶点D的坐标；
(2)
由（1）知
令得
解得
设直线BC的解析式：，代入点B、C
(3)
如图，
设（0即当x=4时，△BCE面积的最大值为16；
(4)
直线与圆M的位置是相交，理由如下，
如图，M为BC的中点，
即
直线CD与圆M有两个交点，
即直线与圆M的位置是相交．
【点拨】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及配方法、待定系数法求一次函数的解析式、直线与圆的位置关系、勾股定理、中点公式、两点距离公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
24．(1)（﹣4，0）或（4，0）
(2)①﹣3≤n≤3；②m≤﹣1或m≥1
【分析】（1）因为点B在x轴上，所以设B（x，0），则|x|＝4，可得结论；
（2）①首先证明点M的横坐标与纵坐标的绝对值之和为定值3，然后画出图形即可解决问题；
②如图，设P（m，0）为圆心，为半径的圆与直线y＝x﹣3相切，求出此时P的坐标，即可判断．
(1)
解：∵点A的坐标为（﹣3，1），
∴3+1＝4，
∵点B在x轴上，
∴点B的纵坐标为0，
设B（x，0），
则|x|＝4，
∴x＝±4，
∴B（﹣4，0）或（4，0）；
故答案为：（﹣4，0）或（4，0）；
(2)
①由题意，直线y＝x﹣3与x轴交于C（3，0），与y轴交于D（0，﹣3）．
点M在线段CD上，设其坐标为（x，y），
则有：x≥0，y≤0，且y＝x﹣3．
∴x﹣y＝3．
点M到x轴的距离为|y|，点M到y轴的距离为|x|，
则|x|+|y|＝x﹣y＝3．
∴点M的同族点N满足横纵坐标的绝对值之和为3．
即点N在右图中所示的正方形CDFE上．
∵点F的坐标为（﹣3，0），点N在直线x＝n上，
∴﹣3≤n≤3；
②如图，设P（m，0）为圆心，为半径的圆与直线y＝x﹣3相切，
∵PN＝，∠PCN＝∠CPN＝45°，
∴PC＝2，
∴OP＝1，
观察图形可知，当m≥1时，若以（m，0）为圆心，为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，
再根据对称性可知，m≤﹣1也满足条件，
∴满足条件的m的范围：m≤﹣1或m≥1．
【点拨】本题考查一次函数综合题、同族点的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
25．（1）9；（2）x或x＝4；（3）x＝0或x＜2或2＜x≤3
【分析】（1）由题意可得Q运动3s达到B，即得BD=6，可知，从而a=AB•AD=9；
（2）连接AC交BD于O，可得OA=AC=BD=3，根据△APQ的面积为6，即得PQ=4，当P在Q下面时，x=，当P在Q上方时，Q运动3s到B，x=4；
（3）当x=0时，B与P重合，D与Q重合，此时以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，同理t=6时，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，当Q运动到BD中点时，以PQ为直径的圆与AQ相切，与△APQ的边有且只有三个公共点，x=，当P、Q重合时，不构成三角形和圆，此时x=2，当Q运动到B，恰好P运动到BD中点，x=3，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意可得：Q运动3s达到B，
∴BD=3×2=6，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴a=AB•AD=9，
故答案为：9；
（2）连接AC交BD于O，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=AC=BD=3，
∵△APQ的面积为6，
∴PQ•OA=6，即PQ×3=6，
∴PQ=4，
而BP=x，DQ=2x，
当P在Q下面时，6-x-2x=4，
∴x=，
当P在Q上方时，Q运动3s到B，此时PQ=3，
∴x=4时，PQ=4，则△APQ的面积为6；
综上所述，x=或x=4；
（3）当x=0时，如图：
B与P重合，D与Q重合，此时以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，
同理，当Q运动到B，P运动到D时，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，此时t=6，
当Q运动到BD中点时，如图：
此时x=，以PQ为直径的圆与AQ相切，故与△APQ的边有且只有三个公共点，
当P、Q重合时，如图：
