人教版九年级数学上册 24.39 《圆》全章复习与巩固（知识讲解）

这是一份人教版九年级数学上册 24.39 《圆》全章复习与巩固（知识讲解），共22页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；
5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
特别说明：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
特别说明：
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
3．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
特别说明：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
要点二、与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为，OP=，则有
点P在⊙O 外； 点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.
特别说明：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
当 时，在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.
(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.
(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.
4．切线的判定、性质
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.
(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
特别说明：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
2．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
要点四、圆中有关计算
1．圆中有关计算
圆的面积公式：，周长.
圆心角为、半径为R的弧长.
圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
特别说明：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即
；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：
【典型例题】
类型一、圆的对称性——垂径定理
1．如图，在半径为的扇形中，，点是上的一个动点不与点、重合，，，垂足分别为、．
当时，求线段的长；
在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，是不变的，
【分析】（1）求出BD，根据勾股定理求出OD即可；
（2）过点O作AB的垂直平分线，与AB交于点F，与弧AB交于点M，求出AF，得出AB长度，根据垂径定理得出D、E分别是BC、AC中点，根据三角形中位线求出即可．
(1) 解：∵，
∴，
∴；
解：存在，是不变的．
理由是：如图，连接，过点作的垂直平分线，与交于点，与弧交于点，
则平分与弧，
∴，
在中，∵ ，，
∴∠FAO=30°，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
由垂径定理可知，点、分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴．
【点拨】本题考查了三角形中位线、垂径定理、勾股定理的应用，解题的关键是熟练应用相关定理，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
【变式1】如图，为的直径，为弦的中点，连接并延长与交于点，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，请求出四边形的面积。
【答案】(1) 见分析；(2) 18．
【分析】（1）根据垂弦定理可得OD⊥AC，根据切线的定义可得OD⊥DE，根据平行线的性质即可解答；
（2）连接CD，根据AC∥DE，OA＝AE，可得点F是OD的中点，然后可得AFO≌CFD(SAS)，所以S△AFO＝S△CFD，通过等量代换可得S四边形ACDE＝S△ODE即可解答．
解：(1)证明：∵F为弦AC的中点，∴OD⊥AC，
∵DE切⊙O于点D，∴OD⊥DE，∴AC∥DE；
(2)如图，连接CD，
∵AC∥DE，且OA＝AE，
∴F为OD的中点，即OF＝FD，
又∵AF＝CF，∠AFO＝∠CFD，
∴AFO≌CFD(SAS)，
∴S△AFO＝S△CFD，∴S四边形ACDE＝S△ODE，
在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝6，∴OE＝12，
∴DE＝＝＝6，
∴S四边形ACDE＝S△ODE＝×OD×DE＝×6×6＝18．
【点拨】本题考查了垂弦定理、平行线的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
【变式2】如图，在中，是弦，是直径，且经过的中点，连接．
（1）用尺规作图作出弦的垂直平分线，并标出与的交点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若的半径为，，求的长．
【答案】（1）详见分析；（2）．
【分析】（1）按照尺规作图的步骤作OM⊥AE交AE于点F，OF即为所求；
（2）连接OA，根据垂径定理的的推论先得出OC⊥AB，在Rt△ACO中求出OC的长，从而得出CE的长，在Rt△ACE中求出AE的长，再根据垂径定理得出AF的长，最后在Rt△AOF中，求出OF即可．
解：（1）如图所示，直线即为所求；
（2）连接，
是直径，=4，，
，，
，
，
．
【点拨】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，勾股定理，垂径定理及其推论等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
类型二、垂径定理及弧、弦、圆心角的关系
2．如图，点C，D分别是以为直径的半圆上的三等分点，，连接．
(1)填空：_________；（填“>”“=”或“<”）
(2)求图中的面积．
【答案】(1) < (2)
【分析】（1）利用三等分可知DC=DB，根据三角形的三边关系即可求出结果；
（2）由条件可知四边形OBDC为菱形，据此即可求出三角形面积．
(1)解：∵点C，D分别是以为直径的半圆上的三等分点，
∴，
∴DC=DB，
∵在中，，
∴，
故答案是：＜；
(2)如图所示，连接OC、OD，
由（1）得：，
∵OC=OD=OB=2，
∴与均为等边三角形且全等，
∴四边形OBDC为菱形，
∴，
∴的面积为：．
【点拨】本题主要考查的是圆中等分性质的应用，掌握圆的性质以及结合菱形的性质进行求解是解题的关键．
【变式1】如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度数； （2）若AC=3，AB=4，求CD的长．
【答案】（1）65°；（2）．
【分析】（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可；
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．
解：（1）如图，连接AD．
∵∠BAC=90°，∠ABC=20°，
∴∠ACD=70°．
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°-70°-70°=40°，
∴∠DAE=90°-40°=50°．
又∵AD=AE，
∴∠DEA=∠ADE= (180°−50°) =65°；
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC=90°，AC=3，AB=4，
∴BC=5．
又∵•AF•BC=•AC•AB，
∴AF=，
∴CF=．
∵AC=AD，AF⊥CD，
∴CD=2CF=．
【点拨】本题考查了垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2】如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
【答案】（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD，根据平行线的判定可得结论；
（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据得到BC=CD，从而证明菱形．
解：（1）连接BD，
∵，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，
∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠CBF，
∵，
∴BC=CD，
∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC=CD，
∴四边形BCDE是菱形．
【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF．
类型三、圆周角
3．如图，四边形内接于，为的直径，．
试判断的形状，并给出证明；
若，，求的长度．
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见分析；(2)；
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；
（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；
（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，
∴CD=．
【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．
【变式1】如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．
【答案】（1）证明见分析；（2）
【分析】（1）只要证明，即可解决问题；
（2）证明，推出，利用勾股定理即可解决问题．
解：（1）证明：，，
，
，
是直径，
，
，
，
是等腰直角三角形．
（2）．，，
，
，
，，
，
．
【点拨】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角，勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，属于中考常考题型．
【变式2】已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC

【答案】（1）见分析；（2）∠BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【分析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；
（2）利用平行线的性质证明： 再利用圆的性质得到：∠BPC=∠BAC，从而可得答案．
解：（1）依据作图提示作图如下：
（2）证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC
故答案为：∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
【点拨】本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键．
类型四、切线的性质与判定
4．如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，且PA=PB．
求证：PB与⊙O相切；
点Q在劣弧AB上运动，过点Q作⊙O的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA=6，则△PMN的周长为______．

【答案】(1)见分析；(2)12
【分析】（1）连接OB，证明△APO≌△BPO（SSS），由全等三角形的判定与性质得出∠PAO=∠PBO=90°，得出OB⊥PB，则可得出结论；
（2）由切线长定理可得出答案．
（1）证明：连接OB，

∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
在△APO和△BPO中，
，
∴△APO≌△BPO（SSS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB与⊙O相切；
（2）解：∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，PA=6，
∴MA=MQ，NQ=NB，PA=PB=6，
∴△PMN的周长=PM+MQ+NQ+PN=PA+PB=12；
故答案为：12．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
【变式】如图，已知是的直径，是的切线，点是切点，弦于点，连接．
求证：平分；
(2) 若，，，求的长．
【答案】(1)见分析(2)8
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据等角的余角相等可得出结论．
（2）根据垂径定理得到，根据勾股定理求出的半径，根据角平分线的性质定理解答即可．
(1)证明：连接，
相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴平分．
(2)由可知，，
，，
，
设的半径为r，则，
在中，，
即，
解得：，
，
，，，
．
【点拨】本题考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及角平分线的判定及性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
类型五、正多边形与圆
5．请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：⊙O，点A在圆上．
求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．
【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可．
解：如图，四边形ABCD即为所求作．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式】已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图：
在图1中，画出CD的中点G；
在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形．
【答案】(1)见分析(2)见分析
【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；
（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．
(1)如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；
(2)如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．
【点拨】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键．
类型六、弧长及扇形、弓形面积
6．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠ABC．
求证：AD是⊙O的切线：
若∠ABC＝30°，AC＝3，求阴影部分的面积．

【答案】(1)见分析(2)阴影部分的面积4
【分析】（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠CAD=∠ODB，求出∠ADO为90°，即可证AD是⊙O的切线；
（2）连接OD，作OF⊥BD于F，由直角三角形的性质得出CD=AC=3，BC=9，得出BD=BC-CD=6，由直角三角形的性质得出DF=BF，OF=，得出OB=2OF=2，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果．
（1）证明：连接OD，如图1所示：

∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵∠B＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODB，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠CDA＝90°，
∴∠ADO＝180°﹣(∠ADC+∠ODB)＝90°，
∴OD⊥AD，
∵OD是半径，
∴AD为⊙O的切线；
（2）解：连接OD，作OF⊥BD于F，如图2所示：
∵OB＝OD，∠B＝30°，
∴∠ODB＝∠B＝30°，
∴∠DOB＝120°，
∵∠C＝90°，∠CAD＝∠B＝30°，
∴CDAC＝3，BCAC＝9，
∴BD＝BC﹣CD＝6，
∵OF⊥BD，
∴DF＝BFBD＝3，OFBF，
∴OB＝2OF＝2，
∴阴影部分的面积＝扇形ODB的面积﹣△ODB的面积
=
=．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、扇形面积公式、三角形面积公式等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
【变式】如图，在中，，为边上一点（不与点、重合），以为半径的圆分别交边、于点、，过点作于点．
求证：直线是的切线．
若，，则劣弧的长为 （结果保留．

【答案】(1) 见分析 (2)
【分析】（1）连接，根据已知可得，再根据等腰三角形的性质证明ABOD，从而可得，即可解答；
（2）根据平行线的性质求出，然后利用弧长公式进行计算即可解答．
（1）证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
∴ABOD，
，即OD⊥FD，
是的半径，
直线是的切线；
（2）解：∵ABOD，
，
，
劣弧的长为：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质，平行线的判定与性质，弧长的计算，等腰三角形的性质，熟知经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
类型六、圆锥及侧面展开图
7．小刚用一张半径为12cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为5cm，那么这张扇形纸板的面积是
cm2．
【答案】60π.
解：根据圆的周长公式得：
圆的底面周长=10π．
圆的底面周长即是扇形的弧长，
∴扇形面积==60πcm2．
考点：圆锥的计算．
【变式】如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．

（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
【答案】（1）；（2）
解：（1）过O作OE⊥AB于E，则AE=AB=2．
．
∴OA==4．
又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．
∵AC⊥BD，∴．
∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．
∴S阴影=．
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，
∴．
∴ .名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.