显然不构成三角形和圆，此时x=2，
当Q运动到B，恰好P运动到BD中点，如图：
此时x=3，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，
综上所述，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，x=0或t=6或≤x＜2或2＜x≤3．
【点拨】本题考查正方形中的动点问题，涉及函数图象、三角形面积、直线与圆的位置关系等知识，解题关键是画出图形，数形结合，分类思想的应用．
26．（1）见解析；（2）；（3）的长为0或
【分析】（1）设半圆C和半圆D的半径为r，设半圆E的半径为R，利用勾股定理推出，代入半径依据等式的性质变形计算即可；
（2）根据题意得出F的运动轨迹是以OF为圆心的圆，根据勾股定理求出OF的值即可得到F的运动路径的长；
（3）根据相切的关系求出AF的值，确定点B的位置，即可求出弧AB的长．
【详解】解（1）设半圆C和半圆D的半径为r，设半圆E的半径为R，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴半圆C与半圆D面积之和等于半圆E的面积．
（2）根据题意得出F的运动轨迹是以OF为原心的圆，如下图，连接DF、OF，
∵F是半圆D上的中点，
∴，
即△FDO是等腰直角三角形，
∵的半径为5，
∴FD=OD=，
∴，
∴F的运动路径长为
（3）∵AF与其运动路线相切，
∴OF⊥AF，
由（2）知OF=，OA=5，
∴
即△AOF为等腰直角三角形，
根据题意可知，F的位置存在，如图中F和两种情况：
①当位置在F点时，
∵△AOF为等腰直角三角形，F是半圆的中点，
∴此时B点与A点重合，即长为0；
②当位置在点时，
∵△AOF为等腰直角三角形，F是半圆的中点，
∴此时，
∵OA=5，
∴的长为，
综上，长为0或．
【点拨】此题考查了圆的综合知识，涉及的知识点有勾股定理，圆的面积公式，弧长的计算公式，等腰直角三角形的判定及性质定理，切线的性质定理，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
27．(1)16
(2)见解析
(3)
【分析】（1）点E为AB中点，构造△ABC的中位线EH，2CF＝BC，证△EHG≌△FCG，AG＝3CG，利用等高三角形面积关系和S△AEG＝3依次求△EHG、△GCF、△BGC、△BGA、△BCA的面积，最后求菱形ABCD的面积；
（2）过点F作AB的平行线，交AC的延长线于Q，得到等腰三角形，由三线合一得，结合GHAC，得到AG＝QG，证△AGE≌△QGF，得AE＝QF＝CF；
（3）C′点的轨迹（路径）是G为圆心，半径为的圆，取GF的中点O，OM是△GFC′的中位线，OM，M点的轨迹（路径）是O为圆心，半径为的圆，HM≤OH+OM，HM的最大值是当H、O、M共线时HM＝OH+OM，HM．
（1）
解：如图1，取AC中点H，连接EH，连接BG．
∵点E为AB中点，
∴EH是△ABC的中位线，
∴，EHBC，
∴∠GEH＝∠F，∠EHG＝∠FCG，
∵2CF＝BC，
∴EH＝CF，
∴△EHG≌△FCG（ASA），
∴GH＝GC，
∴AG＝3GH＝3CG，
∵△AEG和△GEH分别选AG和GH为底，高相同，
∴S△AEG＝3S△GEH，
∵S△AEG＝3，
∴S△GEH＝1，
∴S△FCG＝1，
∵2CF＝BC，
∴同理S△BGC＝2S△FGC＝2，S△ABG＝3S△BGC＝6，
∴S△ABC＝8，
∵菱形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴S△ADC＝S△ABC＝8，
∴菱形ABCD的面积是16；
（2）
证明：如图2，过点F作AB的平行线，交AC的延长线于Q．
∴∠BAC＝∠Q，
∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠QCF＝∠BCA，
∴∠QCF＝∠Q，
∴CF＝FQ，
∵FH⊥AC于点H，
∴CH＝QHCQ，
∵GHAC，QG＝GH+QH，
∴GQACCQAQ，
∴GQ＝AG，
又∵∠AGE＝∠QGF，∠EAG＝∠Q，
∴△AGE≌△QGF（ASA），
∴AE＝QF，
∴AE＝CF；
（3）
解：如图3，
∵GC′＝GC，
∴点C′的轨迹（路径）是G为圆心，半径为的圆，
取GF的中点O，
∵点M为C'F中点，
∴OM是△的中位线，
∴OMGC′，
∴点M的轨迹（路径）是O为圆心，半径为的圆，
∵HM≤OH+OM，
∴HM的最大值是当H、O、M共线时HM＝OH+OM，
∵∠FHG＝90°，GF的中点是O，
∴OHGF，
∵△AGE≌△QGF，
∴GF＝EG＝7，
∴HM的最大值为．
【点拨】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
28．(1)①BE；②
(2)①3；②B'C+2PQ的最小值为．
【分析】（1）①由折叠的性质知，点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，②由折叠的性质得出BE=BE′，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，进而求解；
（2）①△ABB'面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，故当B′E⊥AB时，△ABB'面积的最大，进而求解；
②证明PQ是△AEB′的中位线，故E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值为CE，即可求解．
(1)
解：由折叠的性质知，BE=B′E，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，
①由题意得，点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上；
②MB′=MN-NB′
=MN-；
故答案为：①BE；②；
(2)
解：①∵AB=3AE=3，
∴AE=1，BE=2，
∵点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，如图1，
∴△ABB'面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，
∴当B′E⊥AB时，△ABB'面积的最大，
∴△ABB'面积=×AB×B′E=×3×2=3，
故答案为：3；
②∵∠AQP=∠AB'E，
∴PQ∥B′E，
∵P是AE的中点，
∴PQ是△AEB′的中位线，如图2，
∴PQ=B′E，
即B'C+2PQ=B′C+B′E，
∴E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值为CE，
则CE=，
即B'C+2PQ的最小值为．
【点拨】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
29．(1)①EF＝CF，理由见解析；②
(2)
【分析】（1）①连接DF，证明△DEF≌△DCF，即可得出结论；②证明△AOD∽△DCF，得到 ＝ ，化简得CF＝ ，代入即可求得；
（2）根据勾股定理得出OB＝ ＝10，设BM＝x，以M、N、B分别为圆心分情况讨论，列出等式求解即可．
（1）
①连接DF，
由题意，∴AED＝AOD＝90°，
∴DEF＝90°，
∴DEF＝DCF，
∵D是OC的中点，
∴OD＝DC，
∵OD＝DE，
∴DE＝DC，
又DF＝DF，
∴△DEF≌△DCF，
∴EF＝CF；
②∵△DEF≌△DCF，
∴EDF＝CDF，
∴ADF＝90°，
∴ADO+CDF＝90°，
又∵ADO+OAD＝90°，
∴OAD＝CDF，又AOD＝DCF，
∴△AOD∽△DCF，
∴ ＝ ，
∴CF＝ ，
∵A（0，6），C（8，0），D是OC的中点，
∴AO＝6，OD＝DC＝4，
∴CF＝ ＝ ，
∴F（8，）．
（2）
∵BC＝6，OC＝8，
∴OB＝ ＝10，设BM＝x，
①当点B为圆心时，则BM＝BN，
∵ON＝2MB，
∴10－2x＝x，
∴x＝ ，
∴AM＝8－ ＝ ，
∴M（ ，6）；
②当点M为圆心时，则MB＝MN，
过N作NG⊥AB于G，
则△BGN∽△BAO，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴GN＝ ( 10－2x )＝6－ x，BG＝ ( 10－2x )＝8－ x，
GM＝8－ x－x＝8－ x，
∴x 2＝( 8－ x )2＋( 6－ x )2，解得x1＝5（舍去），x2＝ ,
∴AM＝8－ ＝ ，
∴M（ ，6）；
③当点N为圆心时，则MN＝BN，
∴BG＝ BM，
∴8－ x＝ x，解得x＝ ，
∴AM＝8－ ＝ ，
∴M（ ，6）；
综上所述，M点坐标为M（ ，6），（ ，6），（ ，6）．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用和圆的性质，是个综合题，熟练掌握数形结合思想是解题的关键．
30．(1)见解析
(2)存在，
(3)
【分析】(1) 根据旋转的旋转判断出△APQ为等边三角形，再判断出∠APM =∠QPN，从而得出△APM≌△QPN即可；
(2)由直线和圆相切得出∠AMP =∠QNP= 90°，即可求出结论；
(3)先判断出PA = PQ，再判断出PQ =PN= PM，进而求出∠QPM = 20°，即可求出∠QPN= 80°，最后用扇形的面积公式即可．
(1)
证明：如图1，连接，由点P绕点A按顺时针方向旋转到点Q，可得，，
∴为等边三角形，
∴，由点M绕点P按逆时针方向旋转到点N，可得，，
∴，
则，
∴．

(2)
存在，如图2，由（1）中的证明可知，，
∴，
∵直线与以点P为圆心，的长为半径的圆相切，
∴，
∵，
∴．
∴
(3)
，
如图3，由（1）知，是等边三角形，∴，
∵以点P为圆心，的长为半径的圆经过点Q，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴劣弧与两条半径所围成的扇形的面积是扇形的面积，而此扇形的圆心角，半径为，
∴劣弧与两条半径所围成的扇形的面积．
【点拨】此题是圆的综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，切线的性质，扇形的面积公式，解(1) 的关键是得出PA = PQ，解(2)的关键是得出PN⊥QN，解(3)的关键是得出PN= PQ= PA，解本题的难点是画出符合题意的图形．
31．(1)见解析
(2)
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据正方形的性质以及动点的路程相等，证明，根据同角的余角相等，即可证明，即；
（2）当t＝0时，点M与点B重合，当时，点随之停止，求得运动轨迹为圆，根据弧长公式进行计算即可；
（3）①根据（2）可得△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点，继而判断点D、C、M、E在同一个圆（）上；②当与AB相切时，与正方形的各边共有5个交点，如图5则有6个交点，所以“当与AB相切时”是临界情况．如图4，当与AB相切（切点为G），连接OG，并延长GO交CD于点H，在Rt△CHO中求得半径,进而勾股定理求得，即可求得当时，与正方形的各边共有6个交点．
(1)
四边形是正方形，
，
又的运动速度都是2cm/s，
即
(2)
∵．
∴点M在以CB为直径的圆上，如图1，当t＝0时，点M与点B重合；
如图2，当t＝3时，点M为正方形对角线的交点．点M的运动路径为圆，其路径长．
故答案为：
(3)
①如图3．由前面结论可知：
∴△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点，
则
在Rt△CDE中，，O是CE的中点．
∴，
∴
∴点D、C、M、E在同一个圆（）上，
即点D在△CME的外接圆上；．
②．
如图4，当与AB相切时，与正方形的各边共有5个交点，如图5则有6个交点，所以“当与AB相切时”是临界情况．
如图4，当与AB相切（切点为G），连接OG，并延长GO交CD于点H．
∵AB与相切，
∴，
又∵，
∴，
设的半径为R．由题意得：
在Rt△CHO中，，解得
∴
∴，即
∴如图5，当时，与正方形的各边共有6个交点．
【点拨】本题考查了求弧长，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形的外心，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
32．
【分析】根据题意，可得根据直径所对的圆周角是直角可得，点在以为直径的上，进而可知当点三点共线时，最小，勾股定理求得，进而即可求得的最小值
【详解】解：连接，如图2，
为直径
点在以为直径的上
的半径为
当点三点共线时，最小，如图3
在
，
即的最小值为
【点拨】本题考查了直径所对的圆周角是90°，点到圆上的距离，找到点的运动轨迹是解题的关键．
33．（1）①（6，0）；（，）；②（，）；（2）
【分析】（1）①根据反演点的定义求出OB＇的长即可解决问题；②过点作E⊥x轴于点E，如图中，求出OF、PF即可解决问题；
（2）①当点P是抛物线顶点(1，-4)时，作PE⊥x轴于E，过反演点作F⊥x轴于F，求出点的纵坐标即可；②当P点坐标为(4，5)时，求出反演点的纵坐标，即可解决问题．
【详解】解：（1）①如下图中，
∵OA·OA＇=62，
∵OA=6，
∴OA＇=6，
∴A ＇(6，0)，
∵OB·OB＇=62，
∵OB＝18，
∴OB＇ =2，
∵∠AOB= 135°，
∴∠COB=45°，
∴作CB＇⊥CO，
∴CB＇= CO=2×sin45°=，
∵点B＇在第二象限，
∴B＇(， )，
故答案为：A ＇(6，0)，B＇(， )．
②过点P＇作P＇E⊥x轴于点E，如下图中，
∵S△OAP＇=·OA·P＇E=6 ，
∴P＇E=2，
∵点P＇在正比例函数y=x位于第一象限内的图象上，
∴y P＇=2，
∴xP＇=2
∴O P＇=4，∠P＇OE=60°
∵点P关于O的反演点是P＇点，
∴ OP＇OP= 62，
∴ OP=9
过点P作PF⊥x轴于点F，
∴OF= ，PF=
∴点P的坐标为P（，）．
（2）如下图：
当点P是抛物线顶点(1，- 4)时，作PE⊥x轴于E，过反演点P＇作P＇F⊥x轴于F，
∵OP=，r=，
∴OP＇= ，
∵ PE// P＇F，
∴
∴ =1，
∴n=-1，
当P点坐标为(4，5)时，同法可得反演点的纵坐标 n=
综上所述，-1≤n≤．
【点拨】本题考查二次函数综合题、圆、勾股定理，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线．
34．（1）A；（2）；（3）元
【分析】（1）根据题意画出图形，当直径AB⊥MN时，点A到直线MN距离的最大，结合垂径定理和勾股定理，即可求解；
（2）过点P 作PQ ⊥AB于点Q，先证明是等腰直角三角形，PQ=PM，进而即可得到结论；
（3）过点D作DM⊥BC，取AD的中点N，则AN=25米，以点A为圆心，AN为半径，作，则点F在上，设总造价为y元，，连接CF，过点E作EH⊥BC，过点A作AG⊥BE，交于点，此时最小值=，进而即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，当直径AB⊥MN时，点A到直线MN距离的最大.
∵⊙O的直径为20，
∴ON=10，
∵AB⊥MN，
∴PN=MN=8，
∴OP=,
∴AP=10+6=16，即：点A到直线MN距离的最大值为：16，
故选A；
（2）过点P 作PQ ⊥AB于点Q，
∵在等腰中，BN⊥AC，AB=AC，
∴BN平分∠ABC，
∵AM⊥BC，
∴PQ=PM，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAM=45°，即是等腰直角三角形，
∴AB=，
∴=，
故答案是：；
（3）过点D作DM⊥BC，
∵直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=120°，CD长60米，BC长80米，
∴∠BCD=180°-120°=60°，∠CDM=30°，四边形ABMD是矩形，
∴CM=米，AD=BM=80-30=50米，DM=30米，
取AD的中点N，则AN=25米，以点A为圆心，AN为半径，作，则点F在上，
∵CD=60米，CE=40米，
∴DE=60-40=20米，
∴，
设总造价为y元，

连接CF，过点E作EH⊥BC，则EH=，米，BH=BM+MH=60米，
则
=，
∴当的值最小时，最小，从而y的值最小，
过点A作AG⊥BE，交于点，此时最小值=，
∵∠BAG+∠ABG=∠ABG+∠EBH=90°，
∴∠BAG=∠EBH，
∴tan∠BAG=tan∠EBH=，即：∠BAG=∠EBH =30°，
∴AG=AB×cs30°= DM×cs30°=米，BE=2EH=米，
∴最小值==（平方米），
∴y最小值=100×()=．
【点拨】本题主要考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，添加合适的辅助线，构造直角三角形，把总造价表示为，是解题的关键．
35．（1）4；（2）15°；（3）存在，
【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可．
（2）连接OC，OD，证明∠OCA＝60°，∠OCD＝45°，可得结论．
（3）如图2中，连接OM，OC．证明OM⊥AD，推出点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，连接CJ，JM．求出CJ．JM，根据CM≤CJ+JM＝22，可得结论．
【详解】解：（1）如图1中，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝4，
∴AB8，
∴⊙O的半径为4．
（2）如图1中，连接OC，OD．
∵CD＝4，OC＝OD＝4，
∴CD2＝OC2+OD2，
∴∠COD＝90°，
∴∠OCD＝45°，
∵AC＝OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°．
（3）如图2中，连接OM，OC．
∵AM＝MD，
∴OM⊥AD，
∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，
连接CJ，JM．
∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ，
∴CJ⊥OA，
∴CJ2，
∵CM≤CJ+JM＝22，
∴CM的最大值为22．
【点拨】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点M的运动轨迹，属于中考压轴题．
36．（1）①；②；③等边，证明见解析；（2）①3；②．
【分析】（1）①利用圆的基本性质，即可求解；
②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解；
③利用勾股定理，求得B′D=，即可求解；
（2）①由题意知点B'在以点E为圆心，半径长为2的圆上，△ABB'的面积要最大，只要以AB为底的高最长即可，此时当B'E⊥AB时，△ABB'的面积最大；
②当E、B′、C三点共线时，B'C+ EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，且最小值为EC的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）根据折叠的性质知：BE=B′E，BC=B′C=3，MA=MB=NC=ND=，
∠B=∠EB′C=90，
①点B′在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上；
②B′M=MN- B′N=
=
=；
③B′D=，
∴△DB'C为等边三角形；
故答案为：①BE，②，③等边；
（2）①∵AB=3=3AE，
∴AE=1，BE=2，
故点B'在以点E为圆心，半径长为2的圆上，
∴△ABB'的面积要最大，只要以AB为底的高最长即可，
∴当B'E⊥AB时，△ABB'的面积最大，如图：
△ABB'的面积最大值；
②∵∠AQP=∠AB'E，
∴PQ∥B'E，
∵P为AE的中点，
∴Q为AB'的中点，
∴PQ为△AEB'的中位线，
∴PQ=EB'，即EB'=2PQ，
∴B'C+2PQ= B'C+ EB'，
当E、B′、C三点共线时，B'C+ EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，
且最小值为EC的长，
∴EC=，
∴B'C+2PQ的最小值为．
故答案为：①；②．
【点拨】本题考查了圆的性质，矩形的性质、图形的折叠、等腰三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中，其中（2）①当B'E⊥AB时，△ABB'的面积最大；②当E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值，是解本题的关键．
37．（1）；（2）；（3）存在，MC的长度为8米或12米．
【分析】（1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的长，即可求出面积；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，可知点A在上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，求出A'H的长，从而得出答案；
（3）以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性质求出OA，OG的长，则以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，从而⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，利用勾股定理求出OE的长，从而解决问题．
【详解】】解：（1）作AD⊥BC于D，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴BD=1，
∴AD==，
∴△ABC的面积为，
故答案为：；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，
∵∠BAC=120°，BC=，
∴点A在上运动，
当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，
∴∠BOA'=60°，BH=CH=，
∴OH=3，OB=6，
∴A'H=OA'-OH=6-3=3，
∴△ABC的最大面积为；
（3）存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，
过O作HG⊥AB于H，交CD于G，
∵AB=20米，
∴AH=OH=10米，OA=10米，
∵BC=24米，
∴OG=14米，
∵10＞14，
∴以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，
∴⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，
过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，
∴EF=OH=10米，OM1=10米，
∴EM1=14米，
∴OE==2米，
∴CM1=BF=8米，
同理CM2=BH+OE=10+2=12（米），
∴MC的长度为8米或12米．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理圆周角定理等知识，掌握以上知识是解题的关键．
38．(1)
(2)成立，证明见解析
(3)
【分析】（2）如图1，连接，由正方形的性质可知，是的中点，，，由可知为的中点，是等腰直角三角形，则，由N为BF中点，可知和分别为和的中位线，根据中位线的性质可得，，在中，由勾股定理可求得；
（2）如图2，连接，连接、交于点， 证明，则，，在中，由三角形内角和求得，则，和分别为和的中位线，根据中位线的性质可得，，在中，由勾股定理可求得；
（3）由题意知，，，可知在以为圆心，为半径的圆上运动，如图3，由题意知，当、、三点共线时，取最大与最小值，根据二者的差为的直径计算求解即可．
(1)
解：．
如图1，连接，
由正方形的性质可知，是的中点，，，
∵，
∴为的中点，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵N为BF中点，
∴和分别为和的中位线，
∴，，，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴．
(2)
解：成立．
证明如下：如图2，连接，连接、交于点，
由（1）知，，
由正方形的性质可知，，，
∵，，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵为的中点，N为BF中点，
∴和分别为和的中位线，
∴，，，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴．
(3)
解：由题意知，，，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，如图3，
由题意知，当、、三点共线时，取最大与最小值，且最大与最小的差为的直径，
∴点M与点C的最大距离和最小距离的差为．
【点拨】本题考查了正方形的性质，中位线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，正弦，圆的概念等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
39．
【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转60°，得到△BCE，求出∠BDA=150°，确定点D在以F为圆心，AB为半径的圆上运动，根据点与圆的位置关系即可求解．．
【详解】解：将△ACD绕点C逆时针旋转60°，得到△BCE，由旋转可知，△CDE是等边三角形，EB=AD，∠CEB=∠CDA，
∵，即，
∴∠DBE=90°，∠BDE+∠BED=90°，
∠CDA=∠CEB=60°+∠BED,
∴∠CDA+∠BDE=60°+∠BED +∠BDE =150°，
∵∠CDE=60°，
∴∠BDA=360°-(∠CDA+∠BDE )- ∠CDE =150°，
将点C沿AB翻折，得到点F，
∴点D在以F为圆心，AB为半径的圆上运动，
等边与的边长都为，则等边三角形的高为，
，
，
即，
故答案为：．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理逆定理、圆周角的性质，解题关键是通过作辅助线，确定点D的运动路径．
40．（1）60；（2），详见解析；（3）3200m2，详见解析．
【分析】（1）由四边形内角和360°得到答案；
（2）分析得出三角形ADE面积数值为3DE，只需求出CE最小值即可；作出三角形ADE外接圆，圆心为O，过O作OH⊥DE，可得AO+OH≥AB，由∠ODH=30°知AO=2OH，求出OH最小值，借助三角函数得DH最小值；最后由垂径定理得DE=2DH的最小值，代入求解；
（3）过C作CH⊥AE，证明出四边形ABCF为正方形，设BD=x，EF=y，利用三角函数得到xy=1600，利用不等式得到x+y的最小值，代入三角形ADE面积1600+20（x+y），求值即可．
【详解】（1）解：在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠BCD=360°－∠A－∠ABC－∠ADC=120°，
∴=180°－∠BCD=60°，
故答案为：60．
（2）解：S△ADE=DE·AB=3DE，
∴当DE取最小值时，△ADE面积取最小值．
作△ADE的外接圆，圆心为O，连接OD、OE、OA，过O作OH⊥DE于H，
则∠DOE=2∠DAE=120°，
由OD=OE知，∠ODH=30°，
∴OD=2OH，
∵OA+OH≥AB，
∴OA+OA≥6，
即OA≥4，OH≥2，
由垂径定理得：DE=2DH=2OH≥，
此时，A、O、H共线，AD=AE，
∴△ADE面积的最小值为：3×=．
（3）解：过C作CH⊥AE于H，如图所示，
设BD=x，EF=y，
∵∠ABC=90°，AE∥BC，
∴四边形ABCF为矩形，
∵AB=BC=40
∴四边形ABCF为正方形，
由tan∠E=tan∠BCD知，，
即，
∴y=，
即xy=1600，
∵，
∴=80，
当x=y时取等号，即x+y的最小值为80，
又△ADE的面积=正方形ABCF面积+三角形BCD面积+三角形CEF面积，
即△ADE的面积=1600+20（x+y）≥1600+20×80=3200，
综上所述，△ADE的面积的最小值为3200 m2．
【点拨】本题考查了四边形内角和、圆心角与圆周角关系、垂径定理、三角函数、正方形判定、不等式性质等知识，综合性很强，对定高定角图形的问题转化为圆的问题及灵活利用不等式是解题关键．
41．（1）；（2）；（3）存在，平方米
【分析】（1）利用三角形的面积公式进行计算，从而可得答案；
（2）如图2，作的外接圆，连接OA、OB，过点O作于点H，延长HO交于点，当点P与重合时，的面积最大，再求解AB上的高，从而可得最大面积；
（3）连接AC，由平行四边形的性质可得：，证明，可得当面积最大时，面积最大．如图3，作的外接圆，连接OA、OE，过点O作于点H，延长HO交于点，则得当B与重合时，面积最大．再求解米，米，从而可得答案．
【详解】解：（1）中上的高与中上的高相等，

，
故答案为：
（2）如图2，作的外接圆，连接OA、OB，过点O作于点H，
延长HO交于点，
∵保持不变，
∴AB边上的高越大，则的面积越大，故当点P与重合时，的面积最大，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
连接AC，由平行四边形的性质可得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故当面积最大时，面积最大．
如图3，作的外接圆，连接OA、OE，过点O作于点H，
延长HO交于点，则得当B与重合时，面积最大．
则

，（米），
∴（米），（米），
∴（米），
∴（平方米），
∴（平方米）．
综上，存在满足条件的面积最大的平行四边形ABCD，平行四边形ABCD的最大面积为平方米．
【点拨】本题考查的是三角形面积的计算，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的外接圆，垂径定理的应用，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的构建三角形的外接圆，再利用圆的性质解决问题是解本题的关键．
42．(1)；
(2)的长是；
(3)的长为或．
【分析】（1）由切于点，可得，又，即有，变形得，而在线段上（不含端点），即得，故；
（2）由平分，可得，有，设线段的长为，线段的长为，则①，②，即可解得的长是；
（3）分两种情况：当时，过作于，于，设半径为，得，解答，，，证易四边形是正方形，设正方形边长为，则，，根据，可得，可解得正方形边长为，；当时，过作于，设半径为，则，解得，，，由平分得，由对称性可知，，设，则，可得，解得，在中，即得．
(1)
切于点，
，
，
，
，
，
，
，
切，切，
在线段上（不含端点），
，
；
(2)
如图：
平分，
，
切于点，切于点，
，
，
，
，
由（1）知，设线段的长为，线段的长为，则①，
，
②，
由①②可得，
解得，
的长是；
(3)
当时，过作于，于，如图：
设半径为，则，，
，
解得（负值已舍去），
，，
平分，，，
，
又，
四边形是正方形，
设正方形边长为，则，，
，，
，
，即，
解得，
正方形边长为，
；
当时，过作于，如图：
设半径为，则，
解得，
，，
平分，，
，
由对称性可知，
，
设，则，
在中，
，
解答，
，
在中，
，
综上所述，的长为或．
【点拨】本题考查圆的综合应用，涉及勾股定理、圆的切线、三角形的全等与相似等知识，解题的关键是分类思想的应用．